二次量子化中單體和兩體算符的一種啟發(fā)式推導(dǎo)

吳 寧

(北京理工大學(xué) 物理學(xué)院 量子技術(shù)研究中心，北京 100081)

二次量子化是處理相互作用量子多體系統(tǒng)的重要理論工具，也是研究生和高年級本科生需要學(xué)習(xí)和掌握的重要內(nèi)容.本刊僅有為數(shù)不多的幾篇論文對此進行過相關(guān)討論[1-3].根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗，初學(xué)者往往較難全面理解如何從一次量子化中的多粒子哈密頓量及波函數(shù)出發(fā)，導(dǎo)出二次量子化中由產(chǎn)生和湮沒算符表示的單體和兩體算符這一關(guān)鍵步驟.

眾所周知，自由經(jīng)典電磁場由無窮多個相互獨立的簡諧振子描述，這使得玻色系統(tǒng)二次量子化表述的建立相對自然：只需將量子簡諧振子(單模玻色子)的理論直接擴展至多模情形.在狄拉克的經(jīng)典著作《量子力學(xué)原理》[4]一書中有對以上過程的詳細闡述(見§60).這或許也是為何大部分量子力學(xué)教科書通常在引入Fock空間的概念后立即同時引入粒子的產(chǎn)生和湮沒算符及其正則對易或反對易關(guān)系[5-8].誠然，這樣做的動機源于量子諧振子代數(shù)解法中能量量子產(chǎn)生和湮沒算符的引入.但對于多費米子系統(tǒng)，這多少顯得有些突兀.筆者認為，量子諧振子的代數(shù)解法并不是建立二次量子化表述的必要知識.相反，對量子諧振子的提前了解甚至?xí)?dǎo)致一些不必要的混淆.例如，當(dāng)考慮多個處于諧振子勢中的全同費米子時，學(xué)生容易對以下事實產(chǎn)生混淆：單諧振子的能量量子產(chǎn)生和湮沒算符滿足單模玻色子的正則對易關(guān)系；而二次量子化中真實費米子的產(chǎn)生和湮沒算符卻滿足正則反對易關(guān)系.

如Sakurai等人所著的《現(xiàn)代量子力學(xué)》[5]一書中所指出的，引入產(chǎn)生和湮沒算符的正則對易或反對易關(guān)系是“非常專設(shè)的”(“very ad hoc”)，且“不可能避開發(fā)展相對性量子場論而以最小化的人為假設(shè)為前提來建立一個完全自洽的處理”.

本文擬基于熟知的物理概念，通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理，以一種自洽且具有啟發(fā)性的方式逐步引入粒子產(chǎn)生和湮沒算符及其滿足的正則對易/反對易關(guān)系. 該方法僅依賴于：多粒子波函數(shù)的對稱化假設(shè)；Fock空間中“真空填充”的概念；以及全對稱或全反對稱多粒子波函數(shù)與Fock態(tài)的等價性.

基于以上3條事實，可自然地引入粒子的產(chǎn)生算符以及它們之間的對易/反對易關(guān)系. 為了進一步得到粒子產(chǎn)生和湮沒算符之間的關(guān)系，注意到一次量子化中單體算符對全對稱/反對稱態(tài)的作用亦等價于二次量子化中相應(yīng)單體算符對Fock態(tài)的作用.基于此，可同時自洽地得到產(chǎn)生和湮沒算符之間的關(guān)系及二次量子化中單體算符的具體形式.

因多費米子波函數(shù)歸一化操作的簡單性，本文著重討論全同費米子系統(tǒng).但類似的方法亦可應(yīng)用于全同玻色子系統(tǒng).

1 全反對稱態(tài)與Fock態(tài)的等價性

1.1 一次量子化表述概要

考慮一由N個全同費米子組成的相互作用多體系統(tǒng).在一次量子化表述中，我們被迫要對全同粒子進行標(biāo)號而將第i個粒子的單粒子態(tài)寫為|φα〉i，其中希臘字母α表示單粒子態(tài)的指標(biāo).假設(shè)共有M個單粒子態(tài).根據(jù)所考慮物理系統(tǒng)的不同，M可為一有限(如一個自旋-1/2粒子的兩個自旋態(tài))或無限大(如簡諧振子的所有本征態(tài))的整數(shù).設(shè)這M個單粒子態(tài){|φα〉i|α=1,2,…,M}組成粒子i的完備基，即

(1)

則N個費米子系統(tǒng)完備基為以下一系列張量積態(tài)：

|φP1〉1|φP2〉2…|φPN〉N

(2)

其中Pi∈{1,2,…,M}為粒子i所占據(jù)的單粒子態(tài)的指標(biāo).由于N個費米子是全同的，總可以選取粒子指標(biāo)排序以滿足1≤P1≤P2≤…≤PN≤M.以下我們稱由式(2)給出的滿足以上態(tài)指標(biāo)排序的特殊乘積態(tài)為一參考態(tài).

多粒子系統(tǒng)的一次量子化哈密頓量一般可寫為

(3)

(4)

1.2 全反對稱態(tài)

(5)

其中對π的求和遍歷粒子指標(biāo){1,2,…,N}的所有N!個置換.若π為偶(奇)置換，則有σ(π)=1 (-1).對稱性假設(shè)蘊含了泡利不相容原理，即式(5)中所有的態(tài)指標(biāo){Pi}必互不相同.由此可將參考態(tài)中態(tài)指標(biāo)的排序加強為1≤P1<…

(6)

1.3 Fock態(tài)：真空填充

(7)

(8)

(9)

為此，必須對產(chǎn)生算符施加如下反對易關(guān)系：

(10)

(11)

2 單體算符的推導(dǎo)：cα和之間的關(guān)系

(12)

(13)

初看起來式(13)的推導(dǎo)并不明顯，這里對M=3,N=2的簡單例子加以驗證.由式(6)有

這與式(13)相符.

|φQi〉i…|φPN〉N]=

(14)

其中在最后一行中利用了對應(yīng)關(guān)系(11).由式(12)，我們期望上式右邊等于

為此引入費米子湮沒算符的如下性質(zhì)：

(15)

利用關(guān)系式(10)和式(15)，容易證明等式

(16)

證明：

將式(16)代入式(14)，得

比較上式與式(12)便得

(17)

至此，我們利用新引入的關(guān)系式(15)完成了對單體算符二次量子化形式的推導(dǎo).

3 兩體算符的推導(dǎo)：一個直接的擴展

將上式中圓括號內(nèi)的單粒子態(tài)展開并注意到矩陣元

僅與態(tài)指標(biāo)有關(guān)，可得

利用式(10)和式(15)，容易證明如下等式:

于是有

做指標(biāo)代換Qi→α,Ql→β并將對i和l的求和擴展至所有單粒子態(tài)，得

再利用等式

〈φα|〈φβ|f(2)|φγ〉|φδ〉=〈φβ|〈φα|f(2)|φδ〉|φγ〉

將對γ和δ的求和對稱化，并注意到γ=δ項的貢獻為零,最終得到

4 結(jié)論