例析平面向量的最值問題的幾種解法

■劉長柏

平面向量融合了代數(shù)、幾何及三角函數(shù)等知識，在求其最值時，解題方法呈現(xiàn)出多樣性。下面對平面向量的最值問題的幾種解法進行歸納，意在拋磚引玉。

一、基底法

點評

本題通過選擇合適的基底向量，把三個動向量轉(zhuǎn)化為只有一個動向量（），從而使問題得到解決。利用基底法解決問題時，首先需要考慮的是如何選擇基底。

二、坐標(biāo)系法

例2已知矩形ABCD的邊長AB＝2，AD＝1，點P，Q分別在BC，CD上，且∠PAQ＝45°，則的最小值是____。

解：以矩形ABCD的頂點A為原點，AB，AD所在的直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xAy（圖略）。易得A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1）。設(shè)P（2，y），Q（x，1）（0≤x≤2，0≤y≤1）。

點評

合理建立坐標(biāo)系，由點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)的代數(shù)運算是坐標(biāo)法解決向量問題的關(guān)鍵。

三、構(gòu)造函數(shù)法

點評

本題主要是借助邊長，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求解的。

四、利用平面幾何知識

例4已知向量a，b，c滿足|a|＝4，|b|＝，a與b的夾角為，（c－a）·（c－b）＝－1，則|c－a|的最大值為 。

解：設(shè)。以O(shè)A所在的直線為x軸，O為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系xOy（圖略）。由|a|＝4，|b|＝，a與b的夾角為，可得A（4，0），B（2，2）。設(shè)C（x，y），由（c－a）·（c－b）＝－1，可得（x－3）2＋（y－1）2＝1，此方程表示以（3，1）為圓心，1 為半徑的圓。|c－a|表示點A與點C的距離，即圓上的點與點A（4，0）的距離。

因為圓心（3，1）到點A（4，0）的距離為，所以|c－a|的最大值為＋1。

點評

解答這類問題，要熟練掌握與平面向量有關(guān)的三角形、平行四邊形、圓、直線等平面幾何知識。