初中數(shù)學(xué)課堂中的 幾何變換思想教學(xué)

■文/何露娜

幾何是初中數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，很多學(xué)生在解答幾何類題目時(shí)比較吃力，要想突破這一難點(diǎn)，教師不僅要注重幾何知識(shí)的講解，更要重視幾何思想方法的滲透。幾何變換在初中數(shù)學(xué)課程中占據(jù)重要的位置，是解決許多數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。本文對(duì)初中數(shù)學(xué)課堂中的幾何變換思想教學(xué)進(jìn)行探究，以供參考。

一、幾何變換思想的內(nèi)涵

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有的學(xué)者將幾何變換看作一種解題方法，認(rèn)為幾何變換就是采取迂回手段來分析和解決數(shù)學(xué)問題的方法，如恒等變換、分割變換等，有助于降低解題的難度；有的學(xué)者將幾何變換當(dāng)作快速解決問題的工具，認(rèn)為“觀察—聯(lián)想—變換”是數(shù)學(xué)解題的基本思維過程。在當(dāng)前的教學(xué)中，大部分教師僅是對(duì)幾何變換知識(shí)進(jìn)行教學(xué)，而沒有將其看作一種數(shù)學(xué)思想方法。

筆者根據(jù)相關(guān)資料結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將幾何變換定義為：如果圖形P上的每一個(gè)點(diǎn)，都能夠按照一定的規(guī)則變成對(duì)應(yīng)的另一個(gè)點(diǎn)，那么所有的點(diǎn)就能夠組成一個(gè)新的圖形P” ，圖形P與P” 存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，從圖形P變成圖形P” 的過程就是幾何變換。在初中數(shù)學(xué)課程中，幾何變換主要包括平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等，但它同時(shí)也是一種數(shù)學(xué)思想方法，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和思維水平。

二、幾何變換思想對(duì)教學(xué)的意義

（一）提高數(shù)學(xué)解題效率

解題是學(xué)習(xí)、探索數(shù)學(xué)的一種途徑，學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展主要是通過解決一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問題來實(shí)現(xiàn)的，幾何變換中的平移、旋轉(zhuǎn)、相似等在解題過程中具有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用價(jià)值。很多初中生都有這樣的體驗(yàn)，有時(shí)面對(duì)一道數(shù)學(xué)題冥思苦想，卻找不出解題的思路，而通過畫平行線、對(duì)稱軸等方式往往能挖掘出題目中的隱藏信息。特別是在平面幾何證明題中，常常需要通過平移、旋轉(zhuǎn)等方式來解決問題。例如，如圖1所示，AB平行于CD，E是AD的中點(diǎn)，BE、CE分別是角平分線，求證：BC＝AB+CD。如果不作任何的輔助線，解答該題的難度較大。題目出現(xiàn)了角平分線，教師可以指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用翻轉(zhuǎn)變換的思想進(jìn)行證明，先從BC上選取點(diǎn)F，使BF＝AB，然后連接EF，那么△ABE和△FBE互為軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為BE，接著利用三角形全等定理進(jìn)行解答。同時(shí)，由于該題出現(xiàn)了中點(diǎn)E，所以還可以對(duì)圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，然后利用中心對(duì)稱的原理進(jìn)行證明。

圖1

（二）促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展

數(shù)學(xué)有助于鍛煉個(gè)體的思維能力，培養(yǎng)人的理性思維。幾何變換就是將圖形按照一定的規(guī)則轉(zhuǎn)移到同一平面的另一個(gè)地方，無論是平移、旋轉(zhuǎn)還是翻轉(zhuǎn)變換，圖形變換前后都具有距離、角度、面積相同的特點(diǎn)，變換前后的圖形是全等的。在新課改的背景下，教師要注重對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，這樣才能使學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決實(shí)際問題。教師將幾何變換思想滲透到數(shù)學(xué)課堂中，能夠使學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度分析和解決數(shù)學(xué)問題。例如，△ABC為等腰直角三角形，其中AB等于AC，P為三角形內(nèi)部的任意一點(diǎn)，BP＝3，AP＝2，CP＝1，求∠APC。在教學(xué)過程中，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)這道題無法直接進(jìn)行解答，這時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生從幾何變換的角度解析問題，對(duì)題目進(jìn)行深層次的解讀。教師可適當(dāng)提示：“AB和AC是相等的，那么我們是否能構(gòu)建一個(gè)與APC全等的 三角形呢？”引導(dǎo)學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)變換的方式來分析這個(gè)問題，從而找出正確的解答方法。在講解完題目后，教師要及時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，使其掌握該類問題的解決思路，促進(jìn)學(xué)生思維能力的提高。

（三）具有指導(dǎo)生活的作用

數(shù)學(xué)教育是讓學(xué)生更好地探索生活、適應(yīng)生活的一種方式。幾何變換思想的滲透，是為了讓學(xué)生掌握“有用的數(shù)學(xué)”，能夠利用數(shù)學(xué)課程中的思維去分析生活中的問題。幾何變換思想是通過變換讓問題變得相對(duì)熟悉、簡單的一種方式，有助于人們更加快速地解決問題，比如在設(shè)計(jì)花壇時(shí)，可以先確定花壇的對(duì)稱軸，然后在兩側(cè)布置顏色、形狀相同的花卉，從而呈現(xiàn)出一種對(duì)稱美。由此可見，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透幾何變換思想，對(duì)學(xué)生的日常生活與未來發(fā)展均具有積極的意義。

三、幾何變換思想教學(xué)策略

（一）剪拼圖形，感受幾何變換

幾何變換是一種動(dòng)態(tài)變化的過程，而面對(duì)抽象的靜態(tài)圖形，很多學(xué)生難以在腦海中勾勒出圖形變換后的模樣。對(duì)此，數(shù)學(xué)教師可開展圖形剪拼活動(dòng)，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中形成真實(shí)深刻的感知，領(lǐng)會(huì)幾何變換的特點(diǎn)，發(fā)展幾何直觀與想象思維。通過剪拼圖形的活動(dòng)，學(xué)生可以根據(jù)自己的想法自由地剪切、整合圖形，從而產(chǎn)生不同的運(yùn)動(dòng)效果和圖案，使學(xué)習(xí)過程具有趣味性與自主性。

例如，在教學(xué)“平行四邊形”時(shí)，教師可讓學(xué)生提前準(zhǔn)備好工具，在課堂上提出問題：“怎樣把一張四邊形的紙片變成平行四邊形？”讓學(xué)生圍繞這個(gè)問題進(jìn)行自主操作。在活動(dòng)中，部分學(xué)生成功地剪出了平行四邊形，部分學(xué)生剪出的四邊形不夠標(biāo)準(zhǔn)。這時(shí)教師可以講解知識(shí)點(diǎn)：“將任意四邊形各邊的中點(diǎn)連接起來，就可以構(gòu)成一個(gè)平行四邊形。”讓學(xué)生掌握這一判定平行四邊形的方法，在解答這一類題時(shí)也可以利用該原理來畫輔助線。接著，教師可引導(dǎo)學(xué)生將目光轉(zhuǎn)向裁剪下來的四個(gè)角上，讓學(xué)生自由地進(jìn)行拼貼。很快，學(xué)生就發(fā)現(xiàn)裁下來的四個(gè)角也可以拼成一個(gè)平行四邊形。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶圖形剪拼活動(dòng)的過程，并提出問題：“你在剪拼活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)了哪些圖形的運(yùn)動(dòng)方式呢？”并帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)相關(guān)知識(shí)。在這一活動(dòng)中，學(xué)生既掌握了關(guān)于平行四邊形的知識(shí)，也感受到了圖形旋轉(zhuǎn)、平移等運(yùn)動(dòng)變換方式，認(rèn)識(shí)到幾何變換會(huì)改變圖形的位置，但不會(huì)改變形狀和大小，領(lǐng)會(huì)到了幾何變換中的不變量思想。

（二）立足生活，體會(huì)變換現(xiàn)象

生活中處處都有幾何變換現(xiàn)象，教師可將這些現(xiàn)象融入數(shù)學(xué)課堂中，引導(dǎo)學(xué)生從具體的生活現(xiàn)象中認(rèn)識(shí)不同類型的幾何變換運(yùn)動(dòng)。在初中幾何變換教學(xué)中，教師可以先展示一些生活中的場景、現(xiàn)象和事物，由此引入幾何變換教學(xué)。

例如，在教學(xué)“圖形的旋轉(zhuǎn)”時(shí)，教師可在導(dǎo)入階段播放一段視頻，展示風(fēng)力發(fā)電機(jī)運(yùn)作的場景，并提出問題：“風(fēng)力發(fā)電機(jī)是怎樣運(yùn)動(dòng)的？”學(xué)生通過觀看視頻，很快便能得出旋轉(zhuǎn)的答案。教師繼續(xù)追問：“你在生活中見到過哪些旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象？”鼓勵(lì)學(xué)生聯(lián)想自己的生活經(jīng)驗(yàn)，教師將學(xué)生的答案依次書寫在黑板上，如洗衣機(jī)、電風(fēng)扇等，通過列舉大量生活實(shí)例的方式，讓學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)的概念形成深刻的感性認(rèn)識(shí)。接著，教師又問：“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)有什么特點(diǎn)？”讓學(xué)生討論交流，如旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)往往有一個(gè)中心、旋轉(zhuǎn)過程中圖形的大小和形狀不會(huì)改變等。最后，教師對(duì)學(xué)生的答案進(jìn)行整合與補(bǔ)充。教師以生活中的物體和場景為依托，能夠使學(xué)生深入體會(huì)幾何變換的特點(diǎn)和規(guī)律，對(duì)相關(guān)概念形成準(zhǔn)確的理解，為后續(xù)的學(xué)習(xí)及數(shù)學(xué)解題打下良好的基礎(chǔ)。

（三）關(guān)系探究，理解變換思想

要想讓學(xué)生掌握幾何變換思想，必須讓他們對(duì)幾何變換關(guān)系有深入的認(rèn)識(shí)。在解答數(shù)學(xué)問題的過程中，有時(shí)候需要多次變換圖形，所以教師要引導(dǎo)學(xué)生理解變換運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在關(guān)系，比如圖像發(fā)生了2次翻折，如果對(duì)稱軸是平行的，就相當(dāng)于做了一次平移運(yùn)動(dòng)，如果對(duì)稱軸不平行，就相當(dāng)于做了一次旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

除此之外，教師還可以設(shè)計(jì)一些問題，如：“圖形進(jìn)行2次旋轉(zhuǎn)是什么變換？”“先將圖形進(jìn)行翻折，然后旋轉(zhuǎn)90°，圖形會(huì)發(fā)生什么樣的變化？”讓學(xué)生通過實(shí)踐操作的方式進(jìn)行探究，理解不同變換運(yùn)動(dòng)之間的相互作用關(guān)系。

為了使學(xué)生更加有效地掌握變換思想，教師可適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用一些現(xiàn)代化的技術(shù)設(shè)備。例如在教學(xué)“位似”時(shí)，教師可帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)計(jì)算機(jī)教室，讓學(xué)生利用繪圖軟件開展探究學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生任意繪制一個(gè)幾何圖形，然后運(yùn)用“復(fù)制+縮放”的操作流程，生成大小不同、形狀相同的圖案，讓學(xué)生通過對(duì)圖案的觀察，理解“位似”這一概念。在授課過程中，教師要樹立跨單元整合教學(xué)的意識(shí)，將關(guān)于幾何變換的數(shù)學(xué)知識(shí)整合起來，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建完善的知識(shí)框架，并指導(dǎo)學(xué)生利用繪圖軟件進(jìn)行操作，觀察圖形發(fā)生的變化，將不同單元中幾何變換的知識(shí)整合起來，從中提煉幾何變換思想。

（四）一題多解，掌握思想方法

“一題多解”是數(shù)學(xué)教育中經(jīng)常提到的名詞，有助于豐富數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，拓展知識(shí)外延，使學(xué)生能夠靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決各種問題。在幾何變換教學(xué)的過程中，教師也要鼓勵(lì)學(xué)生嘗試一題多解，從不同的角度去分析和解答數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生能夠快速地找出問題的解答思路，形成多元化的解題方式，最后選擇出最佳的解題方式。在培養(yǎng)學(xué)生幾何變換思想時(shí)，教師采用“一題多解”的方式，可以拓展學(xué)生的解題思路，引發(fā)其深度思考，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的有效途徑。

例如，在等腰三角形ABC中，∠ACB為直角，AC＝BC，點(diǎn)P為三角形內(nèi)部一點(diǎn)，AP＝AC，∠PAC＝30°，求證：BP＝CP。在講解這一問題時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不同的幾何變換方式來解答。以平移變換為例，教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)CB進(jìn)行平移，用虛線繪制AD，然后再將點(diǎn)D與點(diǎn)P、點(diǎn)B連接起來，進(jìn)而得出四邊形ACBD，因?yàn)椤螦CB為直角，且AC＝BC，所以四邊形ACBD為正方形，又因?yàn)锳P＝AC，所以∠PAD＝60°，進(jìn)而可以證明△CAP與△BDP相似，由此可以證明BP＝CP。此外，教師可以與學(xué)生共同探討，通過旋轉(zhuǎn)變換、翻折變換進(jìn)行解答，然后對(duì)比分析，看哪種解法更加簡便，從中選出最佳答案。

綜上所述，新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)了幾何變換在數(shù)學(xué)課程中的地位，在考試中以幾何變換為背景的平面幾何題在數(shù)學(xué)試卷中分值占比較大。因此，初中數(shù)學(xué)教師要加大對(duì)幾何變換教學(xué)的重視，在日常教學(xué)中滲透幾何變換思想，引導(dǎo)學(xué)生通過剪拼圖形的方式，結(jié)合生活中的現(xiàn)象，提煉幾何變換規(guī)律，借助提問、繪圖和一題多解的方式，增強(qiáng)學(xué)生利用幾何變換思想解答數(shù)學(xué)問題 的能力。