基于常系數(shù)的Volterra生物數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性分析

廖曉花

(閩南理工學(xué)院 信息管理學(xué)院，福建 石獅 362700)

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，對于生物科學(xué)的相關(guān)研究已經(jīng)成為人類探索自然的重要途徑之一.生物數(shù)學(xué)主要根據(jù)生物種群中的定量與定性關(guān)系建立不同形式的數(shù)學(xué)模型，通過對模型的求解進(jìn)一步分析生物與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系，從而能夠更好地預(yù)測生物變化.

Volterra是生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域重要的研究方法，此方法的提出象征著生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究走進(jìn)黃金時代，且到目前為止常微積分方程、偏微分方程等理論在生物學(xué)模型中廣泛應(yīng)用，使得該領(lǐng)域呈現(xiàn)繁榮發(fā)展態(tài)勢，例如文獻(xiàn)[1]中利用白噪聲對生物數(shù)學(xué)模型的穩(wěn)定性進(jìn)行分析與反饋，通過環(huán)境白噪聲分析生物數(shù)學(xué)模型中的增長率、環(huán)境容納量、競爭系數(shù)等因素，并根據(jù)白噪聲對生物數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性進(jìn)行圖像轉(zhuǎn)換，以此構(gòu)建了一套不含噪聲的外來入侵生物階段結(jié)構(gòu)模型.文獻(xiàn)[2]在Volterra數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上建立能夠同時控制變量與系數(shù)的種群反饋系統(tǒng)，以靜態(tài)關(guān)系與動態(tài)關(guān)系作為數(shù)學(xué)分析的臨界條件，并在建立數(shù)學(xué)模型的過程中判斷生物數(shù)學(xué)模型的立體空間平衡點，針對模型中的連續(xù)變化參數(shù)，研究病菌的持久性和滅絕性的相關(guān)因素.

本文采用常系數(shù)對Volterra生物數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性進(jìn)行分析，通過常系數(shù)進(jìn)一步分析Volterra生物數(shù)學(xué)模型中的潛在關(guān)系與相關(guān)生物變化特征.

1 具有脈沖種間關(guān)系的Volterra生物數(shù)學(xué)模型

具有脈沖種間關(guān)系的Volterra生物數(shù)學(xué)模型中種間相互作用關(guān)系如公式(1)所示

(1)

生物數(shù)學(xué)模型中種間關(guān)系具有偏利性的相互關(guān)系，可以表示為

(2)

公式中，z≥0、y≥0、k1≥0、k2≥0、a≥0，其中r1和r2分別代表兩個不同規(guī)模的種群數(shù)量，z和y分別代表兩個種群的生物增長率，k代表不同種群的環(huán)境最大容納量，a代表在種群內(nèi)的每個種群個體對環(huán)境的作用.在生物競爭的環(huán)境中各個生物種類均為有利種群且受到生物環(huán)境的影響.

以上兩個Volterra生物數(shù)學(xué)模型中的生物種群偏利共生關(guān)系能夠保持一定的持續(xù)性，而實際的生態(tài)環(huán)境中則會由于外界原因?qū)е律飻?shù)學(xué)模型中的常系數(shù)發(fā)生永久性變化，產(chǎn)生具有脈沖效果的固定形式種群關(guān)系模式如下

(3)

公式中，r、k、n和υ均大于0，z和y分別為常系數(shù)Volterra生物數(shù)學(xué)模型相關(guān)算法的解，且z和y分別為模型中種群數(shù)的不變集合，每一個非負(fù)數(shù)解都能夠滿足常系數(shù)下的Volterra生物數(shù)學(xué)模型種群全局性正解.在生態(tài)系統(tǒng)中為了保障生物種群的多樣性，需要對生態(tài)環(huán)境中每個生物種群中的增長率進(jìn)行判斷，以解決生物可持續(xù)性與穩(wěn)定性發(fā)展過程中存在的一系列問題[3-5].本文首先應(yīng)用常系數(shù)分析脈沖種間關(guān)系的Volterra生物數(shù)學(xué)模型中的永存定理，其求解公式如下

(4)

公式中，u、r、d、t等種群內(nèi)系數(shù)均大于0，在此過程中獲取的解存在嚴(yán)格意義上的正解與負(fù)解，公式中存在正解說明在目前的生態(tài)環(huán)境下種群z和y分別在最大容納量的邊界浮動，在不超出環(huán)境最大容納量的情況下，兩種物種的種群發(fā)展將會實現(xiàn)可持續(xù)生存發(fā)展；而公式出現(xiàn)負(fù)解的情況則說明在目前的生態(tài)環(huán)境下兩種物種種群的發(fā)展呈現(xiàn)競爭狀態(tài)，且有一個種群的發(fā)展曲線逐漸偏離最大容納量，兩個種群的持續(xù)發(fā)展呈現(xiàn)不平衡狀態(tài)，這兩個種群將不能實現(xiàn)持續(xù)性發(fā)展[6-7].

對于常系數(shù)下的Volterra生物數(shù)學(xué)模型中生態(tài)環(huán)境的研究，人們更加注重生態(tài)系統(tǒng)中生物種群的漸進(jìn)性行為，兩個種群在生態(tài)環(huán)境中的共生形式能夠利于Volterra生物數(shù)學(xué)模型的常系數(shù)周期獲取，在Volterra生物數(shù)學(xué)模型中確定常系數(shù)n、s和d，則有

(5)

若公式(5)成立，則證明兩種群在目前的生態(tài)環(huán)境中無論處于何種生存狀態(tài)，種群z和y將呈現(xiàn)持續(xù)性發(fā)展與歸一性發(fā)展，這種生存狀態(tài)在自然界中是一種較為普遍的方式[8-10].常系數(shù)下的Volterra生物數(shù)學(xué)模型生物種群的不同發(fā)展趨勢曲線如圖1所示.

圖1 Volterra生物數(shù)學(xué)模型生物種群的不同發(fā)展趨勢

2 模型穩(wěn)定性分析

生態(tài)系統(tǒng)中存在著生命周期較短的生物種群或生命周期過長的生物種群，對這兩種生物種群進(jìn)行定性分析.本文主要利用常系數(shù)對Volterra生物數(shù)學(xué)模型中的離散性與耦合性變化關(guān)系進(jìn)行分析[11-12].時滯離散型模型為

(6)

此模型中z種群與k增長率系數(shù)能夠反映時滯離散型模型中生物種群動力學(xué)關(guān)系.其中，生物種群死亡周期與該種群的增長率、數(shù)量呈現(xiàn)正比線性關(guān)系，通過線性關(guān)系分析能夠獲取離散模型中的種群生物周期的穩(wěn)定性，常系數(shù)臨界點狀態(tài)下種群的發(fā)展線形圖如圖2所示.

圖2 常系數(shù)臨界點狀態(tài)下種群的發(fā)展線形圖

隨著種群數(shù)量的不斷增長，具有周期性特征的生物種群增長率逐漸平衡，根據(jù)差分理論方程的穩(wěn)定性基本理論得出常系數(shù)下的Volterra生物數(shù)學(xué)模型中周期性種群的穩(wěn)定性條件以及特征方程在曲線圖中的分布，常系數(shù)臨界點狀態(tài)下種群的相軌線如圖3所示.

圖3 常系數(shù)臨界點狀態(tài)下種群的相軌線

Volterra生物數(shù)學(xué)模型中的輸入量與輸出量存在著相互作用的關(guān)系，因此Volterra生物數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)出時滯耦合現(xiàn)象[13].在生態(tài)系統(tǒng)中生物種群存在著捕食、競爭、互利共生等種群關(guān)系，分析不同關(guān)系下的模型的穩(wěn)定性.本文將用常系數(shù)對Volterra生物數(shù)學(xué)模型進(jìn)行更改，通過常系數(shù)控制Volterra生物數(shù)學(xué)模型中空間平衡點，在穩(wěn)定性分析前期需要確定不同種群的捕食率，再確定不同種群的成熟期與死亡周期，之后采用常系數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，從宏觀的角度分析整個生態(tài)環(huán)境中生物種群的死亡趨勢與生長趨勢.在Volterra生物數(shù)學(xué)模型中取不同的平衡點進(jìn)行計算分析，獲取平衡點與種群周期趨勢較穩(wěn)定的常系數(shù)，得到不同種群的相軌線如圖4所示

圖4 不同種群的相軌線

通過具有時滯性的耦合Volterra生物數(shù)學(xué)模型獲取生態(tài)系統(tǒng)中的穩(wěn)定平衡點，對不同物種的發(fā)展趨勢線性化處理，進(jìn)而得到常系數(shù)下的模型穩(wěn)定性分析結(jié)果[14-15].

3 實驗研究

為驗證基于常系數(shù)的Volterra生物數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性方法的效果，通過模擬實驗驗證該方法的性能.

選擇傳統(tǒng)的基于動力學(xué)狀態(tài)的生物數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性分析方法與基于捕獲模型的Volterra生物數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性分析方法與本文提出的基于常系數(shù)的Volterra生物數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性方法進(jìn)行實驗對比.

尋找兩種偏離種群，種群分別為x(t)和y(t)，設(shè)定脈沖條件為r=k1=k2=1，則可以證明每隔一段時間種群就會收獲一次.比例系數(shù)0

當(dāng)生物系統(tǒng)規(guī)模取值為(0.9,0.4)時，不同分析方法得到的穩(wěn)定性曲線不同，其中生物系統(tǒng)的X序列值如圖5所示.

圖5 生物系統(tǒng)內(nèi)部X時間序列圖

生物系統(tǒng)的Y序列值如圖6所示.

圖6 生物系統(tǒng)內(nèi)部Y時間序列圖

分析圖5和圖6可知，本文提出的基于常系數(shù)的Volterra生物數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性方法得到的X時間序列圖和Y時間序列圖數(shù)值小于傳統(tǒng)方法.

根據(jù)生物系統(tǒng)內(nèi)部X時間序列圖和Y時間序列圖得到不同種群的穩(wěn)定性，為更好地確定模型穩(wěn)定性，本文針對三個種群進(jìn)行研究，種群分別為x1(t)、x2(t)和x3(t)，x1(t)穩(wěn)定性效果如圖7所示.

圖7 x1(t)穩(wěn)定效果圖

觀察圖7可知，傳統(tǒng)方法在判定穩(wěn)定性時，會出現(xiàn)一定的脈沖效應(yīng)，本文提出的基于常系數(shù)的Volterra生物數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性方法由于能夠分析固定時刻脈沖關(guān)系，所以該方法更穩(wěn)定.

x2(t)穩(wěn)定效果如圖8所示.

圖8 x2(t)穩(wěn)定效果圖

分析圖8可知，在種群為x2(t)時，本文研究的方法穩(wěn)定性更高，能夠精準(zhǔn)地分析不穩(wěn)定的鞍點，能夠有效實現(xiàn)對成熟周期進(jìn)行判定，防止外界干擾，保證分析結(jié)果的準(zhǔn)確性.

x3(t)穩(wěn)定效果如圖9所示.

圖9 x3(t)穩(wěn)定效果圖

分析圖9可知，本文提出的基于常系數(shù)的Volterra生物數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性方法的分析效果更好.

在不同種群中，本文提出方法和傳統(tǒng)方法都能夠進(jìn)行Volterra生物數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性分析，但是不同方法的分析能力不同，這種差異在x1(t)分析方面體現(xiàn)得作為明顯，x2(t)其次，x3(t)分析效果差異最弱.

傳統(tǒng)的分析方法雖然也能夠分析模型穩(wěn)定性，但是由于會受到外界干擾，所以分析結(jié)果準(zhǔn)確率較低.而本文提出的穩(wěn)定性分析方法不僅可以分析脈沖模型，確定噪音，還可以通過剔除噪音提高穩(wěn)定性分析結(jié)果的準(zhǔn)確性.

4 結(jié)束語

為解決目前存在的生物數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性分析方法存在的分析效果較差的問題，本文提出了一種基于常系數(shù)的Volterra生物數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性分析方法.通過確定脈沖種間關(guān)系，建立時滯性離散和耦合Volterra生物數(shù)學(xué)模型，從而確定該模型的穩(wěn)定性.實驗分析結(jié)果表明，本文提出的分析方法能夠精準(zhǔn)地獲得時間序列，從而提高分析結(jié)果的準(zhǔn)確性.