基于M-FIPM的無網(wǎng)格DOA估計(jì)算法

陳 濤, 史 林, 申夢雨

(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)估計(jì)是陣列信號處理的一個(gè)重要分支,在雷達(dá)以及通信等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-2]。傳統(tǒng)的子空間類DOA估計(jì)算法,無法直接處理相關(guān)信源,并且對信噪比以及快拍數(shù)的魯棒性較差[3-4]。而由于壓縮感知理論的完善與快速發(fā)展,以l1-svd算法[5]為代表的稀疏類DOA估計(jì)算法,近年來逐漸受到國內(nèi)外眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注與研究[6-8]。

稀疏類DOA估計(jì)算法依據(jù)空間角度域的離散化處理,將入射信源DOA參數(shù)的估計(jì)問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)稀疏信號重構(gòu)問題,并利用凸優(yōu)化等數(shù)學(xué)手段獲得最終的參數(shù)估計(jì)結(jié)果,在低信噪比以及少快拍的情況下依然可以保持良好的估計(jì)性能,并且能夠直接處理相干信源,相比于子空間類算法具有顯著的優(yōu)勢。但是,稀疏類DOA估計(jì)算法內(nèi)在的網(wǎng)格失配問題會(huì)引起不可忽視的算法模型誤差,嚴(yán)重影響稀疏DOA估計(jì)算法的性能[9-10]。

離網(wǎng)稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(off-grid sparse Bayestan learning, OGSBL)算法[11-14]以及網(wǎng)格細(xì)化[8]技術(shù),分別利用網(wǎng)格點(diǎn)處一階泰勒級數(shù)展開與局部細(xì)密網(wǎng)格,來解決網(wǎng)格失配問題。雖然上述兩類算法能夠在一定程度上提高網(wǎng)格失配情況下稀疏類DOA估計(jì)算法的性能,但依然沒有擺脫空間角度域離散化處理,不能從根本上解決網(wǎng)格失配問題。

直到原子范數(shù)概念[15-17]的提出,才為徹底解決網(wǎng)格失配問題提供了一條行之有效的道路,進(jìn)而形成了一類基于原子范數(shù)最小化[18-21](atomic norm minimization, ANM)的無網(wǎng)格DOA估計(jì)算法,簡記為ANM-DOA算法。

ANM-DOA算法首先在連續(xù)的角度空間上建立以導(dǎo)向矢量為原子的無限維原子集合,然后以天線陣列接收單快拍數(shù)據(jù)向量的原子范數(shù)來表征該向量的稀疏性,最后建立一個(gè)以原子范數(shù)與擬合誤差的加權(quán)和為目標(biāo)函數(shù)的凸優(yōu)化問題[22-24]。依據(jù)原子范數(shù)與半正定規(guī)劃(semi-definite programming, SDP)問題的等價(jià)性,ANM-DOA算法成功地將入射信源DOA參數(shù)的估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)SDP問題,并最終利用Toeplitz矩陣的Vandermonde分解,獲得DOA參數(shù)的估計(jì)結(jié)果。

由此看見,ANM-DOA算法不再依賴于空間角度域的離散化處理,進(jìn)而從根本上解決了網(wǎng)格失配問題。同時(shí),ANM-DOA算法的核心便在于SDP問題的求解,這同時(shí)也是該算法中復(fù)雜度最高的運(yùn)算。現(xiàn)有的ANM-DOA算法利用內(nèi)點(diǎn)法[25](interior point method, IPM)或交替方向乘子算法[26-27](alternating direction multiplier method, ADMM)來求解SDP問題。內(nèi)點(diǎn)法每次迭代過程的復(fù)雜度為O(M6),而ADMM算法每次迭代過程的復(fù)雜度僅為O(M3)。不過,ADMM算法的收斂速度慢,達(dá)到收斂時(shí)所需要的迭代次數(shù)要遠(yuǎn)高于內(nèi)點(diǎn)法。

所以,基于上述兩種算法的SDP問題求解過程均不理想,如何能夠快速求解SDP問題已然成為當(dāng)前ANM-DOA算法領(lǐng)域的一種重要研究方向。而快速內(nèi)點(diǎn)法[28](fast IPM, FIPM)的提出,將SDP問題的維度由O(M2)將低為O(M),從而每次迭代過程的復(fù)雜度變?yōu)镺(M3)。這樣,FIPM不僅保留了內(nèi)點(diǎn)法收斂速度快的特點(diǎn),同時(shí)又綜合了ADMM算法每次迭代過程算法復(fù)雜度低的優(yōu)勢,所以在相同的SDP問題維度,即陣元數(shù)目相同時(shí),FIPM算法的求解速度最快。但是,目前的FIPM僅僅適用于單快拍情況下ANM-DOA算法中的SDP問題。

針對FIPM無法處理多快拍數(shù)據(jù)的問題,本文提出了一種基于多快拍FIPM(multiple snapshots FIPM, M-FIPM)的ANM-DOA算法。該算法首先對天線陣列接收多快拍數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解,然后依據(jù)以特征值為系數(shù)的特征向量加權(quán)和建立滿足FIPM算法模型的SDP問題,最終再利用FIPM算法與Toeplitz矩陣的Vandermonde分解[29-30]獲得DOA參數(shù)的估計(jì)結(jié)果。

在估計(jì)精度方面,所提出的基于M-FIPM的ANM-DOA算法,不受網(wǎng)格失配問題的制約,所以與稀疏類DOA估計(jì)算法相比,估計(jì)精度有顯著的提升。另外,在運(yùn)行時(shí)間方面,基于M-FIPM的ANM-DOA算法每次迭代過程的復(fù)雜度為O(M3),達(dá)到收斂時(shí)所需的迭代次數(shù)也要遠(yuǎn)小于ADMM算法,所以具有較高的運(yùn)算效率。

1 信號模型

考慮空間中K個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號,入射到具有M陣元的均勻線陣上,陣元間距為λ/2。信源角度θk∈[-π/2,π/2],k=1,2,…,K。

陣列天線接收信號的多快拍數(shù)據(jù)為

Y=AS+N

(1)

式中：S=[s1,s2,…,sK]T∈CK×T,為信號矩陣,T為快拍數(shù),sk=[sk(1),sk(2),…,sk(T)]表示第k個(gè)信號。N=[n1,n2,…nm,nm+1,…,nM]T∈CM×T為加性零均值高斯白噪聲矩陣,nm∈CT為第m個(gè)陣元的噪聲數(shù)據(jù),m=1,2,…,M。

A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θk),a(θk+1),…,a(θK)]∈CM×K為信號的導(dǎo)向矢量矩陣,具體地,a(θk)∈CM可以被表示為

a(θk)=[1,e-jπsin θk,…,e-jπ(M-1)sin θk]T

(2)

式中： j為虛數(shù)單位。

因此,當(dāng)入射信源之間獨(dú)立時(shí),天線陣列接收多快拍數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣RY∈CM×M為

RY=E[YYH]=AE[SSH]AH+σ2IM=ARSAH+σ2IM

(3)

式中：E表示求數(shù)學(xué)期望;RS∈CK×K表示信號協(xié)方差矩陣;σ2為噪聲方差;IM是M維的單位矩陣。

在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中,由于快拍數(shù)T有限,所以實(shí)際協(xié)方差的計(jì)算常采用下面的公式進(jìn)行計(jì)算:

(4)

2 多快拍數(shù)據(jù)的降維處理

首先,對式(3)中的陣列協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解,可以得到:

(5)

在式(5)左右兩端分別右乘US,得到:

(6)

對式(3)兩端也同時(shí)右乘US,則有:

RYUS=ARSAHUS+σ2IMUS

(7)

綜合式(6)和式(7)可以得到:

(8)

將式(8)的左邊記為

(9)

式中：amk表示導(dǎo)向矢量a(θk)中的第k個(gè)元素;vki是矩陣V=RSAHUS中第k行第i列的數(shù)據(jù)。

類似地,式(8)右邊也可以被表示為

(10)

式中：eMi為矩陣US中第M行第i列的元素,即ei=[e1i,e2i,…,eMi]T為協(xié)方差矩陣RY的特征值λi所對應(yīng)的特征向量,i=1,2,…,K。

由式(9)和式(10)可以得到:

(11)

然后,令:

(12)

因此,有如下的等式關(guān)系成立:

(13)

所以有以下的等式成立:

(14)

式中：q∈LM即為新構(gòu)建的觀測向量。

從式(14)可以得出,新的觀測向量與單快拍下基于ANM的DOA估計(jì)算法模型具有相同的形式,所以可以利用FIPM算法進(jìn)行最優(yōu)解的求解。

3 M-FIPM算法

將式(14)中的pk記為pk=|pk|ejφk,其中φk表示pk的相位,|pk|表示pk的模,則新觀測向量q的具體形式可以被表示為

(15)

(16)

形如式(16)所示的原子范數(shù)可以等價(jià)為如下SDP問題的最優(yōu)解:

(17)

傳統(tǒng)的求解SDP問題的算法那包括IPM與ADMM。其中,IPM中每次迭代過程的復(fù)雜度為O(M6),而ADMM每次迭代過程的復(fù)雜度僅為O(M3)。不過,與IPM相比,ADMM的收斂速度慢,達(dá)到收斂時(shí)所需要的迭代次數(shù)要遠(yuǎn)大于IPM。因此,IPM和ADMM的運(yùn)算量均不理想。而本文利用FIPM求解式(17)中的SDP問題,提出基于多快拍快速內(nèi)點(diǎn)法的ANM-DOA估計(jì)算法,記為M-FIPM。該算法每次迭代過程的復(fù)雜度也為O(M3),而收斂速度也與IPM算法相當(dāng),是目前運(yùn)算效率最高的SDP問題求解算法。

形如式(17)所示的半定規(guī)劃過程又可以表示為如下的形式:

(18)

(19)

(20)

根據(jù)上述對偶錐的定義,可以將式(18)的Lagrangian函數(shù)寫為如下形式:

(21)

則可以得到式(18)的增廣KKT條件為

(22)

lg(t-qHToep-1(u)q)

(23)

式中：Toep-1(u)為Toep(u)的逆。

M-FIPM算法的具體流程如下所示。

初始值閾值ε≥0,迭代次數(shù)i=1,初始的障礙因子s1>0,初始參數(shù)u0∈intZ。

輸出入射信號的角度值θk;

步驟 1利用式(5)對接收信號協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解,得到特征值和對應(yīng)的特征向量;

步驟 2利用式(14)構(gòu)建新的觀測向量q;

步驟 3利用M-FIPM算法求解式(17)對應(yīng)的SDP問題的最優(yōu)解u*;

步驟 4根據(jù)u*構(gòu)建Toeplitz矩陣,并對該矩陣進(jìn)行Vandermonde分解,得到入射信號角度參數(shù)θk的估計(jì)結(jié)果。

4 算法仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)對算法的有效性進(jìn)行仿真驗(yàn)。采用的陣列是8陣元的均勻線陣,對空間中4個(gè)獨(dú)立的遠(yuǎn)場窄帶信源進(jìn)行DOA估計(jì)。

在M-FIPM算法以及ANM算法中,正則化參數(shù)選取τ=0.5,對偶偏差設(shè)置為10-7,縮放因子β=10。而對于l1-svd算法,正則化參數(shù)取值不變,空間角度離散網(wǎng)格的間距為0.5°。同樣,MUSIC算法的空間譜峰搜索步長也為0.5°。

首先,對多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC),l1-svd,ANM以及M-FIPM 4種算法在不同信噪比(signal to noise ratio, SNR)以及不同快拍數(shù)下的估計(jì)精度進(jìn)行仿真對比。

通過均方根誤差(root mean square error, RMSE)來衡量DOA估計(jì)算法的估計(jì)精度,其計(jì)算方法如下:

(24)

式中：L∈R+是Monte-Carlo的實(shí)驗(yàn)次數(shù);θl是第l次實(shí)驗(yàn)中信源DOA參數(shù)的估計(jì)結(jié)果;θ為真實(shí)的入射角度。

實(shí)驗(yàn) 1令SNR在0～20 dB之間均勻變化,步長為5 dB,快拍數(shù)固定為200。信源的角度在[-60°,60°]之間隨機(jī)選取,最小角度間隔為10°。在每個(gè)SNR下做200次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn),上述4種算法的RMSE統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖1所示。

實(shí)驗(yàn) 2令快拍數(shù)分別取10,20,50,100與200,保持SNR固定為10 dB,其他仿真條件保持不變。在每個(gè)快拍數(shù)下做200次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn),上述4種算法的RMSE統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖2所示。

從圖1與圖2中所示的仿真結(jié)果中可以看出,上述4種DOA估計(jì)算法隨SNR和快拍數(shù)的增大,估計(jì)精度都有所提升。不過,MUSIC算法的估計(jì)精度受SNR與快拍數(shù)的影響最大,在SNR較低以及快拍數(shù)較小時(shí),MUSIC算法的估計(jì)精度最低。而隨著快拍數(shù)和SNR的增大,由于網(wǎng)格失配問題的存在,導(dǎo)致MUSIC算法的估計(jì)精度要優(yōu)于l1-svd算法。

ANM算法以及本文所提出的M-FIPM算法,對SNR以及快拍數(shù)的魯棒性更好,同時(shí)能夠解決網(wǎng)格失配問題,所以在相同的仿真條件下,估計(jì)精度要高于MUSIC算法以及l(fā)1-svd算法。而M-FIPM算法在降維過程中由于舍棄了協(xié)方差矩陣中的小特征值分量,對噪聲進(jìn)行了抑制,所以在估計(jì)精度方面還要優(yōu)于ANM算法。

然后,通過仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證IPM、ADMM以及M-FIPM 3種SDP問題求解算法的求解效率。而算法的求解效率主要由收斂速度以及每次迭代的算法復(fù)雜度所共同決定。

在算法復(fù)雜度方面,IPM算法每次迭代的復(fù)雜度為O(M6),而ADMM算法以及M-FIPM算法每次迭代的復(fù)雜度均為O(M3)。因此,本文所提出的M-FIPM算法在復(fù)雜度方面具有顯著優(yōu)勢。

在算法收斂速度方面,SDP問題求解算法的收斂速度主要體現(xiàn)在算法達(dá)到收斂時(shí)所需要的迭代次數(shù)。因此,本文通過對比在不同的SDP問題維度下,上述3種求解算法達(dá)到收斂時(shí)的迭代次數(shù)來驗(yàn)證所提出M-FIPM算法在收斂速度方面的性能。

實(shí)驗(yàn) 3固定SNR為10 dB,快拍數(shù)為200,陣元數(shù)由10均勻變化至50,步長為10。其他仿真條件與前文的仿真實(shí)驗(yàn)相同,在每個(gè)陣元數(shù)下做200次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn),收斂時(shí)上述3種算法平均迭代次數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖3所示。

從圖3中所示的仿真結(jié)果中可以看出,ADMM算法達(dá)到收斂時(shí)所需要的迭代次數(shù)遠(yuǎn)高于IPM算法以及M-FIPM算法。而M-FIPM算法達(dá)到收斂時(shí)所需要的迭代次數(shù)雖然要略高于IPM算法,但根據(jù)前文所分析的結(jié)果,M-FIPM算法每一次迭代過程的算法復(fù)雜度要遠(yuǎn)低于IPM算法,所以M-FIPM算法的求解效率依然要優(yōu)于IPM算法。

在圖4中,給出了在不同陣元數(shù)下,上述3種SDP問題求解算法的平均運(yùn)行時(shí)間。而該實(shí)驗(yàn)結(jié)果也驗(yàn)證了本文之前的結(jié)論,即M-FIPM算法具有最高的求解效率,在SDP問題的維度相同時(shí),所需的運(yùn)算時(shí)間最短。

最后,對比MUSIC、l1-svd、ANM以及M-FIPM共4種DOA估計(jì)算法的平均運(yùn)行時(shí)間。在不同陣元數(shù)下,做200次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn),統(tǒng)計(jì)上述4種算法的平均運(yùn)行時(shí)間,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖5所示。從圖5的仿真結(jié)果中可以看出,在相同的仿真條件下,MUSIC算法的運(yùn)算速度最快,l1-svd算法的運(yùn)算速度最慢,而本文所提出的M-FIPM算法,在平均運(yùn)行時(shí)間方面,要優(yōu)于ANM算法。

5 結(jié) 論

針對現(xiàn)有快速內(nèi)點(diǎn)法僅適用于單快拍模型的缺陷,本文提出了一種多快拍快速內(nèi)點(diǎn)法。該算法利用天線陣列接收多快拍數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征向量加權(quán)和來構(gòu)造適用于原子范數(shù)最小化理論的觀測模型,然后將DOA估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為SDP問題,并最終通過Toeplitz矩陣的Vandermonde分解獲得最終的DOA估計(jì)結(jié)果。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法在估計(jì)精度與運(yùn)行時(shí)間方面的優(yōu)勢。