白光干涉測(cè)量法中蝠翼效應(yīng)的模擬分析

李 萍，閆 英，周 平

(大連理工大學(xué) 精密與特種加工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024)

0 引 言

隨著超精密加工技術(shù)的發(fā)展，表面三維輪廓形貌的準(zhǔn)確表征與評(píng)價(jià)的需求與日俱增[1]。其中，白光干涉儀因測(cè)量速度快、范圍大并且具有亞納米級(jí)精度，在超精密加工表面的形貌測(cè)量中應(yīng)用廣泛[2-3]。白光干涉測(cè)量法是通過(guò)對(duì)光學(xué)干涉條紋圖像進(jìn)行解析，并從中得到表面形貌信息。在測(cè)量過(guò)程中由干涉圖像引入的一系列誤差，如瑞利衍射極限、漫反射造成的光強(qiáng)損失、背景光噪聲等，會(huì)引起各類測(cè)量誤差如蝠翼、2π 誤差、“鬼步”等[4]。目前，對(duì)白光干涉儀測(cè)量誤差的分析和補(bǔ)償研究受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者以及相關(guān)企業(yè)的關(guān)注。

利用白光干涉儀測(cè)量臺(tái)階時(shí)，出現(xiàn)的形如“蝙蝠翼”的形貌誤差，即為蝠翼效應(yīng)。究其原因?yàn)椋喝肷涔庠诮?jīng)過(guò)陡峭臺(tái)階邊緣時(shí)發(fā)生衍射，衍射光入射到臺(tái)階底部，衍射光強(qiáng)信息與頂部的光強(qiáng)信息同時(shí)返回干涉物鏡中，使得在對(duì)應(yīng)位置處的成像平面上至少有3個(gè)分量對(duì)干涉信號(hào)產(chǎn)生作用，即待測(cè)對(duì)象的反射光、參考光和臨近高（或低）平面上衍射光[5]。Harasaki等[6]建立了簡(jiǎn)單的衍射模型并解釋了當(dāng)臺(tái)階高度小于光源相干長(zhǎng)度時(shí)，包絡(luò)線在臺(tái)階不連續(xù)點(diǎn)附近的蝠翼現(xiàn)象。Niehues等[7]針對(duì)曲面尤其是側(cè)面出現(xiàn)的蝠翼效應(yīng)現(xiàn)象，提出了雙波長(zhǎng)相位展開法，在傳統(tǒng)的白光干涉儀上安裝兩個(gè)光源，在高度掃描時(shí)交替驅(qū)動(dòng)，通過(guò)評(píng)估差異來(lái)求解臺(tái)階邊緣高度形貌。Lehmann等[8]在研究白光干涉儀的儀器傳輸特性時(shí)考慮點(diǎn)光源的影響建立了基于點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的衍射模型，并提出可以通過(guò)調(diào)整波長(zhǎng)以適應(yīng)表面臺(tái)階高度來(lái)避免或減少蝠翼效應(yīng)。Xie和Lehmann等[9-12]在低相干干涉測(cè)量中，考慮了有效波長(zhǎng)、數(shù)值孔徑（numerical aperture, NA）因子對(duì)蝠翼效應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬，陸續(xù)提出基于基爾霍夫的衍射模型和理查德沃夫的衍射模型，進(jìn)一步揭示了蝠翼效應(yīng)的影響機(jī)制。

國(guó)內(nèi)自主研發(fā)設(shè)計(jì)的白光干涉儀大多通過(guò)避免使用邊緣處信息來(lái)減小蝠翼效應(yīng)的影響[13-14]，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)單刻線樣板測(cè)量得到的標(biāo)準(zhǔn)差可達(dá)6.2 nm。為解決上述問(wèn)題，本文考慮白光光源帶寬、干涉物鏡數(shù)值孔徑以及待測(cè)工件表面形貌的綜合影響，提出蝠翼效應(yīng)的圓孔衍射模型，分析蝠翼效應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)理以及其與真實(shí)形貌之間的關(guān)系，最后比較中值濾波和均值濾波兩種濾波方法在消除蝠翼誤差方面的優(yōu)劣性，為提高白光干涉儀的測(cè)量精度奠定基礎(chǔ)。

1 白光干涉儀測(cè)量模型

1.1 干涉儀系統(tǒng)測(cè)量原理

白光干涉儀的基本測(cè)量原理如圖1所示，圖中顯微干涉物鏡的結(jié)構(gòu)為Mirau型。光源發(fā)出的光由第一分光板改變光路方向，到達(dá)第二分光板時(shí)被分成兩束，一束經(jīng)待測(cè)表面反射回光路系統(tǒng)中，另一束光經(jīng)參考鏡反射，兩束反射光匯聚并干涉，形成的干涉光成像到CCD中。測(cè)量時(shí)采用微位移機(jī)構(gòu)改變測(cè)量光和參考光的光程差。利用表面形貌恢復(fù)算法得到各點(diǎn)的相對(duì)高度，實(shí)現(xiàn)對(duì)被測(cè)物體的非接觸測(cè)量。

圖1 Mirau型白光干涉儀測(cè)量原理圖

1.2 不考慮衍射時(shí)的虛擬測(cè)量模型

假設(shè)待測(cè)表面形貌為h(x,y)，考慮白光光源帶寬和干涉物鏡數(shù)值孔徑對(duì)光強(qiáng)度分布的綜合影響，假設(shè)光源在不同波長(zhǎng)帶寬上均勻分布，并且忽略材料表面反射引起的相位變化，同時(shí)不考慮色散問(wèn)題，白光干涉光強(qiáng)分布受辛格（sinc）函數(shù)調(diào)制，忽略干涉光強(qiáng)的直流分量，并將交流分量做歸一化處理，得[15]：

式中：λ0、λmin、λmax——光源的中心波長(zhǎng)、最短波長(zhǎng)及最長(zhǎng)波長(zhǎng)；

z0——h=0時(shí)測(cè)量光路與參考光路長(zhǎng)度之差為零的位置；

φ0——干涉信號(hào)在等光程差的相位角；

Δz——連續(xù)兩幀干涉圖之間的掃描距離；

θmax——干涉物鏡的截止角，θmax=arcsin(NA)。

其中，NA為干涉物鏡數(shù)值孔徑，與干涉物鏡的放大倍數(shù)和物鏡的種類有關(guān)，商用干涉物鏡的數(shù)值孔徑可參考表1查出。

表1 商用干涉物鏡相關(guān)參數(shù)

由式（1）可得被測(cè)表面不同掃描位置z=?n·Δz到z=n·Δz（n=0,1,2 , ···,150，單向掃描）在白光照射下的干涉強(qiáng)度I(x,y)。利用表面形貌恢復(fù)算法，從離散干涉信號(hào)中計(jì)算調(diào)制度和相位信息，最終可得到表面形貌。常用的表面形貌恢復(fù)算法大致分為兩類：第一類采用相干峰檢測(cè)算法求取調(diào)制度值來(lái)直接恢復(fù)形貌，如極值法、重心法[16]、小波變換法等；第二類是在獲得調(diào)制度的基礎(chǔ)上，通過(guò)結(jié)合相位信息來(lái)恢復(fù)形貌，如相移法、空間頻域法[17]等。

根據(jù)白光干涉儀的測(cè)量原理來(lái)構(gòu)建白光干涉虛擬測(cè)量模型，各項(xiàng)仿真參數(shù)如表2所示，本實(shí)驗(yàn)用到的物鏡為Mirau 50。為與實(shí)際白光干涉測(cè)量結(jié)果做比較，仿真時(shí)直接取儀器的相關(guān)參數(shù)，如表2所示，z0、φ0一般為常數(shù)，為簡(jiǎn)化計(jì)算仿真時(shí)設(shè)為0。由于位移驅(qū)動(dòng)器帶動(dòng)干涉鏡頭沿z軸方向逐幀掃描，所以實(shí)際在CCD中得到的干涉信號(hào)均為離散干涉信號(hào)，單一像素點(diǎn)的干涉信號(hào)仿真如圖2所示。

表2 仿真測(cè)量參數(shù)

圖2 單一像素點(diǎn)不同掃描位置的光強(qiáng)度信號(hào)

假設(shè)待測(cè)對(duì)象高度h=150 nm，x方向上周期T=20 μm。則利用式（1）可得到初始模擬光強(qiáng)圖。分別運(yùn)用包絡(luò)曲線擬合法和相移法對(duì)模擬的掃描干涉圖進(jìn)行分析處理，可得到表面形貌。采用不同算法得到的矩形光柵虛擬測(cè)量響應(yīng)結(jié)果如圖3所示，兩種不同的形貌恢復(fù)算法得到的矩形光柵形貌和周期，均具有一致性。

圖3 矩形光柵形貌圖（不考慮衍射）

為做進(jìn)一步比較，分別取不同的待測(cè)光柵高度（150，200，300，450 nm），根據(jù) ISO 5436—1:2000 標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)階評(píng)定方法評(píng)定矩形光柵的高度。整理其經(jīng)虛擬測(cè)量得到的形貌的高度值繪制成表3。 由表3可以得出：由不同的形貌恢復(fù)算法得到矩形光柵的高度保持一致，表明在考慮白光光源帶寬和干涉物鏡數(shù)值孔徑對(duì)光強(qiáng)度分布的綜合影響時(shí)，其虛擬測(cè)量方法具有可行性。

表3 不同算法得到的光柵高度值nm

2 蝠翼效應(yīng)誤差的機(jī)理分析

在實(shí)際測(cè)量中，使用白光干涉儀（New View 5000，垂直分辨率0.1 nm，橫向分辨率640 nm）測(cè)量矩形光柵標(biāo)準(zhǔn)樣件（高度 200 nm，寬度 100 μm）。

輪廓測(cè)量結(jié)果如圖4所示。圖4(a)為白光干涉儀測(cè)量得到的三維形貌圖，圖4(b)為矩形光柵實(shí)物圖，圖4(c)為圖4(a)所截取輪廓線的部分二維形貌。由圖4 (c)中標(biāo)注的邊緣高度值看出，白光干涉儀實(shí)測(cè)結(jié)果中蝠翼效應(yīng)高度不是一成不變的，其原因在于存在測(cè)量環(huán)境等不確定因素的影響：如干涉光強(qiáng)容易受到外界的環(huán)境光、外界的振動(dòng)和光源光強(qiáng)不穩(wěn)定等因素的干擾，這些不確定因素會(huì)引起干涉光強(qiáng)的強(qiáng)度和相位發(fā)生變化，使得恢復(fù)的形貌中蝠翼高度不一致。但含有蝠翼效應(yīng)的誤差高度總體較為接近 20 nm。

圖4 矩形光柵形貌圖

在白光干涉儀中考慮衍射的影響，干涉物鏡相當(dāng)于障礙物，如果光源、觀察屏與障礙物之間的距離都是無(wú)限遠(yuǎn)的，此時(shí)的衍射認(rèn)為是圓孔衍射。圓孔衍射在顯微鏡成像中不可避免，它對(duì)顯微鏡的分辨率有著重大影響。為了能夠?qū)?shí)際光學(xué)干涉系統(tǒng)的性質(zhì)做出更加正確的描述，將一個(gè)直徑為無(wú)限小的理論點(diǎn)光源通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)后的成像性質(zhì)用點(diǎn)擴(kuò)散（point spread function，PSF）表示[18]。由此，本研究考慮圓孔衍射的影響，得到非相干成像艾里斑的二維點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)：

將顯微鏡中光強(qiáng)信號(hào)圖像的形成看作是一個(gè)線性過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中樣品上每一個(gè)采樣點(diǎn)光強(qiáng)信息都與干涉物鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)進(jìn)行卷積，從而獲得考慮了衍射的干涉光強(qiáng)度圖像：

式中：ICCD（x, y）——考慮了衍射效應(yīng)的，實(shí)際在CCD上可觀測(cè)到的干涉光強(qiáng)度信號(hào)；

I(x,y)——考慮白光光源帶寬和干涉物鏡數(shù)值孔徑對(duì)光強(qiáng)度分布的綜合影響得到的理論干涉光強(qiáng)度信號(hào)；

psf——白光干涉儀圓孔衍射點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。

利用卷積定理，對(duì)上式可以變換為下式，同時(shí)為了減少計(jì)算量，下式中將對(duì)于二維待測(cè)形貌進(jìn)行分析，并假設(shè)y=0，所得到的干涉光強(qiáng)信息可以表示為：

式中：F–1——傅里葉逆變換的過(guò)程；

F——傅里葉變換的過(guò)程；

ζ、η?在x、y方向上的空間頻率，PSF(ζ,η)=F{psf (x,y)}。

3 考慮衍射時(shí)干涉儀的虛擬測(cè)量模型

接下來(lái)，利用表面形貌恢復(fù)算法從式（4）得到的干涉光強(qiáng)圖中提取出形貌信息，通過(guò)與理論形貌進(jìn)行對(duì)比，分析衍射效應(yīng)對(duì)白光干涉儀測(cè)量結(jié)果的影響。

基于以上的分析討論，本節(jié)考慮衍射對(duì)白光干涉儀測(cè)量結(jié)果的影響，提出了基于衍射的白光干涉儀虛擬測(cè)量模型。該模型主要分為3部分：理想干涉光強(qiáng)信號(hào)生成、受衍射影響的干涉光強(qiáng)信號(hào)生成、干涉信號(hào)經(jīng)形貌恢復(fù)算法后提取出高度信息，具體模擬分析流程如圖5所示。

圖5 模擬分析流程圖

3.1 矩形光柵的虛擬測(cè)量分析

由衍射原理可以看出，在白光干涉儀的實(shí)際測(cè)量中，待測(cè)點(diǎn)的光強(qiáng)信息不僅包括干涉光路的參考光和反射光，還有待測(cè)點(diǎn)周圍的衍射光的疊加。本研究仍以矩形光柵為例對(duì)形貌進(jìn)行測(cè)量，依次選擇四個(gè)采樣點(diǎn)位置，如圖6（a）所示，即：臺(tái)階頂部點(diǎn)（點(diǎn)A）、臺(tái)階頂部的邊緣點(diǎn)（點(diǎn)B）、臺(tái)階底部的邊緣點(diǎn)（點(diǎn)C）、臺(tái)階底部點(diǎn)（點(diǎn)D），分別繪制出四個(gè)位置的光強(qiáng)圖，如圖6（b）和（c）所示。對(duì)矩形光柵進(jìn)行虛擬測(cè)量過(guò)程中，臺(tái)階頂部和底部中間點(diǎn)的光強(qiáng)信號(hào)與單一采樣點(diǎn)干涉光強(qiáng)信號(hào)區(qū)別不明顯，依舊與衍射前的信號(hào)保持一致；而受到衍射效應(yīng)影響的臺(tái)階邊緣位置處的光強(qiáng)的包絡(luò)形狀發(fā)生明顯變化。由圖中也可以看出邊緣位置的干涉光強(qiáng)信號(hào)不僅強(qiáng)度明顯降低，且信號(hào)出現(xiàn)次級(jí)包絡(luò)峰，次級(jí)包絡(luò)峰會(huì)影響峰值提取的正確性，因此，依據(jù)峰值位置進(jìn)行形貌恢復(fù)的算法，結(jié)果必然會(huì)出現(xiàn)偏差。

圖6 某四點(diǎn)光強(qiáng)信息

同時(shí)，模擬計(jì)算了周期均為20 μm，5種不同高度（h= 100 nm、h= 150 nm、h= 200 nm、h= 300 nm、h= 450 nm）的矩形光柵虛擬測(cè)量形貌，結(jié)果如圖7所示（為直觀對(duì)比，高度偏移量依次遞增500 nm）。

圖7 不同表面形貌的模擬測(cè)量形貌

測(cè)量點(diǎn)光強(qiáng)信息受相鄰點(diǎn)光強(qiáng)度衍射的影響，干涉光強(qiáng)大小發(fā)生改變。根據(jù)雙光束干涉理論，一般認(rèn)為相位差與波數(shù)滿足：Δφ=2k0h（k0為光波矢量，且k0=2π/λ0），所以相位每相差π時(shí)高度相差為λ0/4。當(dāng)待測(cè)臺(tái)階高度為λ0/4和3λ0/4時(shí)（圖中h=150 nm和h=450 nm），臺(tái)階邊緣干涉光強(qiáng)信號(hào)受相鄰點(diǎn)光強(qiáng)的影響，干涉光強(qiáng)信號(hào)發(fā)生如圖6所示的幅值明顯變小的現(xiàn)象，不同的形貌恢復(fù)算法均得到明顯的蝠翼誤差（圖7（a）和圖7（b）），且蝠翼高度超過(guò)50 nm，不可忽略。當(dāng)待測(cè)對(duì)象高度遠(yuǎn)離 λ0/4時(shí)（圖中h=100 nm 和h=200 nm），以 200 nm 為例，臺(tái)階邊緣干涉光強(qiáng)信號(hào)受相鄰點(diǎn)光強(qiáng)的影響變小，蝠翼高度降低，且形貌周期仍保持不變。當(dāng)形貌高度為λ0/2時(shí)（圖中h=300 nm），臺(tái)階邊緣干涉光強(qiáng)信號(hào)與相鄰點(diǎn)光強(qiáng)相位相差2π，此時(shí)衍射效應(yīng)相當(dāng)于濾波，即臺(tái)階高度邊緣被濾波平滑處理；此時(shí)，結(jié)合相干信息和相位信息的相移法能更好地得到矩形光柵形貌。

3.2 測(cè)量結(jié)果驗(yàn)證

利用上述衍射模型對(duì)待測(cè)表面（高度為200 nm，寬度為50 μm）進(jìn)行虛擬測(cè)量并采用相移法恢復(fù)表面形貌，得到如圖8（相移法偏移量為300 nm）所示的虛擬測(cè)量結(jié)果。在考慮衍射對(duì)白光干涉儀的影響時(shí)，虛擬測(cè)量結(jié)果顯示出蝠翼效應(yīng)，且蝠翼效應(yīng)誤差高度為20.0 nm，與圖4（c）實(shí)際測(cè)量結(jié)果具有一致性。

圖8 矩形光柵樣件的測(cè)量和仿真形貌

圖9為白光干涉儀測(cè)量硅晶圓片（高度為335 nm，寬度為 20 μm）時(shí)所獲得的圖像。結(jié)合圖9（a）、（b）可以看出，其邊緣的測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)蝠翼誤差。輸入相應(yīng)的高度寬度參數(shù)進(jìn)行虛擬測(cè)量，仿真結(jié)果如圖9（c）所示。其中相移法（y偏移 500 nm）仿真結(jié)果的蝠翼高度為16.9 nm，實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的蝠翼高度為23.2 nm，蝠翼高度仿真誤差為27.16%。

圖9 硅晶圓片形貌分析圖

同樣的，圖10待測(cè)樣件高度為835 nm，寬度為100 μm。虛擬測(cè)量仿真結(jié)果如圖黑實(shí)線所示。相移法仿真結(jié)果的臺(tái)階高度為834.1 nm，實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的臺(tái)階高度為835.0 nm。由圖中可以看出，實(shí)測(cè)和仿真形貌邊緣均未出現(xiàn)蝠翼效應(yīng)。

圖10 硅晶圓片樣件的測(cè)量和仿真形貌

3.3 蝠翼效應(yīng)的補(bǔ)償

以目前的手段而言，還無(wú)法從原理上完全克服蝠翼效應(yīng)對(duì)白光干涉儀的測(cè)量性能限制，但是直接對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)償處理，不必考慮測(cè)量過(guò)程中影響蝠翼的各種因素，這種補(bǔ)償方式簡(jiǎn)單直接，不需要過(guò)多的計(jì)算量，并且也能達(dá)到令人滿意的蝠翼補(bǔ)償效果。

采用濾波的方法對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行后處理，對(duì)矩形光柵實(shí)測(cè)形貌和矩形光柵虛擬測(cè)量形貌分別進(jìn)行均值濾波和中值濾波，結(jié)果如圖11所示，兩種處理方式均能過(guò)濾掉尖峰的“蝠翼”，但中值濾波對(duì)蝠翼處理結(jié)果優(yōu)于均值濾波的處理結(jié)果，因均值濾波的處理使矩形光柵的邊緣出現(xiàn)“塌邊”和矮“凸峰”，而中值濾波能夠保護(hù)邊緣和輪廓信息。

圖11 矩形光柵模擬和實(shí)測(cè)補(bǔ)償結(jié)果圖

為進(jìn)一步對(duì)比兩種濾波方法處理效果，使用臺(tái)階高度、臺(tái)階與輪廓中線圍成的面積兩種評(píng)價(jià)參數(shù)對(duì)實(shí)測(cè)形貌和濾波補(bǔ)償形貌進(jìn)行評(píng)價(jià)。

1）臺(tái)階高度：根據(jù) ISO 5436—1:2000(E)[19]標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)階評(píng)定方法，使用白光干涉儀對(duì)樣塊進(jìn)行測(cè)量，取互相平行的輪廓線10條；對(duì)應(yīng)的中值濾波和均值濾波結(jié)果如圖12（a）所示，實(shí)測(cè)輪廓的臺(tái)階高度為199.1 nm，中值濾波處理的臺(tái)階高度為199.1 nm，均值濾波處理的臺(tái)階高度為199.1 nm，兩種濾波處理后的臺(tái)階高度與實(shí)測(cè)臺(tái)階高度在數(shù)值上相等。

圖12 兩種評(píng)價(jià)參數(shù)對(duì)濾波方法的評(píng)價(jià)

2）臺(tái)階與輪廓中線圍成的面積：為直觀對(duì)比兩種濾波處理結(jié)果的“塌邊”程度，計(jì)算出單個(gè)臺(tái)階與輪廓中線所圍成的面積，結(jié)果如圖12（b）所示。從圖中得出：均值濾波對(duì)邊緣和輪廓保護(hù)程度差，單個(gè)臺(tái)階被濾掉的面積相比中值濾波的差值大于0.1 μm2。

4 結(jié)束語(yǔ)

在考慮干涉系統(tǒng)衍射的基礎(chǔ)上，模擬了白光掃描干涉測(cè)量過(guò)程，并對(duì)百納米高度的臺(tái)階進(jìn)行白光干涉儀的虛擬測(cè)量，對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生的蝠翼效應(yīng)進(jìn)行分析得到，蝠翼誤差的出現(xiàn)受待測(cè)形貌的影響，當(dāng)臺(tái)階高度接近λ0/4的奇數(shù)倍時(shí)蝠翼誤差明顯，此種情況下利用中值濾波處理蝠翼誤差的效果優(yōu)于均值濾波的處理效果。

文中所提出的白光掃描干涉虛擬測(cè)量算法是對(duì)白光掃描干涉測(cè)量過(guò)程進(jìn)行模擬，通過(guò)在模擬測(cè)量中考慮白光光源帶寬、干涉物鏡數(shù)值孔徑以及待測(cè)工件表面形貌等因素，可以進(jìn)一步分析這些因素對(duì)蝠翼誤差形狀和大小的影響機(jī)理、影響方式以及影響的權(quán)重，為從根本上消除蝠翼誤差做基礎(chǔ)。采用虛擬測(cè)量方法，可以對(duì)具有邊緣結(jié)構(gòu)或陡峭側(cè)翼的形貌進(jìn)行高精度的模擬預(yù)測(cè)，這在微電子機(jī)械制造與微機(jī)械制造等領(lǐng)域，可以應(yīng)用于對(duì)矩形階梯狀結(jié)構(gòu)和光柵狀結(jié)構(gòu)的測(cè)量結(jié)果的處理中。