指數(shù)函數(shù)及其反函數(shù)圖象公切線方程的表示

北京豐臺(tái)二中 甘志國(guó) （郵編：100071）

有很多文獻(xiàn)給出了指數(shù)函數(shù)與其反函數(shù)圖象公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的結(jié)論，特別是拙文[1]還給出了關(guān)于x的方程ax＝logax的根的表示.通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索可知，尚無(wú)文獻(xiàn)研究指數(shù)函數(shù)及其反函數(shù)圖象公切線方程的條數(shù).當(dāng)指數(shù)函數(shù)y＝ax中的a已知時(shí)，本文的定理給出了這方面的完整結(jié)論，并且還給出了所有公切線方程及切點(diǎn)坐標(biāo)的表示，在表示方法中除一步用到了求增函數(shù)的反函數(shù)外其他步驟是底數(shù)是e的乘方、求對(duì)數(shù)或與常數(shù)的四則運(yùn)算.

定理設(shè)曲線y＝ax與曲線y＝logax的公切線條數(shù)是ω（a），則

（1）當(dāng) 0＜a＜e-e時(shí) （若 函 數(shù)Γ（t）＝則存在唯一的正數(shù)α使得a＝e-eΓ（α）），ω（a）＝3，在同一條公切線上的兩個(gè)切點(diǎn)均不重合，三條公切線分別是

l3:y＝-eαx-（它們的斜率依次成非常數(shù)列的負(fù)項(xiàng)等比數(shù)列，l1、l3關(guān)于直線y＝x對(duì)稱）；它們與曲線y＝ax分別切于點(diǎn)（它們的橫坐標(biāo)xA、xB、xC滿 足xA+xC＝2xB＝-logaln2a，縱坐 標(biāo)yA、yB、yC滿 足與曲線y＝logax分別切于點(diǎn)C*、B*、A*（它們分別是三點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)）；

（2）當(dāng)a＝e-e時(shí) ，ω（a）＝1，公 切 線 方 程 是，兩個(gè)切點(diǎn)重合，均是

（3）當(dāng) e-e＜a＜ 1 時(shí)，ω（a）＝1，公切線方程是y＝-x-loga（-elna），它與曲線y＝ax，y＝logax的切點(diǎn)分別是它們不重合）；

（6）當(dāng)a＞時(shí) （若 函 數(shù)則存在唯一的正數(shù)β，使得a＝eeΩ（β）），ω（a）＝2，這兩條公切線關(guān)于直線y＝x對(duì)稱（它們的斜率均是正數(shù)且互為倒數(shù)），在同一條公切線上的兩個(gè)切點(diǎn)均不重合，兩條公切線分別是l1:y＝e-βx+它們與曲線y＝ax分別切于點(diǎn)（它們的橫坐標(biāo)xA、xB滿 足xA+xB＝-2logalna，縱坐標(biāo)yA、yB滿足時(shí)，ω（a）＝0；

（5）當(dāng)時(shí)，ω（a）＝1，公切線的方程是y＝x，兩個(gè)切點(diǎn)重合，均是（e，e）；yAyB＝），與曲線y＝logax分別切于點(diǎn)B*、A*（它們分別是兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)）.

證明設(shè)曲線y＝ax與曲線y＝logax的公切線l與它們分別切于點(diǎn)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得公切線l的斜率k＝aulna＝，所以

還可設(shè)公切線l的方程是y＝kx+m，由點(diǎn)A，B均在公切線l上，可得

設(shè) lna＝b（a≠ 1）即a＝eb（b≠ 0），再設(shè)函數(shù)f（λ）＝bλeλ-beλ-λ-lnb2-1，可得公切線的條數(shù)ω（a）即函數(shù)f（λ）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)b＜ 0，即 0 ＜a＜ 1時(shí).

當(dāng)t＞ 0時(shí)，可得Γ（t）＞t-1，所以當(dāng)t＞ 0時(shí)，Γ（t）的值域是（1，+ ∞ ）.

因而偶函數(shù)Γ（t）在 （-∞，0），（0，+ ∞ ）上分別是減函數(shù)、增函數(shù)，值域是（1，+∞）.

可設(shè)b＝-eμ-λ，a＝e-eμ-λ，進(jìn)而可得

f（λ）＝0?（λ-1）（eμ-1）＝-2μ?μ＝0或λ＝1-或Γ（μ）＝μ-λ

（i）當(dāng) 0 ＜a＜ e-e即μ-λ＞ 1時(shí)，可得存在唯一的正數(shù)α使得a＝e-eΓ（α）（再由a＝e-eμ-λ可得μλ＝Γ（α）＞ 1），所 以f（λ）＝0?μ＝0或Γ（μ）＝Γ（α）?μ＝α，0，-α

?λ＝α-Γ（α），-Γ（α），-α-Γ（α）?

進(jìn) 而 可 得 結(jié) 論 （1）成 立 ，由a＝e-eΓ（α）可證得進(jìn)而可得直線l1與l3關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.

（ii）當(dāng)a＝e-e即μ-λ＝1時(shí)，由Γ（μ）＞ 1，可得f（λ）＝0?μ＝0?λ＝-1，進(jìn)而可得結(jié)論（2）成立.

（iii）當(dāng) e-e＜a＜1 即μ-λ＜1 時(shí) ，可 得，進(jìn)而可得結(jié)論（3）成立.

（ⅠⅠ）當(dāng)b＞ 0即a＞ 1時(shí).

再由Ω（0）＝-1，及當(dāng)t＞0時(shí)-1＝t-3，可得偶函數(shù) Ω（t）在 （-∞，0]，[0，+∞）上分別是減函數(shù)、增函數(shù)，值域是[-1，+ ∞ ），當(dāng)且僅當(dāng)t＝0時(shí)，Ω（t）min＝-1.

可設(shè)b＝eμ-λ，a＝eeμ-λ，進(jìn)而可得

進(jìn) 而 可 得 結(jié) 論 （6）成 立 ，由a＝eeΩ（β）可證得進(jìn)而可得直線l1與l2關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.

注 在定理（1）中，可得α＝Γ-1（ln （-lna））（其中Γ-1（t）是函數(shù)Γ（t）（t＞ 0）的反函數(shù)）；在定理（6）中，可得β＝Ω-1（lnlna）（其中 Ω-1（t）是函數(shù)Ω（t）（t＞ 0）的反函數(shù)）.因而，當(dāng)a已知時(shí)，定理給出了曲線y＝ax與曲線y＝logax的所有公切線方程及切點(diǎn)坐標(biāo)的表示，在表示方法中除一步用到了求增函數(shù)的反函數(shù)外其他步驟是底數(shù)是e的乘方、求對(duì)數(shù)或與常數(shù)的四則運(yùn)算.

推論1若曲線y＝ax與曲線y＝logax的公切線與它們的切點(diǎn)重合，則a＝e-e（此時(shí)公切線條數(shù)是1，方程是（此時(shí)公切線條數(shù)是1，方程是y＝x，切點(diǎn)是（e，e））.

證明由定理可得欲證結(jié)論成立，下面再給出其直接證明.

可設(shè)a＝eλ（λ≠ 0），重合的切點(diǎn)是由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得公切線的斜率k＝λeλev＝

f′（v）＝在 （-∞，0），（0，+∞）上 均 是 增 函 數(shù).再 由f（±1）＝1，可 得v＝±1.

當(dāng)v＝-1時(shí)，可得λ＝-e，a＝e-e，重合的切點(diǎn)是公切線的斜率k＝-1，公切線的方程是

當(dāng)v＝1時(shí)，可得重合的切點(diǎn)是 （e，e），公切線的斜率k＝1，公切線的方程是y＝x.

推論 2（1）（i）函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且這兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù)（設(shè)為

（ii）曲線y＝lnx與曲線y＝ex有且僅有兩條公切線（其中α1同（i）），且l1，l2與曲線y＝lnx分別切于點(diǎn)與曲線y＝ex分別切于點(diǎn)

（ii）曲線y＝ex與曲線y＝lnx有且僅有兩條公 切 線l1:y＝eβ1x-β1-1，l2:y＝e-β1x+β1-1（其中β1同（i）），且l1，l2與曲線y＝ex分別切于點(diǎn)（β1，eβ1），（-β1，e-β1），l1，l2與曲線y＝lnx分別切于點(diǎn) （e-β1，-β1），（eβ1，β1）.

證明由定理（6）及f（α）＝0 ? Ω（-lnα）＝0（見(jiàn)函數(shù) Ω（t）定理（6））可得該結(jié)論成立，下面再給出其直接證明：

易證得g（β）是奇函數(shù)，所以g（β）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)且這兩個(gè)零點(diǎn)互為相反數(shù).

再由

又 可 證 得f（α）＝0?g（-lnα）＝0（其 中f（α）見(jiàn)（1）（i）），可得欲證結(jié)論成立.

（ii）設(shè)曲線y＝ex與曲線y＝lnx的公切線l與它們分別切于點(diǎn)A（u，eu），B（v，lnv），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得公切線l的斜率，所以v＝e-u.

還可設(shè)公切線l的方程是y＝kx+m，可得

再由（i）的結(jié)論，可得欲證結(jié)論成立.

（1）由 （2）（i）中 證 得 的f（α）＝0 ?g（-lnα）＝0，β1＝-lnα1及結(jié)論（2），可得欲證結(jié)論成立.

題1（2018年高考天津卷理科數(shù)學(xué)第20題）已知函數(shù)f（x）＝ax，g（x）＝logax，其中a＞1.

（1）求函數(shù)h（x）＝f（x）-xlna的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線y＝f（x）在點(diǎn) （x1，f（x1））處的切線與曲線y＝g（x）在點(diǎn) （x2，g（x2））處的切線平行，證明

題2（2019年高考全國(guó)卷ⅠⅠ文科第21題）已知函數(shù)f（x）＝（x-1）lnx-x-1.證明：

（1）f（x）存在唯一的極值點(diǎn)；

（2）f（x）＝0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).

題3（2019年高考全國(guó)卷ⅠⅠ理科第20題）已知函數(shù)

（1）討論f（x）的單調(diào)性，并證明f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

（2）設(shè)x0是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，證明：曲線y＝lnx在點(diǎn)A（x0，lnx0）處的切線也是曲線y＝ex的切線.

注題1～3的背景均是本文開(kāi)頭的定理——指數(shù)函數(shù)及其反函數(shù)圖象的公切線問(wèn)題：

（i）由定理的證明可給出題 1（3）的比參考答案要簡(jiǎn)潔的證法.

（ii）題 2（2）的結(jié)論即即題 3（1）的后半部分結(jié)論也推論 2（1）（i），由推論 2（1）（ii）可得題 3（2）的結(jié)論.

問(wèn)題 1（1）試求曲線y＝ex+a與曲線y＝lnx-a的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)λ（a）與公切線條數(shù)μ（a）；

（2）試求曲線y＝ex+a與曲線y＝ln（x-a）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)λ（a）與公切線條數(shù)μ（a）；

（3）試求曲線y＝aex與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)λ（a）與公切線條數(shù)是μ（a）.

問(wèn)題2試求曲線y＝ax與曲線y＝logbx的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)λ（a，b）與公切線條數(shù)μ（a，b）.