利用導(dǎo)數(shù)突破高考圓錐曲線壓軸題

賀鳳梅

(新疆伊犁鞏留縣高級中學(xué) 835400)

1 題目呈現(xiàn)

題目(2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國乙卷理科 第21題) 已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.

(1)求p的值；

(2)若點(diǎn)P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，求ΔPAB面積的最大值.

2 總體分析

本題是全國乙卷理科解答題的第21題，屬于壓軸題，以面積最值為命題點(diǎn)，綜合考查圓錐曲線和導(dǎo)數(shù).圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：第一種是幾何法，特別是利用圓錐曲線的定義和平面解析幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；第二種是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等來求解最值.另外，導(dǎo)數(shù)的幾何意義的引入也大大豐富了高中數(shù)學(xué)的知識體系，給我們用常規(guī)方法無法解決的問題提供了新的視角，同時(shí)也拓寬了解決圓錐曲線問題的思路.下面從不同的視角來探討這個(gè)高考壓軸題，并進(jìn)行追根溯源，深刻理解此問題的本質(zhì)，期望弄通悟透.

3 試題解答

以下重點(diǎn)探討第(2)問.

視角1借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同一法求直線方程，進(jìn)而求面積的最值

①

②

化簡整理，得x2-2x0x+4y0=0，

由韋達(dá)定理有x1+x2=2x0，x1x2=4y0，

由條件易知y0∈[-5,-3].

視角2借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義，斜截式求直線方程，進(jìn)而求面積的最值.

③

在進(jìn)行道床建設(shè)時(shí)，要保證材料符合相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)要求，加強(qiáng)道床施工的質(zhì)量控制，保證其具有較高標(biāo)準(zhǔn)的承載力，可以在較長時(shí)間承載地鐵的運(yùn)行，有以下技術(shù)要點(diǎn)：①在道床施工中，要將預(yù)留縫隙與隧道結(jié)構(gòu)縫控制在統(tǒng)一平面上；②在搭設(shè)與拆除腳手架時(shí)要與鋼軌置離；③進(jìn)行混凝土澆筑時(shí)要適當(dāng)?shù)姆謱?，采用特殊的方法分臺階澆筑，保證其具有充足的承載力。

評注此解法同解法1，先得出切線PA,PB的方程，聯(lián)立兩直線方程得出交點(diǎn)P的坐標(biāo)(用點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)表示)；再設(shè)直線AB的斜截式方程，與拋物線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理得出兩根之和與兩根之積.接下來進(jìn)行對照，將點(diǎn)P的坐標(biāo)用直線AB方程斜截式中的k和b來表示，最后利用面積公式并結(jié)合解法1可得解.

視角3借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義及數(shù)形結(jié)合思想，求出面積表達(dá)式，進(jìn)而求面積的最值.

解法3 設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，由解法2可得

設(shè)AB中點(diǎn)為Q，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)

所以|PQ|=|yQ-yP|.

評注此解法關(guān)注到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與弦AB中點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，因此PQ⊥x軸，從而簡化了面積的轉(zhuǎn)化與求解，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的重要性.由此解法我們得到的啟示是：在做直線與圓錐曲線的綜合題時(shí)，先做草圖，數(shù)形結(jié)合，也許可以找到解題的突破口.

4 追根溯源

(1)求p的值；

(2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB的中點(diǎn)N的軌跡方程.

評注此題也有多種解法，可以直接設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，再利用求軌跡的方法求解.此法的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)而不求，思路直接，難點(diǎn)是參數(shù)多，需要注意消參的技巧；也可以借助拋物線的參數(shù)式，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的方程，進(jìn)而求出兩切線的方程，轉(zhuǎn)化為以t1,t2為兩根的方程，最后利用韋達(dá)定理求解，關(guān)鍵點(diǎn)是方程的轉(zhuǎn)化和消元的技巧.此題解法從略，有興趣的讀者可以自己嘗試.

從近幾年全國各地的高考圓錐曲線的壓軸題來看，圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)及直線與圓錐位置關(guān)系仍是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn).文中兩題以圓錐曲線中的拋物線為背景，過曲線外一點(diǎn)引曲線兩條切線問題為載體展開.一道題是利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，并求所得到的三角形面積的最大值；另一道是利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，尋求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.兩題均考查了圓錐曲線的一些基本知識及消參等基本運(yùn)算；從思想方法上來看，考查了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等.

要學(xué)好高中數(shù)學(xué)，就應(yīng)該對所學(xué)知識有整體的認(rèn)識和把握，即理解這些知識在解決數(shù)學(xué)問題乃至實(shí)際問題中所起的作用.我們也要明確，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，邏輯思維、數(shù)形結(jié)合、概括與綜合等都是數(shù)學(xué)的重要思想方法.