巧設(shè)問題情境 妙解壓軸難題

福建省莆田第四中學(xué) 祁君華 （郵編：351100）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準解讀》（2017年版，2020年修訂）的前言指出：“基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，要特別重視情境的創(chuàng)設(shè)和問題的提出”“設(shè)計情境和提出問題的根基是數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)”，由此可見，在日常教學(xué)中，設(shè)計合適的情境、提出合適的問題對于啟發(fā)學(xué)生積極思考、感悟和形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要性.情境包括現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境與科學(xué)情境.新課的講授一般都密切聯(lián)系生活實際，設(shè)置現(xiàn)實問題情境或科學(xué)問題情境，進而引入相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，如以“B景區(qū)游客人次的年增加量越來越大（非線性）”與“生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間的關(guān)系”引出“指數(shù)函數(shù)”的概念（數(shù)學(xué)必修第一冊，2020年人教A版）.但高三的復(fù)習(xí)課與試卷講評課顯然與此有很大的不同，又要如何設(shè)置合適的問題情境，激發(fā)學(xué)生的興趣，啟發(fā)學(xué)生的思維，進而提高課堂教學(xué)效率呢？結(jié)合近期的高三復(fù)習(xí)教學(xué)實踐，提出兩點做法，和各位同行一起交流.

1 巧設(shè)階梯問題情境，由淺入深，化繁為簡

“標準解讀”的前言進一步指出：情境與問題應(yīng)該是多樣的，多層次的.高三的一些綜合性難題的講解不能單刀直入，就題論題，讓很多學(xué)生如墜云里霧中，或者是只知其然而不知其所以然.而是要通過巧設(shè)階梯問題情境，步步為營，層層遞進，讓更多的學(xué)生積極參與思考、討論.看似“踏破鐵鞋無覓處”，實則“得來全不費工夫”.

例1已知函數(shù)不等式f（a·ex）+f（1-2x）≤1對?x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）

這道周練中的單選壓軸題讓大多數(shù)學(xué)生望而卻步，得分率非常低.在講評題目時，沒有直接把關(guān)鍵的結(jié)論強塞給學(xué)生，而是通過巧設(shè)階梯問題情境，不斷地啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生自己去思考、討論、探索.問題串如下（投影）：

問題1 討論函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性.

問題 2若f（x）滿足f（-x）+f（x）＝0，則f（x）的圖象關(guān)于原點對稱.若f（x）滿足f（a+x）+f（b-x）＝0，則f（x）圖象的對稱中心又是什么呢？

問題 3一般 地 ，若f（x）滿 足f（a+x）+f（b-x）＝c，則f（x）圖象的對稱中心是什么？

問題4函數(shù)的圖象有無對稱中心？為什么？

問題5你能否利用“問題4”的結(jié)論化簡不等式f（a·ex）+f（1-2x）≤ 1？

問題6求參數(shù)范圍的最常用方法是什么？你是否已云開霧散，駛近勝利的彼岸？

其實“第1問”很簡單，而“第2問”與“第3問”我在上一周已歸納總結(jié)過，只要能突破關(guān)鍵的“第4問”，接下來的一切都是水到渠成的.隨著越來越多的“眉鎖”被解開了，提問了兩位情緒高漲的學(xué)生，然后在大家的齊聲回答中，板書總結(jié)如下：

由已知可得f（a·ex）≤ 1-f（1-2x），從而f（a·ex）≤f（2x-1）.

因為f（x）為減函數(shù)，所以a·ex≥2x-1，即恒成立.

我來了個“急剎車”，突然轉(zhuǎn)身問道：“有誰愿意幫我繼續(xù)寫下去？”

很快就有一位學(xué)生自告奮勇地走了上來，板演大致如下：

如此由淺入深，又深入淺出，不僅降低了題目的難度，活躍了課堂的氣氛，讓學(xué)生了解了相關(guān)知識與方法的來龍去脈，而且能讓更多的學(xué)生體驗成功，收獲自信，何樂而不為呢？

2 巧設(shè)關(guān)聯(lián)問題情境，由此及彼，一舉突破

“標準解讀”的前言還提到：三種情境的每種情境又可以分為熟悉的情境、關(guān)聯(lián)的情境與綜合的情境.當教師遇到評析一些構(gòu)思新穎、難度較大的題目時，不宜操之過急，直奔主題，而是應(yīng)該多設(shè)置一些關(guān)聯(lián)的問題情境，這樣做不僅能揭穿題目的“偽裝”，看破真相，更能教會學(xué)生學(xué)會觸類旁通，舉一反三，感悟數(shù)學(xué)基本思想，發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng).

例2數(shù)學(xué)王子高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則稱y＝[x]為高斯函數(shù)，例如：[-3.5]＝-4，[2.1]＝2.已知函數(shù)f（x）＝sin[cosx]+cos[sinx]，關(guān)于f（x）有下述四個結(jié)論，其中正確的是（ ）

A.f（x）的一個周期是2π

B.f（x）是非奇非偶函數(shù)

C.f（x）在（0，π）單調(diào)遞減

D.f（x）的最大值大于 2

這道月考試卷中的多選壓軸題也讓很多學(xué)生望而生畏，手足無措.在解析這道題目時，也沒有選擇正面迎擊，而是通過巧設(shè)關(guān)聯(lián)的問題情境，帶領(lǐng)學(xué)生不斷地旁敲側(cè)擊，待時機成熟了，再一舉攻破“堡壘”.問題串如下（投影）：

問題1討論“高斯函數(shù)”y＝[x]的圖象與性質(zhì).

問題2作出函數(shù)y＝x-[x]的圖象，并討論它的性質(zhì).

問題3函數(shù)y＝x+[x]的圖象與性質(zhì)與y＝x-[x]的有何不同？

問題4以上三個函數(shù)是否有共同點？如果有，你能否據(jù)此猜想函數(shù)f（x）的某個特性并加以證明嗎？

問題5與“高斯函數(shù)”相關(guān)的函數(shù)的圖象都有何明顯特征？請大家相互交流，并據(jù)此分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性.離終點不遠了，你是否已經(jīng)看到勝利女神的微笑了？

授人以魚，不如授人以漁.以下是幾位學(xué)生的發(fā)言與板演：

由圖可知（圖1），高斯函數(shù)的值域為Z，它既沒有單調(diào)性，也沒有奇偶性與周期性.

圖1

由圖可得（圖2），它的值域為[0，1），最小正周期為 1，單調(diào)增區(qū)間為 [k，k+1）（k∈Z），但沒有奇偶性.

圖2

學(xué)生丙：我發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)的性質(zhì)迵然不同.數(shù)形結(jié)合可得（圖3），函數(shù)的值域為[2k，2k+1）（k∈Z），它竟然是一個增函數(shù)，但沒有奇偶性與周期性.

圖3

盡量把這些問題分配給不同的小組，讓更多的學(xué)生有展示的機會.

學(xué)生丁：三個函數(shù)的共同點是“都沒有奇偶性”，由此猜想f（x）也沒有奇偶性，可以舉反例證明如下：

因為f（0 ）＝sin[1]+cos[0]＝sin1+cos0＝sin1+1≠0，所以f（x）不是奇函數(shù).

又因為f（-1）＝sin[cos（-1）]+cos[sin （-1）]＝sin[0]+cos[-1]＝cos1，

f（1）＝sin[cos1]+cos[sin1]＝sin[0]+cos[0]＝1，

所以f（-1）≠f（1），所以f（x）不是偶函數(shù).

教室里立即響起了一片熱烈的掌聲，我也頻頻點頭稱贊.隨后我又補充了一句：“因為與高斯函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的圖象都呈左（端點）閉右（端點）開的分段式結(jié)構(gòu)，所以這樣的函數(shù)的圖象一般都不具有對稱性.當然，也不排除像y＝[cosx]與y＝sin[cosx]這樣特殊的偶函數(shù).好了，就剩最后一個問題了，誰來替我畫上一個完美的句號？”話音未落，就有一位學(xué)生搶先站了起來.

學(xué)生戊：其實很簡單，只需判斷f（x）在區(qū)間上的單調(diào)性即可.

大功告成！通過解一題，讓學(xué)生通一法，會一類.如此這般講題、解題，豈不快哉？

3 結(jié)束語

總而言之，教師在評析練習(xí)與試卷中的一些較難的題目時，若能多設(shè)置一些階梯問題情境與關(guān)聯(lián)問題情境，不僅能深入淺出，化繁為簡，出奇制勝，更能啟發(fā)學(xué)生獨立思考，鼓勵學(xué)生相互交流，讓他們充分領(lǐng)略數(shù)學(xué)解題之美，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，進而有效發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).