快速收斂仿射投影算法在稀疏水聲信道的應(yīng)用

寧小玲, 童繼進(jìn), 張林森, 羅亞松, 程 晗

(海軍工程大學(xué)兵器工程學(xué)院, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

淺海中的聲傳播受到水體和上下邊界的共同作用,產(chǎn)生時(shí)延、衰減和多個(gè)信號(hào)疊加等現(xiàn)象。造成這些現(xiàn)象的原因有淺海水聲信道所具有特殊的聲速剖面結(jié)構(gòu),以及海底介質(zhì)的衰減特性對(duì)聲傳播損失造成的影響,更為重要是由聲波受到海面、海底的單次或多次反復(fù)的反射而在接收點(diǎn)疊加所造成的多徑效應(yīng)[1-2]。水聲通信的進(jìn)展使人們能夠在淺水信道中進(jìn)行高速數(shù)據(jù)應(yīng)用[3],但如果不特別注意信道的估計(jì)與均衡算法,則會(huì)使相干接收機(jī)過于復(fù)雜。通過利用水聲信道的稀疏多徑結(jié)構(gòu),可以改善信道跟蹤并降低接收器的復(fù)雜度[4]。面對(duì)稀疏的水聲信道,考慮到線性算法復(fù)雜度,出現(xiàn)了基于仿射投影算法(affine projection algorithm, APA)的稀疏算法[5-23]。文獻(xiàn)[5]將改進(jìn)比例APA(improved proportional APA, IPAPA)成功應(yīng)用于淺水信道數(shù)據(jù)鏈。文獻(xiàn)[6-11] 在IPAPA的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn),提出了非均勻范數(shù)約束的稀疏水聲信道估計(jì)算法。文獻(xiàn)[12-16]提出了IPAPA,在稀疏系統(tǒng)自適應(yīng)辨識(shí)的背景下驗(yàn)證算法的性能。文獻(xiàn)[17]在最小均方(least mean square,LMS)算法和APA的基礎(chǔ)上,提出了改進(jìn)的自適應(yīng)算法,并應(yīng)用于自適應(yīng)判決反饋均衡器得到更低的誤碼率。文獻(xiàn)[18-22]在電子回聲消除應(yīng)用中,為提高自適應(yīng)算法的收斂速度,提出了改進(jìn)的APA及其快速實(shí)現(xiàn)方法。

本文首先在文獻(xiàn)[5]IPAPA算法的基礎(chǔ)上引入變步長(zhǎng)算法,提高算法的收斂速度，并在此變步長(zhǎng)比例APA基礎(chǔ)上,引入判決反饋均衡器(decision feedback equalization, DFE)結(jié)構(gòu),進(jìn)一步改善算法收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差；然后通過對(duì)兩種典型的稀疏水聲信道模型采用正交相移鍵控(quadrature phase shift keying,QPSK)和16進(jìn)制的正交幅度調(diào)制(16 quadrature amplitude modulation,16QAM)信號(hào)對(duì)算法收斂性能進(jìn)行仿真,以驗(yàn)證算法的有效性。

1 新的比例APA

APA[24-25]重復(fù)利用過去的數(shù)據(jù)信號(hào),以提高自適應(yīng)濾波算法的收斂速度,是一種數(shù)據(jù)重用算法,數(shù)據(jù)重用算法被認(rèn)為是在輸入信號(hào)具有相關(guān)性情況下的提高自適應(yīng)濾波算法收斂速度的方法之一。

與LMS算法不同的是,APA均衡器的輸入是N×L維的輸入信號(hào)向量矩陣XNL(k)。將k時(shí)刻的前L個(gè)輸入信號(hào)向量寫為如下的矩陣形式:

XNL(k)=[XN(k),XN(k-1),…,XN(k-L+1)]

式中:XN(k)=[x(k),x(k-1),…,x(k-N+1)]T。

APA權(quán)值迭代方程為

(1)

式中:W(k)=[w0(k),w1(k), …,wN-1(k)]T是N×1維的濾波器權(quán)值向量;N是均衡濾波器的長(zhǎng)度;λ是歸一化因子;μ為算法的步長(zhǎng)因子；e(k)為誤差向量。

APA是在歸一化LMS(normalized LMS, NLMS)算法的基礎(chǔ)上以增加計(jì)算復(fù)雜度的代價(jià)進(jìn)一步提高了收斂速度,在此情況下,為適當(dāng)減小計(jì)算復(fù)雜度,又不影響算法收斂速度,文獻(xiàn)[5]提出了IPAPA,該算法通過引進(jìn)一個(gè)對(duì)角矩陣G(k),使算法的權(quán)值迭代方程變?yōu)?/p>

W(k+1)=W(k)+μG(k)XNL(k)B(k)e(k)

(2)

對(duì)角矩陣G(k)的表達(dá)式為

G(k)=diag[g0(k),g1(k),…,gi(k),…,gN-1(k)]

(3)

(4)

式中:參數(shù)α為一個(gè)小的正數(shù),避免算法的初始收斂階段使算式的分母為零;參數(shù)β控制W(k)的稀疏度,對(duì)于稀疏水聲信道,β接近 1;對(duì)于非稀疏信道,β接近-1,所以β的取值范圍為-1≤β<1;ωi(k)為權(quán)向量W(k)中的第i個(gè)值。

APA通過數(shù)據(jù)的重用提高了算法的收斂速度,但是代價(jià)之一是增加了算法的失調(diào)[18,26-27]。因此,本文通過引進(jìn)變步長(zhǎng)μk來實(shí)現(xiàn)最終的失調(diào)和收斂速度之間的平衡。權(quán)值更新迭代方程為

W(k+1)=W(k)+μkG(k)XNL(k)B(k)e(k)

(5)

μk=ηexp(-ζ|e(k)|γ)|e(k)|γ-1

(6)

式中:γ是形狀參數(shù),算法的收斂快慢依靠參數(shù)γ的適當(dāng)選擇;η是步長(zhǎng)參數(shù),控制μk的取值范圍;ζ也是步長(zhǎng)參數(shù),控制算法的收斂快慢。這時(shí)把新的快速收斂比例APA記為VSIPAPA算法。

在信道失真嚴(yán)重的情況下,非線性結(jié)構(gòu)的DFE被廣泛采用[24,28-29]。這種結(jié)構(gòu)的均衡器對(duì)信號(hào)幅度畸變和噪聲增強(qiáng)具有良好的補(bǔ)償效果,且對(duì)信號(hào)采樣相位不敏感[25]?；诖?本文在上述VSIPAPA算法的基礎(chǔ)上,引入DFE結(jié)構(gòu),于是,我們得到VSIPAPA-DFE算法的迭代過程為

(7)

e(k)=d(k)-yi(k)+yb(k)

(8)

(9)

式中:Wi(k)為Ni維的前饋濾波器權(quán)值向量，其輸入為Ni×L輸入信號(hào)向量矩陣XNL(k);XNL(k)經(jīng)過前饋濾波器Wi(k)濾波消除多徑效應(yīng)的影響;Wb(k)為Nb維的反饋濾波器權(quán)值向量,與前饋濾波器配合共同完成抗多徑的任務(wù)；D(k)為Nb維的向量,表示判決器Qu恢復(fù)出的信息；參數(shù)μk和ρ分別為前饋濾波器和反饋濾波器的步長(zhǎng)因子。

2 算法性能比較與分析

2.1 新算法的收斂性能分析

本文提出的新算法VSIPAPA算法涉及的變量較多,首先分析η、γ以及ζ的選擇對(duì)算法收斂性能的影響。仿真初始條件:SNR=25 dB,QPSK調(diào)制信號(hào),水聲信道模型采用典型的稀疏多徑水聲信道H1(z)=1-0.5z-14+0.4z-18[30 ],各均衡器抽頭個(gè)數(shù)取M=82。仿真結(jié)果如圖1所示。

(1) 變化η值。分別取η1=0.12,η2=0.08,η3=0.05時(shí),其他參數(shù)保持不變(L=4,γ=2,ζ=0.8)時(shí),得到的均方誤差收斂曲線如圖1(a)所示?？梢钥闯?當(dāng)步長(zhǎng)η逐漸增大時(shí),算法的收斂速度逐漸增快。

(2) 變化γ值。分別取γ1=2,γ2=3,γ3=4,γ4=5,其他參數(shù)保持不變(L=4,η=0.08,ζ=0.8)時(shí),得到的均方誤差收斂曲線如圖1(b)所示?？梢钥闯?在信道1的環(huán)境下,當(dāng)步長(zhǎng)γ逐漸增大時(shí),算法的收斂速度卻逐漸減慢,隨著迭代次數(shù)的增加,收斂穩(wěn)定后的均方誤差相當(dāng),所以,在信道1這樣的稀疏多徑信道環(huán)境下,取最佳值γ=2。

(3) 變化ζ值。分別取ζ1=1,ζ2=0.8,ζ3=0.5,ζ4=0.2,其他參數(shù)保持不變(L=4,η=0.08,γ=3)時(shí),得到的均方誤差收斂曲線如圖1(c)所示?？梢钥闯?當(dāng)步長(zhǎng)ζ逐漸減小時(shí),算法的收斂速度卻逐漸增快,隨著迭代次數(shù)的增加,收斂穩(wěn)定后的均方誤差相當(dāng)。但仿真發(fā)現(xiàn),步長(zhǎng)ζ較小(ζ<0.2)時(shí),算法的收斂曲線將變得發(fā)散,所以,一般取ζ∈[0.2,1]。

2.2 APA類算法與LMS和 RLS算法的比較

在信道1仿真條件下,SNR=25 dB,分別采用QPSK和16QAM兩種調(diào)制信號(hào),對(duì)LMS算法、NLMS算法、APA算法、IPAPA算法、VS-IPAPA算法以及遞歸最小二乘(recursive least square, RLS)算法進(jìn)行比較。均衡器抽頭個(gè)數(shù)取M=82。仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2顯示,在信道1以及兩種調(diào)制方式仿真條件下,LMS、NLMS、APA、IPAPA、VSIPAPA以及RLS算法的收斂趨勢(shì)相同,都是收斂速度依次增強(qiáng),且收斂后各算法的穩(wěn)態(tài)誤差幾乎相當(dāng),分別為-12 dB和8 dB。在迭代次數(shù)為1 000次時(shí),可以得到在QPSK和16QAM調(diào)制方式時(shí)的各算法的穩(wěn)態(tài)誤差分別如表1所示。從表1也可看出,在迭代1 000次時(shí),LMS、NLMS、APA、IPAPA、VSIPAPA以及RLS算法的穩(wěn)態(tài)誤差依次減小,這也證實(shí)了各算法的收斂速度依次增強(qiáng)。

表1 迭代1 000次各算法穩(wěn)態(tài)誤差

NLMS算法的收斂速度通常比LMS算法更快,因?yàn)槠湓谑顾矔r(shí)輸出誤差最小化時(shí),采用了可變收斂因子。APA算法在NLMS 算法的基礎(chǔ)上通過重復(fù)利用數(shù)據(jù)增加計(jì)算復(fù)雜度的代價(jià)進(jìn)一步提高收斂速度。IPAPA算法在不降低算法收斂性能的基礎(chǔ)上,適當(dāng)減小計(jì)算復(fù)雜度。VSIPAPA算法在IPAPA算法基礎(chǔ)上通過引進(jìn)變步長(zhǎng)μk來實(shí)現(xiàn)最終的失調(diào)和收斂速度之間的平衡,提高了收斂速度。RLS算法即使在輸入信號(hào)相關(guān)矩陣的特征值擴(kuò)展比較大的情況下都能實(shí)現(xiàn)快速收斂。綜合以上仿真結(jié)果可以看出,隨著調(diào)制信號(hào)的復(fù)雜化,VSIPAPA算法的收斂性都與RLS相當(dāng),可見,VSIPAPA算法具有很好的收斂性能。

2.3 基于DFE結(jié)構(gòu)的算法性能比較

在信道1和信道2兩種稀疏多徑水聲信道仿真條件下進(jìn)行DFE結(jié)構(gòu)的算法仿真性能比較,信道2為H1(z)=1-0.5z-16+0.2z-27[31],且SNR=25 dB,采用QPSK信號(hào),對(duì)LMS算法、VSIPAPA算法、 RLS算法、LMS-DFE算法、VS-IPAPA-DFE算法以及RLS-DFE算法的收斂性能進(jìn)行比較。LMS算法、VSIPAPA算法、 RLS算法均衡器抽頭數(shù)為M=82,DFE結(jié)構(gòu)均衡器前饋濾波器權(quán)值向量Mi=33和反饋濾波器權(quán)值向量為Mb=33。仿真結(jié)果如圖3所示。

從圖3(a)可以看出, LMS-DFE算法、 VSIPAPA-DFE 算法和RLS-DFE算法相比LMS算法和 VSIPAPA 算法以及RLS算法增加了DFE,對(duì)信道1嚴(yán)重的頻率選擇性衰落有較好的克服能力,均衡效果要好得多,具體表現(xiàn)為:LMS-DFE算法 和 VSIPAPA-DFE 算法收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差相同,均為約-20 dB,RLS-DFE算法收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差約為-19 dB,相比非DFE結(jié)構(gòu)的LMS算法和RLS算法收斂后穩(wěn)態(tài)誤差(約-12 dB),分別減小了8 dB和7 dB;且LMS-DFE算法、VSIPAPA-DFE 算法以及RLS-DFE算法收斂速度變化趨勢(shì)也是依次增強(qiáng)。

從圖3(b)可以看出,在信道2仿真環(huán)境下,LMS-DFE 算法和 VSIPAPA-DFE 算法以及RLS-DFE算法收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差約為-20 dB,相比非DFE結(jié)構(gòu)的LMS等3種算法的穩(wěn)態(tài)誤差(約為-17.5 dB),減小了2.5 dB;非DFE結(jié)構(gòu)的LMS 3種算法收斂速度依次增強(qiáng),DFE結(jié)構(gòu)的LMS-DFE等3種算法收斂速度也依次增強(qiáng);值得注意的是在信道2環(huán)境中,VSIPAPA算法和RLS算法的收斂速度非常接近。

所以,綜合圖2和圖3的結(jié)果分析,可以得出結(jié)論:在稀疏多徑水聲環(huán)境中,VS-IPAPA算法具有和RLS 算法相當(dāng)?shù)氖諗啃阅?是一種可替代的算法。

3 結(jié) 論

本文通過在IPAPA算法的基礎(chǔ)上引入變步長(zhǎng)算法,提出了VS-IPAPA算法,以改善算法的收斂速度。在此算法的基礎(chǔ)上,引入DFE結(jié)構(gòu),得到VSIPAPA-DFE算法,進(jìn)一步改善算法收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差。并通過選擇兩種典型的稀疏水聲信道和兩種調(diào)制信號(hào)進(jìn)行了仿真研究,新算法均表現(xiàn)出良好的收斂性能,新算法優(yōu)于已有的LMS類算法,與RLS算法相比性能相當(dāng)。且VSIPAPA-DFE算法與LMS-DFE算法和RLS-DFE算法相比,其收斂趨勢(shì)與非DFE結(jié)構(gòu)的各算法的收斂趨勢(shì)是相同的,VS-IPAPA算法具有和RLS算法相當(dāng)?shù)氖諗啃阅?是一種可替代的算法。