自仿射接觸點(diǎn)下的結(jié)合面靜摩擦系數(shù)分形模型

張 偉，張學(xué)良，溫淑花，姚世生，賈廣寧，張茜茜，陳 赟

(太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024)

結(jié)合面在機(jī)械機(jī)構(gòu)中大量存在，通常把機(jī)械結(jié)構(gòu)中零件、組件、部件之間相互接觸的表面稱為結(jié)合面[1]。研究和預(yù)測(cè)機(jī)械結(jié)構(gòu)中結(jié)合面的摩擦具有十分重要意義[2]。靜摩擦系數(shù)作為摩擦學(xué)的兩個(gè)重要參數(shù)之一，對(duì)其的研究是不容忽視的。1988年Chang等[3]在GW模型的基礎(chǔ)上通過(guò)考慮彈性接觸點(diǎn)承受切向載荷的能力，建立了結(jié)合面靜摩擦系數(shù)統(tǒng)計(jì)模型(簡(jiǎn)稱為CEB摩擦模型)。然而CEB模型中所使用的統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)只能反映與儀器分辨率及取樣長(zhǎng)度有關(guān)的結(jié)合面粗糙度信息。以這些參數(shù)為基礎(chǔ)建立的模型對(duì)結(jié)合面靜摩擦系數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果也就不是唯一的，盛選禹等[4]在MB分形模型的基礎(chǔ)上，建立了結(jié)合面靜摩擦因數(shù)預(yù)測(cè)模型。田紅亮等[5-6]對(duì)結(jié)合面分形理論進(jìn)行改進(jìn)，進(jìn)一步研究建立了結(jié)合面靜摩擦因數(shù)分形模型。但是MB模型中卻只利用W-M函數(shù)中波長(zhǎng)為l的余弦函數(shù)代表微凸體來(lái)推導(dǎo)接觸點(diǎn)上壓力和面積的關(guān)系，這與粗糙表面具有統(tǒng)計(jì)自仿射分形特性不符。

基于前人的研究并針對(duì)上述的不足，本文在文獻(xiàn)[7]的研究基礎(chǔ)上建立了基于自仿射接觸點(diǎn)的結(jié)合面靜摩擦系數(shù)分形模型，通過(guò)數(shù)值仿真分析并討論了結(jié)合面分形參數(shù)以及無(wú)量綱法向接觸載荷對(duì)靜摩擦系數(shù)的影響規(guī)律。

1 基于自仿射接觸點(diǎn)的結(jié)合面靜摩擦系數(shù)分形模型

1．1 傳統(tǒng)MB模型的修正

為便于讀者理解此處先給出自仿射接觸點(diǎn)在分形結(jié)合面的概念，自仿射接觸點(diǎn)即由多個(gè)單余弦函數(shù)疊加而成的接觸點(diǎn)，具有統(tǒng)計(jì)自仿射性，與傳統(tǒng)MB分形模型簡(jiǎn)化后給出的單余弦函數(shù)表述的微凸體截然不同。傳統(tǒng)MB模型中給出具有分形特征的各向同性的粗糙表面的表面形貌可用W-M函數(shù)來(lái)描述，其表達(dá)式為：

(1)

若忽略更小尺度上的細(xì)節(jié)，則在l范圍內(nèi)的輪廓線可以由W-M函數(shù)確定其數(shù)學(xué)表達(dá)式近似為余弦波，即：

(2)

式中：l為接觸長(zhǎng)度；G為分形特征長(zhǎng)度尺度參數(shù)；D為分形維數(shù)。

由式(1)可以清楚地看到利用W-M函數(shù)生成的分形表面微凸體表現(xiàn)為多個(gè)余弦函數(shù)疊加而成且具有統(tǒng)計(jì)自仿射性。而在MB模型中將其簡(jiǎn)化后利用單余弦函數(shù)近似模擬微凸體(式(2))，這樣不僅使結(jié)合面微凸體失去了統(tǒng)計(jì)自仿射性，也必然會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的不準(zhǔn)確，因此本文使用文獻(xiàn)[7]中自仿射接觸點(diǎn)的概念修正MB模型，并基于此建立結(jié)合面靜摩擦系數(shù)分形模型。這里需要說(shuō)明的是本文中接觸點(diǎn)和式(2)中簡(jiǎn)化后的微凸體的區(qū)別在于接觸點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的概念，其可由諸多微凸體組合而成，比微凸體更復(fù)雜且更適合用于接觸過(guò)程的研究。此外利用接觸點(diǎn)的概念后將不必再考慮微凸體之間的相互作用，接觸點(diǎn)自身就是微凸體相互作用的結(jié)果[7]。結(jié)合面接觸點(diǎn)的示意圖如圖1所示。

圖1 接觸點(diǎn)與剛性平面的接觸示意圖

研究表明直徑為l的接觸點(diǎn)的變形量可表示為[7]：

(-l/2

(3)

式(3)與文獻(xiàn)[8]中的式(1)不同。

接觸點(diǎn)的峰頂曲率半徑與面積的關(guān)系見式(4)，可以看到當(dāng)接觸面積為零時(shí)即當(dāng)接觸為一個(gè)點(diǎn)時(shí)微凸體接觸點(diǎn)的半徑為零，這與實(shí)際相符。

(4)

1.2 結(jié)合面法向受載建模

為簡(jiǎn)便本文中法向載荷的計(jì)算，采用文獻(xiàn)[6]中的計(jì)算方式，各個(gè)自仿射微接觸面積的分布函數(shù)為[7]：

(5)

這里的接觸面積分布函數(shù)與傳統(tǒng)MB模型中的不同。

式中：al為接觸點(diǎn)中的最大接觸面積。

根據(jù)赫茲接觸理論[9]，單個(gè)接觸點(diǎn)受載時(shí)，隨著載荷的增大，將會(huì)經(jīng)歷從彈性到完全塑性的變形過(guò)程，由彈性變形向彈塑性變形轉(zhuǎn)變的臨界變形量用δc表示，研究表明[10]。

(6)

模型E1、E2和泊松比v1、v2表示為：

而由彈性變形向塑性變形轉(zhuǎn)化的臨界接觸面積可表示為[7]：

(7)

需要特別說(shuō)明的是這里G的量綱為m0.5，這與傳統(tǒng)分形模型中如文獻(xiàn) [11]中的G的量綱為m不同，本文中接觸點(diǎn)的變形規(guī)律與MB模型相同，當(dāng)微凸體接觸面積大于臨界接觸面積ac時(shí)微凸體發(fā)生彈性變形，此時(shí)接觸點(diǎn)接觸面積與接觸載荷的關(guān)系為：

當(dāng)微凸體接觸面積小于臨界接觸面積ac時(shí)微凸體發(fā)生塑性變形，此時(shí)接觸點(diǎn)接觸面積與接觸載荷的關(guān)系為：

Fp(a)=Kσya

(9)

根據(jù)式(5)、(8)、(9)可將結(jié)合面承擔(dān)的法向載荷表示為：

(10)

為了使比較的結(jié)果具有通用性，這里把上述計(jì)算出的結(jié)合面法向載荷進(jìn)行量綱一化，量綱一化后的表達(dá)式如下[7]：

(11)

1.3 結(jié)合面切向載荷建模

根據(jù)文獻(xiàn)[12-13]可知在法向載荷下只有處于彈性變形階段的微凸體可以承受切向載荷，故而在計(jì)算結(jié)合面靜摩擦力時(shí)只有處于彈性變形狀態(tài)的微凸體對(duì)靜摩擦力有貢獻(xiàn)。當(dāng)接觸變形微凸體所承受的切向載荷不斷增大時(shí)，微凸體完全彈性變形區(qū)的接觸界面最終達(dá)到完全屈服，此時(shí)的最大切向載荷為其靜摩擦力。

本文模型采用文獻(xiàn)[12-13]的假設(shè)，微凸體接觸界面的屈服發(fā)生在接觸點(diǎn)的邊緣，而邊緣上的應(yīng)力為：

(12)

(13)

σz=τxy=τxz=τyz=0

(14)

式中：σx為與正向載荷方向相同的應(yīng)力；σy為與摩擦力方向相同的應(yīng)力；σz為垂直于正向載荷和法向載荷所在平面的載荷；F為單個(gè)微凸體上的法向載荷。

采用Tresca屈服條件：

(15)

其中，σs為較軟材料的屈服強(qiáng)度。

由式(12)-式(14)的應(yīng)力方程可得：

σ1=σx，σ2=σy，σ3=0

將此代入屈服條件得到當(dāng)微凸體接觸界面達(dá)到完全屈服時(shí)，其所能承受的最大切向載荷即最大靜摩擦力為：

(16)

那么，結(jié)合面所能承受的最大靜摩擦力為：

(17)

將上述Te中的參數(shù)進(jìn)行量綱一化，量綱一化后的切向載荷表達(dá)式為：

(18)

I*m=G*(D-1)101.8D2-4D+3

則結(jié)合面靜摩擦系數(shù)為：

(19)

2 結(jié)合面靜摩擦系數(shù)分形模型的仿真與討論

將文獻(xiàn)[7]中的相關(guān)數(shù)據(jù)代入本文以上所建模型，運(yùn)用數(shù)值仿真的方法給出了在相同分形維數(shù)下不同特征尺度系數(shù)的結(jié)合面靜摩擦系數(shù)隨量綱一化法向接觸載荷的變化(見圖2)和在相同特征尺度系數(shù)下不同分形維數(shù)的合面靜摩擦系數(shù)隨量綱一化法向接觸載荷的變化(見圖3).最后將本文的靜摩擦系數(shù)分形模型與MB模型進(jìn)行了比較，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖3 分形維數(shù)對(duì)靜摩擦系數(shù)影響的示意圖

圖4 本文模型(BW)與MB模型比較示意圖

由圖2可知結(jié)合面靜摩擦系數(shù)隨量綱一化結(jié)合面法向接觸載荷F*的增大而增大，這與文獻(xiàn)[4-5]中的理論研究結(jié)論一致，也與文獻(xiàn)[6]中的理論和實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果相同。這是因?yàn)榉中文Ｐ椭屑僭O(shè)每個(gè)微凸體都是完全變形，大接觸點(diǎn)通過(guò)對(duì)小接觸點(diǎn)的不斷加載而獲得，如圖1所示，當(dāng)接觸面在位置1時(shí)點(diǎn)a和點(diǎn)b由于接觸面積較小致使峰頂曲率半徑較小，(這一點(diǎn)可以從公式(4)看出)而處于塑性變形，隨著載荷的增大接觸的剛性平面下降，相對(duì)較小的點(diǎn)a和點(diǎn)b合成較大的點(diǎn)c，此時(shí)對(duì)于單個(gè)點(diǎn)c來(lái)說(shuō)接觸面積增大，應(yīng)力得到釋放，接觸點(diǎn)由塑性變形轉(zhuǎn)為彈性變形，由于只有處于彈性變形階段的接觸點(diǎn)能夠承受切向載荷，對(duì)靜摩擦系數(shù)有貢獻(xiàn)，故而靜摩擦系數(shù)隨量綱一化結(jié)合面法向接觸載荷F*的增大而增大。結(jié)合面靜摩擦系數(shù)隨著無(wú)量綱分形特征長(zhǎng)度尺度參數(shù)G*的增大而減小。這與文獻(xiàn)[4-6]中的研究結(jié)果相同。

圖2 特征尺度系數(shù)對(duì)靜摩擦系數(shù)影響的示意圖

由圖3可知結(jié)合面靜摩擦系數(shù)隨量綱一化結(jié)合面法向接觸載荷F*的增大而增大，隨分著形維數(shù)的增大而增大，這與文獻(xiàn)[4-6]中的結(jié)論一致。下面給出本文的靜摩擦系數(shù)分形模型與基于MB模型的結(jié)合面靜摩擦系數(shù)分形模型[4]仿真的比較圖。

圖4給出了分形維數(shù)D分別為1.3、1.35、1.4、1.45時(shí)G*從3E-9～7E-9的結(jié)合面靜摩擦系數(shù)隨量綱一化結(jié)合面法向接觸載荷的變化規(guī)律圖，并與基于MB模型的結(jié)合面靜摩擦系數(shù)分形模型進(jìn)行了比較，由圖4可知當(dāng)D=1.3時(shí)MB模型對(duì)結(jié)合面靜摩擦系數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果比本文模型大，當(dāng)D=1.35、1.4、1.45時(shí)MB模型對(duì)結(jié)合面靜摩擦系數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果比本文模型小，這一點(diǎn)可以從文獻(xiàn)[7]中得到很好的解釋，隨著分形維數(shù)的增加接觸點(diǎn)多余弦疊加的效果越顯著，自仿射接觸點(diǎn)的最大變形量要比用單余弦函數(shù)描述的微凸體產(chǎn)生的最大變形量大，即同等條件下本文模型中接觸點(diǎn)要比傳統(tǒng)MB分形模型中的微凸體提前進(jìn)入彈性變形，而只有彈性變形的接觸點(diǎn)對(duì)靜摩擦系數(shù)有貢獻(xiàn)，因此隨著分形維數(shù)的增大，MB模型對(duì)結(jié)合面靜摩擦系數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果比本文模型小。兩種模型仿真結(jié)果趨勢(shì)相同，說(shuō)明了本文模型的合理性。

3 結(jié)論

(1)本文建立了基于自仿射接觸點(diǎn)的結(jié)合面靜摩擦系數(shù)分形模型，并與基于MB模型的結(jié)合面靜摩擦系數(shù)分形模型進(jìn)行了比較。

(2)隨著分形維數(shù)的增大，基于MB模型的結(jié)合面靜摩擦系數(shù)分形模型對(duì)結(jié)合面靜摩擦系數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果比本文模型小。

(3)結(jié)合面靜摩擦系數(shù)隨量綱一化結(jié)合面法向接觸載荷F*的增大而增大，隨著無(wú)量綱分形特征長(zhǎng)度尺度參數(shù)G*的增大而減小，隨著分形維數(shù)的增大而增大。