傳承經(jīng)典 適度創(chuàng)新 凸顯本質(zhì)
——2021年全國新高考Ⅰ卷第22題探究與啟示

楊瑞強

(湖北省黃石市湖北師范大學附屬中學 435000)

1 試題呈現(xiàn)

題目已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

2 試題簡析

本試題作為一道高考壓軸題，主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)與證明不等式中的應(yīng)用，充分考查了學生的推理論證能力，轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想，考查邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學素養(yǎng).第(1)問雖然是討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，但是不含有參數(shù)，實質(zhì)只需求出它的單調(diào)區(qū)間即可，屬于學生熟悉的題型，估計滿分率較高.第(2)問是根據(jù)一個約束條件求證一個二元不等式，實質(zhì)上是一個雙變量問題(類似于極值點偏移問題)的證明，處理難度大，估計學生不易得分.事實上，此類高考試題在往年的高考試題也時有出現(xiàn)，可謂是對以往經(jīng)典試題的一種繼承，但是此試題在題目條件和結(jié)論設(shè)置上具有“隱蔽性”，可謂是適度創(chuàng)新，這樣使得試題更加凸顯了理性思維和數(shù)學本質(zhì).總之，試題設(shè)計立意鮮明，角度寬，視點多，符合“優(yōu)化高考選拔功能，強化能力立意與素養(yǎng)導(dǎo)向”的命題要求.

3 試題解析

(1)由題意，f(x)=x(1-lnx)的定義域是(0,+∞)，且f′(x)=-lnx.

當x∈(0,1)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

當x∈(1,+∞)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.

已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)，且f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，證明：2

圖1

下面給出幾種不同解決方法，以供參考.

由f(x1)=f(x2)，可得1-t=lnx1-tlntx1.

即證明(t-1)ln2<(t-1)ln(1+t)+t-1-tlnt

先證明右邊不等式.

設(shè)P(t)=(t-1)ln(t+1)-tlnt(t>1),

故F(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.

故F(1)

即ln2-1

故P(t)單調(diào)遞減.

所以P(t)

即(t-1)ln(1+t)+t-1-tlnt

再證明左邊不等式.

設(shè)Q(t)=(t-1)ln(t+1)+t-1-tlnt-(t-1)ln2(t>1),

由P′(t)>ln2-1得Q′(t)>0.

故Q(t)單調(diào)遞增.

所以Q(t)>Q(1)=0.

即左半邊不等式成立.

方法2(對稱構(gòu)造函數(shù)法)先證明x1+x2>2.

要證明x1+x2>2，則需證明x2>2-x1.

由于1

又由于f(x2)=f(x1)，所以只需證明f(x1)

設(shè)g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1)，

則g′(x)=-ln[x(2-x)]

>-ln[-(x-1)2+1]>0.

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.

所以g(x)

于是f(x)

即f(x1)

再證明x1+x2

要證明x1+x2

由于1f(e-x1).

又由于f(x2)=f(x1) ，所以只需證明f(x1)>f(e-x1).

設(shè)h(x)=f(x)-f(e-x)，x∈(0,1)，

則h′(x)=-ln[x(e-x)].

設(shè)t(x)=x(e-x)在(0,1)單調(diào)遞增，

則h′(x)在(0,1)單調(diào)遞減.

令h′(x)=0，則t(x)=x(e-x)=1.

又由于當x→0時，h(x)→0，

當x→1時，h(x)→0.

所以h(x)>0，

所以f(x)>f(e-x),x∈(0,1).

即f(x1)>f(e-x1).

評析函數(shù)f(x)與f(2-x)關(guān)于直線x=1對稱，構(gòu)造函數(shù)是解決極值點偏移問題的主流方法.而利用對稱性構(gòu)造一元差函數(shù)是解決極值點偏移問題的通用方法，其轉(zhuǎn)化的步驟為：

第一步：求出函數(shù)f(x)的極值點x0，構(gòu)造一元差函數(shù)F(x)=f(x0-x)-f(x0+x)；

第二步：對差函數(shù)F(x)求導(dǎo)，確定F(x)的單調(diào)性；

第三步：結(jié)合F(x)=0，判斷F(x)的符號，確定f(x0-x)與f(x0+x)的大小關(guān)系；

第四步：結(jié)合f(x1)=f(x2)=f[x0-(x0-x2)]>(<)f[x0+(x0-x2)]=f(2x0-x2)，得到f(x1)>(<)f(2x0-x2)；

方法3 同構(gòu)函數(shù)法證明x1+x2>2.

由(1)可知f(x)≤f(x)max=f(1)=1.

不妨設(shè)a>b，則

所以函數(shù)G(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

于是G(b)>G(a).

利用不等式放縮法證明x1+x2

解法1“切線法”放縮：曲線f(x)在點(e,0)處的切線方程是φ(x)=e-x.

令H(x)=f(x)-φ(x)=2x-xlnx-e,x∈(0,e)，

則H′(x)=1-lnx>0.

所以H(x)在(0,e)上單調(diào)遞增.

所以H(x)

所以當x∈(0,e)時，f(x)<φ(x).

令t=f(x1)=f(x2),則

t=f(x2)<φ(x2)=e-x2，t+x2

又t=f(x1)=x1(1-lnx1),x1∈(0,1)，

所以t=x1(1-lnx1)>x1.

即x1+x2

解法2利用“l(fā)nx≤x-1”放縮：

由f(x1)=f(x2)和x1(1-lnx1)>x1，可得

x1

=e-x2.

于是x1+x2

4 教學啟示

4.1 高考試題不回避往年的熱點與經(jīng)典問題的考查

高考有些熱點問題或經(jīng)典問題屢考不衰，備考復(fù)習應(yīng)深入研究.例如上面的2018年全國Ⅰ卷理科第21題，主要考查單調(diào)性的討論和極值點的相關(guān)證明，尤其是第二問雙變量的證明實質(zhì)是“對數(shù)均值不等式”的證明；而2018年全國Ⅰ卷理科第22題則來源于2011年湖南卷文科第22題(兩道試題基本一致)；再如“極值點偏移”問題在前幾年其它省份高考中就出現(xiàn)過多次，2010年天津卷理科第21題，2011年遼寧卷理科第21題，2013年湖南卷文科第21題等.這些充分體現(xiàn)了高考對往屆高考的繼承性與創(chuàng)新性的特點.

4.2 高考試題可以來源于往年經(jīng)典高考試題的改編

新課程改革以來，每年都會產(chǎn)生不少優(yōu)秀的高考數(shù)學試題，這些高考試題必然會受到高考命題者的青睞，把它們改頭換面，使之“脫胎換骨”成新的高考試題.常用的改編手段往往有三種：

4.2.1改編條件，交換結(jié)論

命題者經(jīng)常把高考題中的條件和所要求的或證明的問題相互交換，構(gòu)造一個新的問題.

4.2.2移花接木，拓展延伸

改變問題的背景，例如根據(jù)某一個問題，命題者把其中的圓改成圓錐曲線，或者把橢圓、雙曲線、拋物線互相交換，從而得到新的命題.

4.2.3隱藏背景，殊途同歸

有些經(jīng)典的數(shù)學問題題目簡潔，解法多樣，命題者通過各種命題手法，給題目套上不同的“外套”，隱藏原題的背景，讓它轉(zhuǎn)變成為新的高考試題.

4.3 研究高考真題是研究備考的捷徑和最有效的復(fù)習方法

年年歲歲卷不同，歲歲年年題不同.雖然每年試卷在變，試題更在變，但是萬變不離其宗.我們知道，高考真題具有絕對的權(quán)威性和導(dǎo)向性，因為它考點準而信度高，方向明而內(nèi)容精.首先，高考真題是一群專家級命題者花費幾個月集體智慧的結(jié)晶，在命題角度、題型和難度等方面都進行了充分的考慮和精心設(shè)計，它代表的是考點和題型趨勢，是最好的檢驗學生學習效果的題目，因此，是我們師生備戰(zhàn)高考最寶貴的資料之一.其次，通過真題的練習與研究，在復(fù)習訓(xùn)練過程中不斷總結(jié)和體會，逐漸理解命題專家的思路，洞悉他們是怎樣設(shè)置試題“陷阱”的，那么復(fù)習效果絕對立竿見影.同時，如果我們平時教學中，能夠引導(dǎo)學生對往屆高考試題加以分析與研究，那么往往可以捕捉到高考命題的一絲線索.