多部件重要度系統(tǒng)機會維修策略的優(yōu)化

薛朝改，谷 雨，曹武軍，曹海旺

（1.鄭州大學(xué)管理工程學(xué)院，河南 鄭州 450001；2.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院機電工程學(xué)院，河南 鄭州 450046）

1 引言

在多部件的設(shè)備中，由于各個部件故障率的差異性，導(dǎo)致了系統(tǒng)內(nèi)部件的最佳預(yù)防維修間隔期也是有差別的。因此，對系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)防性維修時如果單單考慮每個部件的最佳維修間隔期，則不可避免的會導(dǎo)致系統(tǒng)屢次停機，浪費更多的費

用對系統(tǒng)進(jìn)行維修。機會維修是指對系統(tǒng)內(nèi)故障部件進(jìn)行維修時，提前對系統(tǒng)中短時間內(nèi)需要維修的其他部件一并進(jìn)行預(yù)防性維修或者更換［1］。

關(guān)于系統(tǒng)機會維修的研究大多是探究機會維修的閾值［2］，文獻(xiàn)［3-4］基于部件的可靠性，進(jìn)而判斷系統(tǒng)的機會維修閾值問題。文獻(xiàn)［5-6］把部件的役齡設(shè)為系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)防性維修的閾值。文獻(xiàn)［7］是以部件的故障概率為基礎(chǔ)，通過考慮探究設(shè)備狀態(tài)檢修對系統(tǒng)可靠性要求的負(fù)荷指標(biāo)的影響進(jìn)而建立相應(yīng)的模型

并進(jìn)行分析。文獻(xiàn)［8］是以部件的故障率作為判斷是否對系統(tǒng)進(jìn)行機會維修。文獻(xiàn)［9-10］綜合考慮了多個部件之間復(fù)雜的相關(guān)性，進(jìn)而尋求最優(yōu)維修策略最大程度的降低系統(tǒng)的運行成本。文獻(xiàn)［11-12］基于部件的預(yù)防性維修間隔期來確定系統(tǒng)中的部件是否需要機會維修。上述文獻(xiàn)大多是建立在以系統(tǒng)運行成本最低，系統(tǒng)可用度滿足一定條件為基礎(chǔ)上的機會維修策略，但是沒有考慮不同部件對系統(tǒng)可靠性的影響也不同。

為了降低系統(tǒng)在運行周期內(nèi)的維修費用并且提高其可用度，這里通過引入系統(tǒng)的機會維修系數(shù)和部件的Birnbaum重要度，基于各個部件的預(yù)防性維修間隔期，分析系統(tǒng)在運行周期內(nèi)的可用度以及總的維修費用，進(jìn)而建立多部件串聯(lián)系統(tǒng)機會維修優(yōu)化模型，通過引入部件的Birnbaum重要度后可以判斷出是否降低了系統(tǒng)在有限運行周期內(nèi)的維修成本并且提高系統(tǒng)的可用度。

2 系統(tǒng)描述

2.1 機會維修策略的描述

這里研究的對于系統(tǒng)內(nèi)需要維修的部件所采用的維修方式分為三種。分別為機會維修，預(yù)防性維修以及故障維修。系統(tǒng)內(nèi)的部件在進(jìn)行機會維修和預(yù)防性維修之后，其故障率會有一定程度的變化。對于系統(tǒng)中發(fā)生故障的部件，立即對故障部件進(jìn)行維修，其故障率在維修之后不發(fā)生任何變化。將r設(shè)為系統(tǒng)的機會維修系數(shù)，假定在t時刻，系統(tǒng)內(nèi)的部件k最先達(dá)到了其最佳預(yù)防維修間隔期的閾值，因此部件k需要進(jìn)行預(yù)防性維修。此時，部件l（l≠k）所處其第i個預(yù)防維修間隔期內(nèi)，T′il為t時刻部件l在第i個預(yù)防維修間隔期內(nèi)所使用的時間。

2.2 Birnbaum重要度

Birnbaum重要度描述了部件從工作狀態(tài)到故障狀態(tài)，系統(tǒng)可靠性的變化值。Birnbaum重要度的計算公式如式（1）所示，式（1）的結(jié)果越大，說明部件Cl從工作狀態(tài)（Cl=1）變?yōu)槭顟B(tài)（Cl=0）時，系統(tǒng)S的可靠性R（.）所受到的影響就越大。說明該部件對于系統(tǒng)越重要。

2.3 符號意義

注解：i—部件l的第i個預(yù)防性維修間隔期；

Til—部件l完成第i-1次預(yù)防性維修與第i次預(yù)防維修結(jié)束后所間隔的時間；

hil(t)—部件l第i-1次預(yù)防性維修與第i次預(yù)防維修的故障率函數(shù)關(guān)系式；

ɑil—部件l的役齡遞減因子，且0＜ɑil＜1，bil＞1為故障率遞增因子；

tpl—部件l進(jìn)行一次預(yù)防性維修所花費的時間；

tfl—對部件l實施一次故障維修所花費的時間；

Cpl—對部件l實施一次預(yù)防性維修所花費的費用；

Cfl—對部件l實施一次故障維修所花費的費用；

Cel—部件l單位時間的停機所造成總的損失費用；

Cgl—對部件l每次更換所花費的費用；

tln—在系統(tǒng)第（n-1）次預(yù)防性維修后，部件l（l=1，2，3…，S）所需要進(jìn)行維修的時刻；

tn—對系統(tǒng)第n次實施維修的時刻，tn=min（t1n，t2n，t3n…tln）；

nl—截止到tn時刻，部件l總共的預(yù)防性維修次數(shù)；

hl(nl+1)—部件l第nl次預(yù)防性維修與第nl+1次預(yù)防性維修故障率函數(shù)關(guān)系式；

T′il—在時刻t部件l在其所處的預(yù)防性維修周期內(nèi)使用的時間；

tpltn—時刻tn對部件l進(jìn)行維修所需要花費的時間；

tgltn—時刻tn將部件l進(jìn)行更換所花費的時間；

Tpdn—系統(tǒng)在第n次預(yù)防性維修所需要停機時間Tpdn=max(tpltn，tgltn)，1≤l≤S；

T—設(shè)為系統(tǒng)的運行周期時間；

N—［0，T］時間段內(nèi)系統(tǒng)進(jìn)行維修的次數(shù)。

2.4 系統(tǒng)模型假設(shè)

（1）系統(tǒng)是由S個串聯(lián)的部件構(gòu)成，系統(tǒng)內(nèi)所有的部件起始時均為新的部件，系統(tǒng)中S個部件都服從威布爾分布。機會維修是以系統(tǒng)內(nèi)部件的預(yù)防性維修為前提。

（2）維修資源能夠保證維修任務(wù)的完成，在維修的過程中不用考慮維修資源的限制。

（3）如果系統(tǒng)內(nèi)的某些部件出現(xiàn)意外故障，馬上采取措施對故障部件進(jìn)行維修，無論對系統(tǒng)內(nèi)的部件進(jìn)行任何方式的維修均會引起系統(tǒng)停機。

3 基于Birnbaum重要度的多部件串聯(lián)系統(tǒng)機會維修優(yōu)化模型

3.1 單部件維修間隔期求解

部件的可靠性隨著其預(yù)防性維修次數(shù)的增加而減小，因此需要把部件的故障率遞增因子和役齡遞減因子考慮進(jìn)去，部件在第i次預(yù)防性維修前后故障率的函數(shù)表達(dá)式為：

把l部件看作是系統(tǒng)中任何一個部件，如果部件l的預(yù)防性維修次數(shù)達(dá)到Nl+1次，那么直接將其更換為新的部件。部件l的故障維修采用最小維修方式，可以確定出部件l在其第i個維修間隔期內(nèi)所需要維修的時間為：

部件l在第i個維修周期內(nèi)的可用度為：

結(jié)合Matlab仿真分析，能夠計算出Til的具體數(shù)值解。

部件l單位時間的維修費用為：

使式（6）的值最小，能夠求出部件l最佳的預(yù)防性維修次數(shù)Nl。

3.2 分析系統(tǒng)總的維修費用和系統(tǒng)的可用度

系統(tǒng)在運行周期內(nèi)總的維修費用包括兩部分。第一部分為對系統(tǒng)內(nèi)的部件進(jìn)行維修所需要的費用，第二部分為由于對系統(tǒng)內(nèi)的部件進(jìn)行維修所造成的停機損失費用。部件l在第（n-1）次預(yù)防性維修完成到第n次預(yù)防性維修后，在這段時間內(nèi)，部件l的直接維修費用Cpln共包含三部分。分別為部件l的預(yù)防性維修費用Cpl，部件l的更換費用Cgl，以及部件l的故障維修所需的費用Cfl。Cl表示對于系統(tǒng)內(nèi)的部件l進(jìn)行維修所需要的費用，則Cl=

系統(tǒng)在運行周期內(nèi)的停機時間Td包括兩部分。第一部分為系統(tǒng)內(nèi)的部件進(jìn)行預(yù)防性維修所造成系統(tǒng)的停機時間Tpd，第二部分為由于系統(tǒng)內(nèi)的部件突然出現(xiàn)故障所造成系統(tǒng)的停機時間Tfd。當(dāng)系統(tǒng)在第n次預(yù)防性維修時，其停機的時間Tpdn=max(tpltn，tgltn)，1≤l≤S。設(shè)系統(tǒng)單位時間的停機損失費用為Cd，那么系統(tǒng)在運行周期[0，T]內(nèi)的停機損失費用為：

假設(shè)ml為部件l在系統(tǒng)運行周期［0，T］內(nèi)所需要進(jìn)行的預(yù)防性維修次數(shù)，設(shè)ml=PNl+q(p，q=0，1，2....)；Tjl(j=1，2，3，....ml)代表為部件l在其每個預(yù)防維修周期內(nèi)所使用的時間。Tfdl代表部件l在系統(tǒng)運行周期[0，T]內(nèi)發(fā)生意外故障所造成的系統(tǒng)停機時間，那么部件l在系統(tǒng)運行周期[0，T]內(nèi)系統(tǒng)的意外停機時間為：

系統(tǒng)在運行周期[0，T]內(nèi)發(fā)生意外故障的停機費用為：

系統(tǒng)在運行周期[0，T]內(nèi)總的維修費用為：

系統(tǒng)的可用度表示為系統(tǒng)在運行周期內(nèi)其工作的時間與總時間的比值。那么系統(tǒng)的可用度可表示為：

3.3 基于Birnbaum重要度的多部件串聯(lián)系統(tǒng)機會維修優(yōu)化模型的構(gòu)建

對于系統(tǒng)內(nèi)Birnbaum重要度較大的部件，需要更加頻繁的對其進(jìn)行維修。從而降低系統(tǒng)在運行周期內(nèi)的維修成本。因此，將系統(tǒng)內(nèi)部件的Birnbaum重要度引入到公式中，通過比較值的大小來判斷部件l是否需要進(jìn)行預(yù)防性維修，根據(jù)式（1）系統(tǒng)中部件的Birnbaum重要度是隨時間變化的連續(xù)函數(shù)，因此這里將部件的Birnbaum重要度做如下的轉(zhuǎn)換，即表示為部件的Birnbaum重要度在系統(tǒng)運行周期內(nèi)積分的均值：

引入機會維修系數(shù)和各個部件的重要度，以系統(tǒng)在運行周期T內(nèi)總的維修費用最低為目標(biāo)，以系統(tǒng)的可用度達(dá)到一定的要求為條件。機會維修優(yōu)化模型可表示為：

式中：A0—系統(tǒng)需要達(dá)到的最小可用度。通過運用Matlab仿真分析可以得出最優(yōu)的機會維修次數(shù)；C—相應(yīng)的維修成本。

4 算例分析

系統(tǒng)共包含均服從二參數(shù)威布爾分布的六個部件，h(t)=(β＞0，η＞0)，β代表為部件的樣式參數(shù)，η代表為部件的長度參數(shù)。系統(tǒng)因為停機所引起的損失費用為Cd=1500/天，要求系統(tǒng)達(dá)到的最小可用度為92%。系統(tǒng)內(nèi)所有部件的故障率遞增因子和役齡遞減因子都一致，計算為：

系統(tǒng)各部件其他參數(shù)［12］，如表1所示

表1 部件參數(shù)Tab.1 Component Parameter

設(shè)定系統(tǒng)的模擬運行周期為[0，533]天，當(dāng)考慮部件的重要度時，使用MATLAB對所構(gòu)建的多部件串聯(lián)系統(tǒng)機會維修模型進(jìn)行仿真分析，當(dāng)r＜0.42時，其仿真結(jié)果與不考慮機會維修相差太大，當(dāng)0.42≤r≤1時，隨著機會維修系數(shù)r的變化，總的維修成本C與可用度A之間的關(guān)系，如圖1所示。其仿真的結(jié)果如表2所示。

當(dāng)不考慮部件的重要度時，使用MATLAB編程對模型進(jìn)行仿真，當(dāng)r＜0.40時，其仿真結(jié)果與不考慮機會維修相差太大，當(dāng)0.40≤r≤1時，其仿真結(jié)果，如表3所示。隨著機會維修系數(shù)r的變化，系統(tǒng)總的維修費用C與可用度A之間的關(guān)系，如圖2所示。分析表2、表3、圖1、圖2可知，隨著機會維修系數(shù)r的逐漸增大，系統(tǒng)的可用度A先呈遞增趨勢，達(dá)到某一最大之后呈遞減趨勢，系統(tǒng)總的維修費用先逐漸減小，達(dá)到某一最小值后逐漸增大。

圖2 r與總維修成本C和可用度A的關(guān)系圖Fig.2 The Diagram of r to the Total Maintenance Cost C and Availability A

表3 模型仿真的結(jié)果Tab.3 Model Simulation Results

圖1 r與總維修成本C和可用度A的關(guān)系圖Fig.1 The Diagram of r to the Total Maintenance Cost C and Availability A

表2 模型仿真的結(jié)果Tab.2 Model Simulation Results

如表4所示，當(dāng)多部件串聯(lián)系統(tǒng)考慮部件的重要度時，由運算結(jié)果可知，r=0.82時為最優(yōu)機會維修系數(shù)，此時設(shè)備總的維修費用最小，為C=113820，可用度為94.20%。當(dāng)系統(tǒng)不考慮部件的重要度時，由運算結(jié)果可知，r=0.80時為最優(yōu)機會維修系數(shù)，此時設(shè)備總的維修費用最小，為C=116150，可用度為92.30%。在系統(tǒng)運行的533天周期內(nèi)，系統(tǒng)考慮部件的重要度與系統(tǒng)不考慮部件的重要度相比，可節(jié)約維修費用2.04%，系統(tǒng)的可用度提升了1.90%。當(dāng)r=0.82時，系統(tǒng)內(nèi)各個部件的具體維修方案，如表5所示。

表4 兩種維修決策下系統(tǒng)維修費用和可用度的比較Tab.4 Comparison of System Maintenance Cost and Availability Under Two Maintenance Decisions

表5 系統(tǒng)中各部件的維修計劃Tab.5 Maintenance Plan for Each Component in the System

5 結(jié)論

這里在原有機會維修的基礎(chǔ)上，引入機會維修系數(shù)和部件Birnbaum重要度的概念，分析了由多個不同Birnbaum重要度部件所構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)在運行周期內(nèi)的可用度和總的維修費用，構(gòu)建了基于重要度的多部件串聯(lián)系統(tǒng)機會維修模型。通過算例分析證明，引入部件的重要度之后構(gòu)建的機會維修優(yōu)化模型與不探究部件的重要度相比，能夠使系統(tǒng)在運行周期內(nèi)減省較多的維修費用，同時提升系統(tǒng)的可用度。這里所構(gòu)建的基于重要度的多部件串聯(lián)系統(tǒng)機會維修模型為系統(tǒng)考慮部件的重要度所做的最優(yōu)維修策略提供決策支持。