反常積分?jǐn)可⑿缘囊粋€(gè)新判別法

鄧習(xí)軍,敖和松,王成華

(1. 安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院,安徽安慶,246133;2. 懷化學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)院,湖南懷化,418000;3. 湖北省洪湖市第一中學(xué),湖北洪湖,433200)

有關(guān)反常積分的斂散性判定問題是分析學(xué)的重要內(nèi)容,由于判定方法比較多,學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)不太容易熟練掌握,因此如何判別反常積分的斂散性始終是教學(xué)中一個(gè)重要的研究課題。關(guān)于反常積分的斂散性問題,經(jīng)典教材中介紹的主要判定方法有柯西收斂準(zhǔn)則、比較判別法、阿貝爾判別法及狄利克雷判別法等[1–2]。此外,有關(guān)反常積分的斂散性的新的研究成果也不斷涌現(xiàn)[3–12]。然而,需要指出的是,上述判別法各有利弊,每個(gè)判別法都有其自身的應(yīng)用局限性。尤其是常用的比較判別法其核心思想是通過與已知斂散性的反常積分進(jìn)行比較來(lái)判別其斂散性,而在這一過程中,找到適當(dāng)?shù)姆闯７e分卻是很困難的?；诖?一個(gè)自然的想法應(yīng)運(yùn)而生,即反常積分的斂散性能否由被積函數(shù)本身的性質(zhì)來(lái)判別,而不需要去找其它的反常積分來(lái)進(jìn)行比較呢？事實(shí)上,通過對(duì)級(jí)數(shù)與反常積分之間聯(lián)系的分析,發(fā)現(xiàn)這一想法是可行的。

本文首先通過被積函數(shù)的自身性態(tài)建立關(guān)于無(wú)窮積分的一個(gè)新的比值判別法,然后根據(jù)無(wú)窮積分與瑕積分的密切關(guān)系再建立關(guān)于瑕積分的比值判別法,最后以實(shí)際例子驗(yàn)證該判別法的一些應(yīng)用。

1 無(wú)窮積分的比值判別法

下面給出一個(gè)關(guān)于無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘呐袆e方法及其證明。

定理1設(shè)f(x)是定義在區(qū)間[a,+)∞上的正值連續(xù)函數(shù),函數(shù)g(x)在[a,+)∞上嚴(yán)格單調(diào)遞增,連續(xù)可導(dǎo)且g(x)＞x,x∈[a,+∞),則有

證取則數(shù)列{xn}嚴(yán)格單調(diào)遞增,且作變換x=g(t),于是由函數(shù)g(x)的嚴(yán)格單調(diào)性可得,即

對(duì)任意u＞a,必存在正整數(shù)n,使得因而有

因?qū)θ我鈞∈[a,+∞),有f(x)＞0,從而由式(2)可知

通常情形下,可采用如下的極限形式來(lái)加以判別斂散性。

推論1(極限形式)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間[a,+)∞上的正值連續(xù)函數(shù),函數(shù)g(x)在[a,+)∞上嚴(yán)格單調(diào)遞增,連續(xù)可導(dǎo)且g(x)＞x,x∈[a,+∞),若則有

(I)當(dāng)λ＜1時(shí),無(wú)窮積分收斂;

(II)當(dāng)λ＞1(包含λ=+∞)時(shí),無(wú)窮積分發(fā)散。

證因,由極限定義知,對(duì)?ε＞0,?A＞0,當(dāng)x＞A時(shí),有λ-ε＜

(I)當(dāng)λ＜1 時(shí),取故由定理1(1)知收斂。

(II)當(dāng)λ＞1 時(shí),取故由定理1(2)知發(fā)散。特別地,當(dāng)λ=+∞時(shí),由極限定義可知,對(duì)?M＞0 ,?A＞0 ,當(dāng)x＞A時(shí),有不妨取M=1,則由定理1(ii)知也發(fā)散。

2 瑕積分的比值判別法

注意到瑕積分與無(wú)窮積分之間有著密切聯(lián)系,因此相應(yīng)地有下列結(jié)論。

定理2設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(a,b] 上的正值連續(xù)函數(shù),a是函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn),函數(shù)g(x)在上嚴(yán)格單調(diào)遞增,連續(xù)可導(dǎo)且則有

證作變換則瑕積分可化為是定義在區(qū)間上的正值連續(xù)函數(shù),于是可由定理1推導(dǎo)出定理2。

類似地,常用如下的極限形式來(lái)判別斂散性。

推論2(極限形式)設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿足定理2 的條件,若則

(I)當(dāng)μ＜1 時(shí),瑕積分收斂;

(II)當(dāng)μ＞1(包含μ=+∞)時(shí),瑕積分發(fā)散。

仿推論1 的證明可得推論2 的證明。這里從略。

3 應(yīng)用舉例

下面列舉幾個(gè)實(shí)例,將會(huì)看到對(duì)滿足條件的反常積分,其斂散性不需要尋求另外的積分來(lái)進(jìn)行比較,而只需通過被積函數(shù)本身的性質(zhì)就可以進(jìn)行判別。

例1判別的斂散性。

解令。由推論1 知,收斂。

注1:本題不能利用通常的比值判別法來(lái)判別斂散性。事實(shí)上,因故比值判別法失效。

例2判別的斂散性。

解令則當(dāng)x＞2 時(shí),f(x)＞0 。取g(x)=ex,有

由推論1 知,當(dāng)p＞1 時(shí),收斂,當(dāng)p1≤ 時(shí),

注2:本題也不能利用比值判別法或拉貝判別法來(lái)判別斂散性。事實(shí)上,由這表明利用拉貝判別法是無(wú)法判定的。類似地,應(yīng)用比值判別法也無(wú)法判定的。

例3判別的斂散性。

解易見,x=0 是被積函數(shù)的瑕點(diǎn),并且f(x)＞0,?x∈(0,1)。取g(x)=2x,則有

例4判別的斂散性。

解因。原積分可改寫為其中:

易見,對(duì)于I1,當(dāng)a＜1 時(shí),x=0 是被積函數(shù)的瑕點(diǎn); 對(duì)于I2,當(dāng)b＜1 時(shí),x=1 是被積函數(shù)xa-1(1-x)b-1|lnx|的瑕點(diǎn)。為研究方便,作變換t=1-x,可將I2進(jìn)一步化為I2=相應(yīng)地,變換后x=0是新的被積函數(shù)h(x)=xb-1·的瑕點(diǎn)。

于是,若取g(x)=2x,則對(duì)于I1有

而對(duì)于I2有

注3:本題的被積函數(shù)比較特殊,不能利用經(jīng)典的比較判別法來(lái)判別斂散性。事實(shí)上,對(duì)于I1有這只能說(shuō)明當(dāng)a＜0 時(shí)I1一定是發(fā)散的,但無(wú)法確定當(dāng)a＞0 時(shí)I1是否收斂。然而,利用本文的方法卻可以完全確定當(dāng)a＞0 時(shí)I1是收斂的,因此這表明本文的判別方法更為優(yōu)越。