數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)：趣折相似 巧生幾何直觀
——以“折紙中的相似”為例

黃曉雨 (江蘇省淮安市淮陰中學(xué)新城校區(qū) 223001)

縱觀近幾年的基礎(chǔ)教育改革,整體雖取得了不錯(cuò)的成績(jī)，但數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的發(fā)展卻止步不前、舉步維艱，主要原因在于教學(xué)環(huán)境、教學(xué)設(shè)備等客觀條件的限制以及教師對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的錯(cuò)誤理解，即認(rèn)為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)要在高科技教室中開(kāi)展，要為學(xué)生配備先進(jìn)設(shè)備等，導(dǎo)致數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)在日常教學(xué)中難以施展.其實(shí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)并非一定要在高科技教室、先進(jìn)設(shè)備加持下展開(kāi)，日常生活中的道具都可以成為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的工具.本文通過(guò)學(xué)生動(dòng)手折疊A4紙，揭示相似的理論依據(jù)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)幾何直觀的價(jià)值，從而提高學(xué)生幾何直觀的能力.

1 零起點(diǎn)緩坡度小步走——折線

·折疊線段，形成方法

準(zhǔn)備活動(dòng)(1)學(xué)生拿出A4紙、小尺、剪刀、鉛筆等工具；(2)在A4紙上畫(huà)一條任意長(zhǎng)的線段AB.

師：請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手折線段AB的垂線，并說(shuō)明為什么所折的折線是線段AB的垂線．

經(jīng)過(guò)小組合作交流，方法總結(jié)為：將線段AB對(duì)折(折痕兩邊重合)，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為線段AB的垂線(圖1).

圖1

理由如下：取折痕上任一點(diǎn)D，因?yàn)閷?duì)折，所以∠BOD=∠AOD．又∠BOD+∠AOD=180°，所以∠BOD=∠AOD=90°，從而OD⊥AB.

師：有理有據(jù)！這樣的垂線有多少？怎么折？

生：無(wú)數(shù)條，將折痕兩邊的線段重合即可．

師：難度升級(jí)，請(qǐng)折線段AB的平行線，小組討論如何折疊．(學(xué)生疑惑，沒(méi)有思路)

師：請(qǐng)思考，目前要證明兩條線平行，你會(huì)從哪個(gè)角度出發(fā)？

生：角！

師：那要折兩線平行，紙中有沒(méi)有出現(xiàn)角？

生：沒(méi)有！但是可以作一條輔助線與線段AB相交，這樣就出現(xiàn)了角.

師：構(gòu)造的角度是多少度角比較好呢？

生：直角！因?yàn)閯偛乓呀?jīng)折過(guò)線段的直角！

經(jīng)過(guò)師生互動(dòng)式交流，方法總結(jié)為：先折線段AB的垂線a,再折垂線a的垂線b(不與線段AB重合)，得到線段b∥線段AB(圖2).

圖2

師：現(xiàn)在在線段AB外任取一點(diǎn)C，如何過(guò)點(diǎn)C折線段AB的垂線與平行線？

生：只需讓剛才折的垂線與平行線過(guò)點(diǎn)C即可(圖3)！

圖3

折線總結(jié)：(1)折一條已知線段的垂線，將折痕兩端的線段重合.

(2)折一條已知線段的平行線，先折線段的垂線，再折垂線的垂線(不與已知線段重合).

2 仿操作勤督促快反饋——折三角形

·折疊圖形，探索新知

準(zhǔn)備活動(dòng)：(1)將點(diǎn)C與點(diǎn)A，B分別連結(jié)，構(gòu)成△ABC；(2)過(guò)點(diǎn)C折△ABC的高CD.

圖4

生：利用剛才過(guò)點(diǎn)折垂線的方法，可以折出△ABC的高CD(圖4).

師：取高CD的中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O折線段AB的平行線，怎么折？

生：過(guò)點(diǎn)O折線段CD的垂線分別交線段AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，得EF∥AB(圖5).

圖5

師：點(diǎn)E，F(xiàn)在線段上的位置是否特殊？

生：點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AC，BC的中點(diǎn)，即點(diǎn)O為線段CD的幾等分點(diǎn)，那么折出來(lái)的點(diǎn)E，F(xiàn)就分別是線段AC，BC的幾等分點(diǎn)！

師：也就是說(shuō)，折線段AB的平行線是否只有一種方法？

生：折等分點(diǎn)也可以得到平行線！

折三角形總結(jié)：(1)折已知三角形某條邊的高，等價(jià)于過(guò)此邊的對(duì)角頂點(diǎn)折此邊的垂線.

(2)折已知三角形某條邊的平行線：方法一，先折此邊的垂線，再折垂線的垂線(不與已知線段重合).方法二，折另外兩條邊共頂點(diǎn)側(cè)的等分點(diǎn).

3 自主學(xué)勤歸納多創(chuàng)新——應(yīng)用

·開(kāi)展應(yīng)用，引領(lǐng)拓展

準(zhǔn)備活動(dòng)(1)請(qǐng)學(xué)生在A4紙上折出Rt△ABC，用記號(hào)筆描出三邊，標(biāo)記三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C；(2)再用剪刀將△ABC剪下.

問(wèn)：如何折Rt△ABC的三個(gè)角，使得折出的三角形與原Rt△ABC相似？小組合作，動(dòng)手操作．

經(jīng)過(guò)小組討論，折疊的思路分為兩類：

思路1折“正A形”相似

①折銳角∠C(圖6).

圖6

②折直角∠A(方法同①).

通過(guò)折“正A形”相似發(fā)現(xiàn)：折“正A形”相似的本質(zhì)就是折一條邊的平行線.

思路2折“反A形”相似

①折銳角∠C(圖7).

圖7

②折直角∠A(圖8).

圖8

師：通過(guò)直角折“反A形”相似，有何好方法？

生：只需將直角頂點(diǎn)落在斜邊中線上即可.

·變亦不變，不變亦變

拓展(課后作業(yè))：若將Rt△ABC變成一般的△ABC，重復(fù)上面的步驟，能否折出與原三角形相似的圖形？

4 回顧與反思

本節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的目的是教會(huì)學(xué)生動(dòng)手折相似三角形．若上來(lái)就讓學(xué)生折一個(gè)隨機(jī)三角形，然后去折它的相似三角形，很多學(xué)生會(huì)一臉茫然，無(wú)從下手．那么這節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課又將變成教師主導(dǎo)的“灌溉課”，即教師將自己的折疊方法交給學(xué)生，學(xué)生的思維就會(huì)被禁錮，效果就會(huì)大打折扣，達(dá)不到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的目地．因而，本節(jié)課設(shè)計(jì)得很有層次，由簡(jiǎn)入難，層層遞進(jìn)：利用兩個(gè)基本的折紙方法作為解決問(wèn)題的關(guān)鍵——折已知線段的垂線與折已知線段的平行線.首先通過(guò)折疊的性質(zhì)以及直角度數(shù)的特殊性，得到折疊垂線的方法；其次引導(dǎo)學(xué)生從平行線判定的角度思考，折已知線段的交線(垂線)，再通過(guò)折垂線的垂線得到折平行線的方法；然后將線段變直角三角形，折直角三角形的相似，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用兩種折紙方法去觀察、描述問(wèn)題，理解、解決問(wèn)題.學(xué)生把理論與實(shí)踐相結(jié)合，通過(guò)所學(xué)的相似判定結(jié)合剛才的折紙方法，發(fā)現(xiàn)折直角三角形相似就是折垂線或折平行線，從而揭示本實(shí)驗(yàn)操作的本質(zhì)，甚至部分學(xué)生還將方法進(jìn)行了拓展創(chuàng)新(折角平分線以及折斜邊中線)，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)了幾何直觀發(fā)展．本節(jié)課設(shè)計(jì)的巧妙之處在于將一般性三角形先強(qiáng)化條件變成直角三角形，通過(guò)折直角三角形相似發(fā)現(xiàn)，只需要折直角(折角等)就可以得到相似；進(jìn)而再將折相似弱化成折一邊的垂線或平行線；最后將問(wèn)題回歸原始，折一般性三角形的相似，學(xué)生就可以利用之前所學(xué)順利解決此問(wèn)題.課堂的教學(xué)自始至終都是學(xué)生自己動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)方法，得出結(jié)論，解決問(wèn)題.很好地培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手操作、理論與實(shí)際結(jié)合、解決問(wèn)題的能力和探索的精神，有效地將“聽(tīng)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩W(xué)”的方式，從“實(shí)物直觀”“圖形直觀”的角度發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)是一種學(xué)習(xí)方式，即學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具(如紙張、剪刀、模型、測(cè)量工具、作圖工具以及計(jì)算機(jī)等)，通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦“做”數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，這種學(xué)習(xí)方式不是簡(jiǎn)單地讓學(xué)生被動(dòng)式接受教科書(shū)上或者教師所講授的現(xiàn)成結(jié)論，而是讓學(xué)生從自己已有的“數(shù)學(xué)知識(shí)”出發(fā)，變“聽(tīng)數(shù)學(xué)”為“做數(shù)學(xué)”，變“看演示”為“動(dòng)手操作”，變“機(jī)械接受”為“主動(dòng)探索”.“做實(shí)驗(yàn)”的主動(dòng)探究過(guò)程培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力、解決問(wèn)題能力和創(chuàng)新意識(shí)，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而有效轉(zhuǎn)變初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式.

學(xué)生在折疊實(shí)驗(yàn)課中，通過(guò)“折相似”的本質(zhì)感悟到“化繁為簡(jiǎn)”的重要思想.但是，將“折相似”的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)弱化成折線段的垂線或平行線，再利用這兩種方法來(lái)“折相似”，這對(duì)于學(xué)生而言是有一定難度的.這需要學(xué)生具有一定的幾何直觀能力，能夠利用圖形的本質(zhì)描述與分析問(wèn)題，借助幾何直觀把復(fù)雜的圖形變得簡(jiǎn)單明了.對(duì)于學(xué)生而言，這是一個(gè)循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，教師應(yīng)給予學(xué)生充分的信任，給予學(xué)生更多時(shí)間和機(jī)會(huì)來(lái)展示交流，真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng).