巧用數(shù)學(xué)圖示 助力幾何直觀
——小學(xué)數(shù)學(xué)圖示的價值新厘定與實(shí)踐新視角

福建莆田市城廂區(qū)文獻(xiàn)小學(xué)（351100）蔡鳳梅

幾何直觀作為十大核心詞之一正式出現(xiàn)在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“2011版課標(biāo)”），其重要地位是毋庸置疑的。新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022版課標(biāo)”）對幾何直觀的界定與表述更為豐富，也更為清晰，表現(xiàn)為：不僅保留了2011版課標(biāo)對幾何直觀是理解數(shù)學(xué)和分析數(shù)學(xué)問題的重要方法的強(qiáng)調(diào)，而且在形成幾何直觀的內(nèi)涵與外延上的要求更明確、更廣泛；不僅明確突出了數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，而且增加了對幾何對象本身的養(yǎng)成要求。關(guān)于作為幾何直觀呈現(xiàn)形式之一的數(shù)學(xué)圖示，2011版課標(biāo)只停留于學(xué)生會用刻度尺和圓規(guī)畫簡單的線段、直線、射線、長方形、正方形和圓等，而2022版課標(biāo)更注重直觀?；谶@樣的認(rèn)知，筆者認(rèn)為理應(yīng)對數(shù)學(xué)圖示的教學(xué)價值進(jìn)行新的厘定，并結(jié)合2022版課標(biāo)的理念探索數(shù)學(xué)圖示教學(xué)的新路徑，致力于讓數(shù)學(xué)圖示助力于學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)，促使學(xué)生的核心素養(yǎng)全面提升。

一、數(shù)學(xué)圖示的教學(xué)價值新厘定

2022版課標(biāo)明確指出：“幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣?！憋@然，幾何直觀指的是通過圖表這種幾何手段達(dá)到直觀之目的，實(shí)現(xiàn)“描述和分析問題”的目標(biāo)。圖表是培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng)的有效媒介，用圖表來表征、描述和分析問題稱之為數(shù)學(xué)圖示，教學(xué)數(shù)學(xué)圖示包括識圖、畫圖與析圖，其價值體現(xiàn)如下。

價值1：數(shù)學(xué)識圖，讓思維有模有樣。

2022版課標(biāo)在第一學(xué)段強(qiáng)調(diào)“形成初步的幾何直觀和應(yīng)用意識”，第二學(xué)段強(qiáng)調(diào)“形成量感、空間觀念和初步的幾何直觀”，第三學(xué)段強(qiáng)調(diào)“形成量感、空間觀念和幾何直觀”，這表明對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)彰顯整體性、階段性與發(fā)展性。不同的學(xué)段，對學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)的“度”是不一樣的?？v觀當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)整套教材的編排體系，第一學(xué)段側(cè)重于讓學(xué)生能從現(xiàn)實(shí)生活情境圖中抽象出簡單的“實(shí)物圖”來表示數(shù)量關(guān)系；第二學(xué)段更多的是編排一些簡單圖片、幾何直觀模型圖；第三學(xué)段則是借助線段圖、集合圖、數(shù)軸等表征數(shù)量關(guān)系。顯然，教材的編排遵循了學(xué)生“表象思維—具象思維—抽象思維”的發(fā)展規(guī)律。教師要引導(dǎo)學(xué)生讀懂教材中的情境圖、實(shí)物圖、幾何圖等，把握圖意，將數(shù)學(xué)圖示轉(zhuǎn)譯為能看得懂的圖示語言，從圖中找到思維的原型支撐。思維有模有樣后，再借助數(shù)學(xué)形象思維這個重要抓手，進(jìn)行圖示與思維的轉(zhuǎn)化，這樣才能為創(chuàng)造性思維提供肥沃的土壤。

價值2：數(shù)學(xué)畫圖，讓思維有條有理。

遇到問題時，學(xué)生很少主動借助畫圖來描述和分析問題，有的學(xué)生甚至認(rèn)為畫圖是一種“負(fù)擔(dān)”。2022版課標(biāo)指出了畫圖的重要價值，還增加了尺規(guī)作圖的內(nèi)容。何謂尺規(guī)作圖呢？就是利用沒有刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖。正所謂“教材未動，理念先行”。2022版課標(biāo)在“圖形與幾何”領(lǐng)域中，分別在第二學(xué)段與第三學(xué)段提到“用直尺和圓規(guī)作給定線段的等長線段，感知線段長度與兩點(diǎn)距離的關(guān)系，增強(qiáng)幾何直觀”“借助直尺和圓規(guī)作圖的方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探索三角形的周長，感知線段長度的可加性，理解三角形的周長，歸納出長方形和正方形周長的計算公式”“經(jīng)歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫三角形的過程，探索三角形任意兩邊之和大于第三條邊，并說出其中的道理”。2022版課標(biāo)實(shí)例中的例29（如圖1），旨在讓學(xué)生從三角形的周長入手，直觀理解圖形周長的概念。在學(xué)生進(jìn)行尺規(guī)作圖之前，教師可以提出“如何將三角形的周長放在同一條直線上”這個核心問題。當(dāng)學(xué)生會調(diào)用自己的知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行尺規(guī)作圖——將三角形ABC的三條邊轉(zhuǎn)化成線段AA′時，教師可以利用直觀圖（如圖2）提問：“為什么線段AA′是三角形ABC的周長？”引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)作圖過程與直觀具象找到各條線段與周長之間的關(guān)聯(lián)，并展開邏輯推理：因?yàn)锳B+BC+CA′=AA′，所以AA′是三角形的周長。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，既然可以從點(diǎn)A開始依次用圓規(guī)標(biāo)出所展開三角形的三條邊，那么還可以從點(diǎn)B依次展開，即BC+CA+AB′=BB′，BB′就是三角形的周長；從點(diǎn)C開始展開三角形的三條邊，那么CA+AB+BC′=CC′，CC′就是三角形的周長。這樣的尺規(guī)作圖活動，能讓學(xué)生直觀感知圖形周長的內(nèi)涵，并在作圖時直觀洞察到圖形的邊展開的位置、順序雖然不同，但總長度是不變的，進(jìn)而深刻領(lǐng)悟線段長度的可加性。

圖1

圖2

顯然，學(xué)生的思維在尺規(guī)作圖過程中有條有理，不斷地由具體直觀轉(zhuǎn)化進(jìn)階為更抽象的空間形式，學(xué)生在發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)的同時，也能有效地訓(xùn)練邏輯思維能力。

價值3：數(shù)學(xué)析圖，讓思維有根有據(jù)。

數(shù)學(xué)識圖是讓學(xué)生形成辨識圖形外在呈現(xiàn)信息的數(shù)學(xué)直覺，讓數(shù)學(xué)思維有一定的直觀模型；數(shù)學(xué)作圖是促使學(xué)生將數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)譯為圖形語言，讓數(shù)學(xué)思維得到有效的訓(xùn)練、進(jìn)階；數(shù)學(xué)析圖則是讓學(xué)生通過直觀的圖形語言進(jìn)行有根有據(jù)的數(shù)學(xué)語言表達(dá)，促使學(xué)生的認(rèn)知從感性層面提升到理性層面。從識圖到作圖，再到析圖，其實(shí)質(zhì)是讓學(xué)生經(jīng)歷從形象思維到動作思維，再到抽象邏輯思維的轉(zhuǎn)變過程。基于這樣的認(rèn)識，教師要善于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光、思維來觀察和分析圖形，從而透過直觀的“外形”洞察到內(nèi)隱其中的數(shù)學(xué)性質(zhì)和規(guī)律的能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)語言與圖形語言的相互轉(zhuǎn)譯，讓學(xué)生能有根有據(jù)地分析圖意，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力、空間觀念等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

二、數(shù)學(xué)圖示的教學(xué)實(shí)踐新視角

1.興趣驅(qū)動：有方向識圖，促進(jìn)學(xué)生直觀感知

一直以來，抽象性強(qiáng)、邏輯性強(qiáng)、枯燥無味等詞似乎成了數(shù)學(xué)的代名詞，顯然，這與教師教學(xué)方法不當(dāng)有關(guān)。正所謂“興趣是最好的老師”“興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要內(nèi)驅(qū)力”，教師只有立足學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，找準(zhǔn)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣點(diǎn)，才能有效消除學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的恐懼與抵觸心理，促使學(xué)生能在一種和諧愉悅的氛圍中輕松地用數(shù)學(xué)的眼光觀察圖示，在直觀感知中找到數(shù)學(xué)信息，從而使得幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)成為可能。

例如，教學(xué)人教版教材二年級上冊“角的初步認(rèn)識”（如圖3）時，教師先用談話的形式激趣：“孩子們，數(shù)學(xué)是我們的好朋友，它一直存在于我們的身邊，今天就到校園里找找我們的好朋友吧！瞧！數(shù)學(xué)在哪里呢？”低年級學(xué)生好奇心強(qiáng)，一下子就會被教師的話語吸引。這時如果沒有指向性明確的引導(dǎo)，很多學(xué)生的注意力就會分散。于是教師指明識圖的方向，繼續(xù)啟發(fā)：“孩子們，看看誰的眼睛最亮，看小機(jī)器人提示了什么？”學(xué)生馬上發(fā)現(xiàn)是“你能找到哪些角？”?！按蠹?guī)托C(jī)器人找一找，這幅圖中有哪些角？比一比，看看誰找得最多最準(zhǔn)確?！苯o小機(jī)器人幫忙激發(fā)了學(xué)生的興趣，加上教師的問題驅(qū)動，學(xué)生便能有方向地開展“找角”活動。這樣的教學(xué)，能讓學(xué)生有方向地進(jìn)行識圖，促使學(xué)生趣味盎然地從生活實(shí)境圖中抽象出幾何圖形，使得幾何直觀素養(yǎng)得以發(fā)展。如果教師沒有進(jìn)行有針對性的點(diǎn)撥與激趣，想象力強(qiáng)但注意力不能持久的低年級學(xué)生會將數(shù)學(xué)課變?yōu)椤翱磮D說話”的語文課，這顯然是“耕了別人的田，而荒了自己的地”。

圖3

2.問題驅(qū)動：有目的作圖，促使學(xué)生直觀理解

孔子曰：“不憤不啟，不悱不發(fā)?！眴l(fā)式教學(xué)，實(shí)質(zhì)就是用問題驅(qū)動學(xué)生思考。然而，當(dāng)前部分?jǐn)?shù)學(xué)課堂還存在兩種極端：一是教師“問得多”，卻很少“問得好”；二是教師“講得多”，卻存在“沒得問”。顯然，“問得多”“沒得問”都無法驅(qū)動學(xué)生積極思考，更不用說深度學(xué)習(xí)了。課堂上一個好的問題就是一座“寶礦”。課堂教學(xué)中應(yīng)盡量避免提淺顯、過于零碎的問題，而應(yīng)設(shè)置指向性明確、富有挑戰(zhàn)性與啟發(fā)性的核心問題，以此激發(fā)學(xué)生的好奇心，激活學(xué)生的高階思維，讓學(xué)生能在“憤悱”之際有目的地通過畫圖來描述和分析問題，驅(qū)動學(xué)生的思維不斷地逼近數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)從“驗(yàn)證式”向“探究式”轉(zhuǎn)換，從而讓深度學(xué)習(xí)發(fā)生，使學(xué)生走向?qū)?shù)學(xué)知識的深度理解。

例如，教學(xué)人教版教材四年級上冊“梯形的認(rèn)識”時，教師通常會先利用教材所編排的幾幅實(shí)物圖逐步抽象出梯形，再用課件展示長方形、平行四邊形、正方形、梯形、不規(guī)則四邊形等多種圖形，最后讓學(xué)生觀察和比較，概括出梯形的概念：只有一組對邊平行的圖形叫作梯形。這樣的課堂教學(xué)看似科學(xué)合理，讓學(xué)生思維經(jīng)歷了“形象—表象—抽象”的過程，然而，在后測中就會發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生對梯形的概念存在“梯形上底短、下底長和兩腰相等”這些非本質(zhì)屬性的錯誤認(rèn)知。顯然，學(xué)生對梯形本質(zhì)屬性的感知與體驗(yàn)并不充分，只是停留于直觀感性認(rèn)知上。基于以上分析，教師應(yīng)關(guān)注變式情境的創(chuàng)設(shè)，對梯形的演示應(yīng)變“教師演示”為“學(xué)生畫圖”（如圖4）。在學(xué)生從實(shí)物圖中抽象出幾何圖（梯形），并給出關(guān)于梯形的描述性概念之后，教師應(yīng)給出一組平行四邊形，并拋出核心問題：“你能根據(jù)梯形的特點(diǎn)給這些平行四邊形分別畫上一條線，讓這些平行四邊形變成兩個梯形嗎？為什么？”在這核心問題的驅(qū)動下，學(xué)生帶著對梯形概念的理解而進(jìn)行有目的的作圖，使得“思考”與“作圖”同在，用概念印證圖形，以畫圖促進(jìn)對梯形概念的理解與建構(gòu)。有了這種多元化的、豐富的感性積累，學(xué)生便對“只有一組對邊平行”有了直觀而清晰的理解，而這一點(diǎn)正是梯形的本質(zhì)屬性。這種在核心問題驅(qū)動下的數(shù)學(xué)作圖，能讓學(xué)生有目的、有思考地學(xué)習(xí)，在動手操作、反思內(nèi)省中剔除概念中的非本質(zhì)屬性，理解并建構(gòu)最本質(zhì)的概念屬性，助推幾何直觀素養(yǎng)的發(fā)展。

圖4

3.任務(wù)驅(qū)動：有針對析圖，促使學(xué)生直觀洞察

傳統(tǒng)的課堂大多是教師單向地進(jìn)行知識的傳輸，學(xué)生被動地接收信息，這種忽視學(xué)生主體地位的課堂是不利于培育具有創(chuàng)新精神的新一代的。數(shù)學(xué)是一門探索性較強(qiáng)的學(xué)科，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要和學(xué)生的學(xué)情，靈活地設(shè)置一些具有目的性的探究任務(wù)，用任務(wù)來驅(qū)動學(xué)生主動積極地參與學(xué)習(xí)，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，使其理解和內(nèi)化數(shù)學(xué)知識。同樣，在學(xué)生畫圖之后，教師不能止步于畫圖本身，還應(yīng)啟發(fā)學(xué)生對所作的圖進(jìn)行分析、推理，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)語言與圖形語言的轉(zhuǎn)譯，通過深層次的析圖過程，促使學(xué)生從直觀感知走向直觀理解，再通過直觀洞察，促使學(xué)生的思維不斷地從淺層走向深刻，實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)階。

例如，教學(xué)人教版教材三年級上冊“倍的認(rèn)識”時，在學(xué)生對“倍”有了初步的感知之后，教師設(shè)置了任務(wù)一：“你還能創(chuàng)造出不一樣的3倍關(guān)系嗎？”學(xué)生給出了不同的畫法（如圖5-1、5-2）。教師還設(shè)置了任務(wù)二：“以小組為單位，說一說各個圖為什么是表示兩個數(shù)的3倍關(guān)系，以及為什么數(shù)量不一樣，表示的卻都是3倍關(guān)系？”正所謂“理越辯越清”，在思辨任務(wù)的驅(qū)動下，有一個小組總結(jié)道：“不管第一行的1份數(shù)是多少，只要第二行里含有3份第一行的數(shù)量，那么就可以說第二行的數(shù)量是第一行的3倍?！庇幸粋€小組說道：“是的，第一行的1份數(shù)可以表示任意數(shù)量的某一物體，只要第二行里含有3份第一行的物體的數(shù)量，那么第二行的數(shù)量就是第一行的3倍。”在指向性明確、針對性強(qiáng)的任務(wù)的驅(qū)動下，透過幾何圖形的直觀，經(jīng)過對圖示的辨析，學(xué)生的洞察力越來越強(qiáng)，從數(shù)學(xué)語言到圖形語言，又從圖形語言到更深刻的數(shù)學(xué)規(guī)律，學(xué)生的思維不斷地從形象直觀走向邏輯抽象，高品質(zhì)地發(fā)展了幾何直觀素養(yǎng)。

圖5 -2

圖5 -1

數(shù)學(xué)之美，不僅僅美在它的“抽象簡約”，更美在它的“直觀多姿”。在2022版課標(biāo)的大背景下，教師要保持與時俱進(jìn)的思想，厘定數(shù)學(xué)圖示的新價值，充分挖掘數(shù)學(xué)圖示對幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的作用，讓學(xué)生能從識圖、畫圖與析圖中，由直觀感性的認(rèn)知提升到具體形象的操作，繼而實(shí)現(xiàn)理性邏輯思維的進(jìn)階，讓核心素養(yǎng)的培養(yǎng)能真正落地。