Menger PN空間中非線性算子方程一般解的存在性研究

陳方杰

(桐城師范高等?？茖W校 商貿(mào)與電子信息系，安徽 桐城 231400)

1 相關概念

(1)

定義t-范數(shù)Δ為不間斷[2].

Menger PN空間是Menger概率線性賦范空間[3-4],即有序三元組(E,F,Δ),E表示實線性空間,F為E到M的映射,定義fx符合以下要求(研究中fx即為F(x),fx(t)是分布函數(shù)fx在t∈B處的值).

fx(0)=0,?x∈E,fx(t)=H(t),?t∈B,只有x=ε時成立,φ≠0的隨機實數(shù),存在fφx(t)=fx(t/|φ|),隨機的x,y∈E，t1,t2∈B+,存在fx+y(t1+t2)≥Δ(fx(t1),fy(t2)).

(i)Deg(N,M,u)=1,?u∈M；

(ii)Deg(W,M,u)≠0,此時W(x)=u在M中存在解；

(vi)定義u?W(γM),那么Deg(W,M,u)=Deg(W-u,M,ε).

引理1定義(E,F,Δ)表示Menger PN空間,Δ為連續(xù),那么概率分布函數(shù)f為下半連續(xù),即隨機t∈B,若當n→∞時，qn→q和pn→p,那么,

(2)

引理2定義無限維Menger PN空間(E,F,Δ)中存在開子集M,隨機t∈[0,1],t-范數(shù)Δ滿足Δ(t,t)≥t.T∶M→E為連續(xù)緊算子，滿足

(ii)隨機η∈[0,1]，x∈γM,存在Tx≠ηx.

因此Deg(N-T,M,ε)=0.

2 主要結(jié)論

fTx(w)>fφx(w),?s>0,?x∈γM,

(3)

定義ct(x)=x-Ct(x),驗證：隨機t∈[0,1]存在ε?ct(γM),反之,定義有t0∈[0,1],x0∈γM,則ε=ct0(x0),因此得到

φx0=t0T(x0).

(4)

(5)

上述結(jié)果顯示公式(5)與公式(iii)相斥,所以,隨機t∈[0,1]存在ε?ct(γM)情況成立.由Leray-Schauder度性質(zhì)(iii)可知Deg(N-T/φ,M,ε)=Deg(N,M,ε).同時ε∈M,考慮Leray-Schauder度性質(zhì)(i)得到以下形式

Deg(N,M,ε)=1.

(6)

根據(jù)Leray-Schauder度性質(zhì)(ii)得到以下結(jié)論[5]有x1∈M,令Tx1=φx1.

接下來驗證：隨機x∈γM,t∈[0,1]存在x≠G(t,x),否則,定義有t1∈[0,1],x2∈γM,可令x2∈G(t1,x2),即可表示成x2=t1T(x2)+φy0,因此得

(7)

(8)

所以,φy0?M,那么Deg(N,M,φy0)=0,則

Deg(N-T-φy0,N,ε)=0.

(9)

(10)

引理3若y>1,φ>1,0<ρ<1,則下式成立.

ρ+(1-ρ)yφ>[ρ+(1-ρ)y]φ.

(11)

證明設f(y)=ρ+(1-ρ)yφ-[ρ+(1-ρ)y]φ,那么f(y)為可導函數(shù),存在

f′(y)=φ(1-ρ)yφ-1-φ(1-ρ)[ρ+(1-ρ)y]φ-1

=φ(1-ρ)[yφ-1-(ρ+(1-ρ)y)φ-1]>0.

(12)

由于存在以下形式y(tǒng)-1,1-y<0,ρ(1-y)<0,且0<ρ<1,所以0<ρ+(1-ρ)y=ρ(1-y)+y1.

所以函數(shù)f(y)在[1,+∞]中嚴格單調(diào)增[6],在此情況下,若y>1,f(y)>f(1),f(1)=0,則f(y)>0,也可用如下形式表示

ρ+(1-ρ)yφ>[ρ+(1-ρ)y]φ.

(13)

證明定義Tx≠ηx,?x∈γM,η≥1.

同樣為緊性連續(xù)算子.

要求

接下來驗證εcw(γM),W∈[0,1],定義ε∈cw(γM),則可知W0∈[0,1],x0∈γM,致使

即：ηx0-W0Tx0=ε,那么W0≠0,反之,ηx0=ε,?x0=ε∈γM與ε∈M相斥.

0<ρ<1,φ>1,00.

即

即

(14)

則存在

(15)

ρ+(1-ρ)yφ<[ρ+(1-ρ)y]φ.

(16)

由于W0∈(0,1),η≥1,所以y>1,同時φ>1,0<ρ<1,因此公式(16)和引理3相斥.

(17)

因此,u≠(N-T)(γM),同時Deg(N-T,M,u)=Deg(N-T1,N,u).

證明根據(jù)條件(Z2)可知?t>0,x∈γM時

(18)

即

fx-Tx-u(t)≥f2(x-Tx-u)(t).

(19)

若u∈(N-T)(γM),必定存在x0∈γM,令u=(N-T)x0,即

Tx0=x0-u.

(20)

根據(jù)公式(18)獲取以下形式

fx0-T1x0-u(t)≥f2(x0-Tx0-u)(t).

(21)

結(jié)合公式(20)和(21)得fx0-T1x0-u(t)≥C(t),t>0,因此x0-T1x0=u.由于x0∈γM,則x0-T1x0=u同u?(N-T1)(γM)相斥,那么u?(N-T1)(γM).

假設u∈(N-T1)(γM),則?w0[0,1],x1∈γM,所以得到

u=x1-Tx1-w0(T1x1-Tx1),

(22)

同時令w0≠0,w0≠1,根據(jù)公式(22)得

x1-Tx1-u=w0(T1x1-Tx1).

(23)

結(jié)合(Z2)與公式(23)得

(24)

設置n→∞,則fx1-Tx1-u(t)=C(t),t>0.所以u=x1-Tx1,同時x1∈γM和u?(N-T)(γM)相斥,因此,u?c1(γM),w∈[0,1].基于同倫不變性原理可知Deg(N-T,M,u)=Deg(N-T1,N,u).

(Z3)fTx(t)≥fJx+u(t)，

(25)

(26)

(27)

根據(jù)(Z3)得到

fTx(|J|t)≥fJx+u(|J|t).

(28)

結(jié)合公式(26)、(27)和(28)得到

(29)

(30)

本文提出的三種不同的非線性算子方程各自存在特定特征.定理 1提出的非線性算子方程為左連續(xù)函數(shù),定理 2提出的非線性算子方程為右連續(xù)函數(shù),定理 3提出的非線性算子方程為非減非連續(xù)函數(shù).這三類非線性算子方程為Menger PN空間中典型方程,求取其解的存在性具有代表性.