球面與簡(jiǎn)單多面體表面交線問題探究

魏東升

(福建省廈門雙十中學(xué)漳州校區(qū) 363107)

在最近筆者所在學(xué)校年級(jí)組織的一次高三月考中，一道立體幾何的問題引起了筆者關(guān)注．因?yàn)槠涞梅智闆r幾乎可以用“慘不忍睹”來形容，即便是筆者所在的層次較好的班，其情況也不容樂觀．經(jīng)過對(duì)試題進(jìn)行深入探究發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問題是立體幾何中的一種經(jīng)典問題，其解法亦具有普遍性．

1 真題再現(xiàn)

本題選自2020年新高考山東卷的第16題．從考查知識(shí)方面來說，主要考查了立體幾何點(diǎn)線面位置關(guān)系，簡(jiǎn)單幾何體的構(gòu)造，軌跡問題和扇形的弧長(zhǎng)公式等；從考查知識(shí)方面來說，主要考查了數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想和整體與局部思想等；從考查能力方面來說，本題主要考查了學(xué)生的直觀想象能力，數(shù)學(xué)抽象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等，很好地體現(xiàn)了《考試說明》中強(qiáng)調(diào)的“以能力立意，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查”.作為填空壓軸題，有很好的區(qū)分度，具有較好的選拔功能．

2 本質(zhì)呈現(xiàn)

這類問題其實(shí)是幾何中的截弧問題，屬于球“切截接”(球內(nèi)切問題，球截面問題和球外接問題)中截面問題的一種，其上次出現(xiàn)還是在2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中.所謂截弧，是指平面中的圓(或圓弧)被直線或線段所截，或者是空間中的球被多面體(或平面圖形)所截，所得截線是一個(gè)圓或是一段圓弧，但常常是圓弧居多，實(shí)際上其和麻將這類益智類游戲中的“截和”有異曲同工之妙.

解決這類問題的關(guān)鍵是需要具備解題的整體思想，能夠直觀想象到多面體截得的弧是圓的一部分，同時(shí)結(jié)合已知條件通過數(shù)學(xué)運(yùn)算獲得該圓的圓心和半徑，進(jìn)而得到圓弧所在扇形的圓心角.

如果球面與幾何體的某個(gè)表面有交線，則球的半徑應(yīng)該大于球心到該面的距離，且小于球心到該面內(nèi)點(diǎn)的最大距離.在實(shí)際問題中，不管是準(zhǔn)確作出交線的軌跡還是計(jì)算軌跡的長(zhǎng)度，都繞不開弧心(即軌跡所在圓的圓心)的確定，由圖1可知，弧心其實(shí)就是球心O在截面上的投影A.弧心的確定可以分為三類：弧心即球心；弧心在邊界及弧心在面內(nèi).以下結(jié)合實(shí)例分析這三種類型的解題策略.

圖1

3 類型展現(xiàn)

3.1 弧心即球心

如果球面與球心所在面相交，則其交線所在圓即為大圓，該截弧的弧心即為球心.

例1 已知正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的上下底邊長(zhǎng)分別為2和5，側(cè)棱長(zhǎng)為3.以下底邊頂點(diǎn)A為球心，2為半徑的球面與正三棱臺(tái)的表面的交線長(zhǎng)為____.

圖2

解析如圖2，因?yàn)榍駻的半徑為2，所以其只與正三棱臺(tái)的表面A1B1BA，A1C1CA及ABC等三個(gè)面相交.假設(shè)其與這三個(gè)面的交線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，F(xiàn).因?yàn)榍蛐腁剛好在這三個(gè)面內(nèi)，所以球心A也就是對(duì)應(yīng)截面圓的圓心，其與正三棱臺(tái)的交線也就是以A為弧心的三段弧長(zhǎng)．

評(píng)析本題解題的關(guān)鍵是確定球和多面體的幾個(gè)表面有交線．由于球的半徑小于球心到面A1B1C1和面B1C1CB的距離，所以其只與球心A所在的三個(gè)面有交線，而點(diǎn)A也就成了這三段截弧的弧心.

3.2 弧心在邊界

如果球心所在面與截面垂直，則該截弧的弧心必在兩個(gè)平面的交線上．

圖3

評(píng)析注意到點(diǎn)A1所在的兩個(gè)平面A1B1BA及A1B1C1D1同時(shí)和平面BB1C1C垂直，所以點(diǎn)A1在平面BB1C1C的投影即為這三個(gè)平面的公共點(diǎn)B1.所以點(diǎn)B1就成了平面BB1C1C所在截弧的弧心.

3.3 弧心在面內(nèi)

如果球心所在面與截面不垂直，則該截弧的弧心必在截面的面內(nèi)．

例3 已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2．以BC的中點(diǎn)E為球心，1為半徑的球面與該正四面體的右側(cè)面ACD的交線長(zhǎng)為____．

圖4

解析如圖4，因?yàn)榍蛐腁1不在面ACD內(nèi)，所以需要找到其在這個(gè)面的投影，也就是截面圓的圓心．

取AD的中點(diǎn)M，連接BM和CM，易證得平面ACD⊥平面BCM，所以球心E在面ACD的投影G剛好落在平面ACD和平面BCM的交線CM上．

評(píng)析事實(shí)上，很多時(shí)候會(huì)碰到截弧的弧心出現(xiàn)在所截面的面內(nèi)的情況，這個(gè)時(shí)候需要找到一個(gè)垂面，即過球心且和截面垂直的平面，此時(shí)可知弧心會(huì)出現(xiàn)在這兩個(gè)平面的交線上．

有了以上知識(shí)儲(chǔ)備，我們?cè)賮砜纯催@道真題的解析．

圖5

設(shè)P為側(cè)面B1C1CB與球面的交線上的點(diǎn)，

則D1E⊥EP.

需要指出的是，在解題時(shí)上述類型的運(yùn)用往往并不一定是孤立的，可能會(huì)是多種情況同時(shí)出現(xiàn)，這一點(diǎn)可以通過改變多面體的類型，變換球心的位置或者球的半徑得到，而這也是數(shù)學(xué)命題中一題多變的思想源泉．