巧用構(gòu)造法 解答數(shù)學(xué)題

陳賢兵

(福建省南平市光澤縣第一中學(xué) 354100)

運用構(gòu)造法解題是建立在對問題本質(zhì)深入理解，準確把握的基礎(chǔ)之上，對學(xué)生的能力要求較高.授課中應(yīng)做好相關(guān)理論的系統(tǒng)講解，并做好構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用示范，使學(xué)生掌握運用構(gòu)造法解題的題型以及相關(guān)的應(yīng)用技巧，提高其解題水平以及解題自信.

1 巧用構(gòu)造函數(shù)，解答數(shù)學(xué)題

構(gòu)造函數(shù)是解答數(shù)學(xué)習(xí)題的重要構(gòu)造方法之一.根據(jù)題干創(chuàng)設(shè)的情境可靈活構(gòu)造二次函數(shù)、三角函數(shù)以及一些特殊函數(shù).其中構(gòu)造函數(shù)后還應(yīng)注重聯(lián)系所學(xué)的函數(shù)性質(zhì)進行解題，針對一些特殊函數(shù)還應(yīng)運用導(dǎo)數(shù)知識研究函數(shù)的性質(zhì)，把握函數(shù)的增減規(guī)律，以達到順利破題的目的.

A.有極大值，無極小值

B.有極小值，無極大值

C.既有極大值，又有極小值

D.無極大值，也無極小值

分析習(xí)題僅給出關(guān)于函數(shù)f(x)的兩個等式關(guān)系，并不知道函數(shù)的具體表達式，難度較大.解題應(yīng)從給出的兩個等式關(guān)系入手，聯(lián)系導(dǎo)數(shù)知識，構(gòu)造相關(guān)函數(shù).在把握函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上判斷函數(shù)f(x)是否有極值.

構(gòu)造函數(shù)F(x)=e2xf(x)，

所以f′(x)≤0，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，即當(dāng)x>0時，其既無極大值也無極小值，故選D.

2 巧用構(gòu)造數(shù)列，解答數(shù)學(xué)題

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)列類型有等差數(shù)列、等比數(shù)列，因此，構(gòu)造數(shù)列時應(yīng)注重對給出的已知條件進行整理、變形，轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列的形式，然后結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列前n項和Sn與an之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式.結(jié)合具體問題靈活運用錯位相減法、裂項相消法等技巧進行解題.

分析因為bn和數(shù)列的通項公式an相關(guān)，因此，需要先根據(jù)已知條件通過構(gòu)造數(shù)列求解出an，而后再代入證明即可.

解析因為an+2Sn-1·Sn=0(n≥2)，

an=Sn-Sn-1(n≥2)，

代入整理，得

所以

b2b3+b3b4+b4b5+…+bn+1bn+2

3 巧用構(gòu)造方程，解答數(shù)學(xué)題

解答高中數(shù)學(xué)部分習(xí)題可對已知條件進行轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造方程的方式解決.構(gòu)造方程時應(yīng)注意充分利用已知條件進行轉(zhuǎn)化，減少參數(shù)個數(shù)，更好地揭示相關(guān)參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，必要情況下運用函數(shù)與方程思想化抽象為直觀，借助函數(shù)圖象理清參數(shù)之間的關(guān)系，達到順利解題的目標.

例3 已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=2，a2+b2+c2=4，且a>b>c，則a的取值范圍為____.

分析習(xí)題給出兩個等式，看似無從下手，事實上，解題時注重通過等價代換構(gòu)造相關(guān)方程，借助方程知識便可順利地解答.

解析因為a+b+c=2，所以b+c=2-a.

又因為a>b，a>c，所以2a>b+c.

因為b2+c2=(b+c)2-2bc=4-a2，

所以(2-a)2-2bc=4-a2.

整理，得bc=a2-2a，

所以bc是方程x2-(2-a)x+a2-2a=0的兩根.

當(dāng)x=a時，對應(yīng)函數(shù)的值大于零，

即a2-(2-a)a+a2-2a>0.

4 巧用構(gòu)造圖形，解答數(shù)學(xué)題

解答數(shù)學(xué)習(xí)題時構(gòu)造圖形可很好地提高解題效率.構(gòu)造圖形時應(yīng)積極聯(lián)系相關(guān)知識，吃透已知條件含義，從幾何角度分析參數(shù)之間的關(guān)系，尤其在解決向量問題時構(gòu)造圖形可大大簡化解題過程.為使學(xué)生掌握運用構(gòu)造法解答數(shù)學(xué)問題的技巧，在解題中少走彎路，應(yīng)啟發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中養(yǎng)成多思考、多總結(jié)的良好習(xí)慣，并進行多角度分析問題，真正把握相關(guān)知識本質(zhì).

分析該題采用常規(guī)解法難度較大，如能充分吃透向量的幾何意義，通過構(gòu)造圖形，便可很快得出正確答案.

解析根據(jù)題意建立平面直角坐標系，

圖1

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)注重與學(xué)生一起總結(jié)常用的構(gòu)造方法，把握不同構(gòu)造方法之間的區(qū)別以及適用題型，通過在課堂上不斷強調(diào)構(gòu)造法的重要性，提高學(xué)生對構(gòu)造法重要性的認識，并優(yōu)選精講典型例題，為學(xué)生展示具體的構(gòu)造過程.同時，鼓勵學(xué)生學(xué)會聽課，做好聽課的總結(jié)，不斷反思，及時找到自身運用構(gòu)造法解題的不足，加以針對性的夯實.