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    以平均數(shù)的教學(xué)為例談“變教為學(xué)”

    2022-02-22 04:23:58山東菏澤市定陶區(qū)張灣鎮(zhèn)沙山寺小學(xué)274104董金憲
    小學(xué)教學(xué)參考 2022年35期
    關(guān)鍵詞:平均數(shù)平均分衛(wèi)生院

    山東菏澤市定陶區(qū)張灣鎮(zhèn)沙山寺小學(xué)(274104)董金憲

    平均數(shù)屬于統(tǒng)計(jì)與概率這一大分支,如果教學(xué)時(shí)教師拘泥于平均數(shù)的計(jì)算公式,只追求順利計(jì)算出平均數(shù),忽視對(duì)平均數(shù)本源和用途的考究,那么學(xué)生在計(jì)算平均數(shù)時(shí)就會(huì)犯下各種低級(jí)的錯(cuò)誤,即使他們明明對(duì)平均數(shù)的計(jì)算公式爛熟于心,但是由于弄不清算理,還是會(huì)錯(cuò)誤頻出,有時(shí)錯(cuò)了還不知道自己錯(cuò)在哪里。能熟練運(yùn)用平均數(shù)的計(jì)算公式,并不代表對(duì)平均數(shù)的算理融會(huì)貫通了,也不意味著對(duì)平均數(shù)的概念心領(lǐng)神會(huì)。下面筆者以教學(xué)“平均數(shù)”為例,來(lái)說(shuō)明如何設(shè)計(jì)活動(dòng)記錄單。

    一、追溯歷史,正視平均數(shù)

    通過(guò)對(duì)平均數(shù)起源的考證,可以發(fā)現(xiàn),平均數(shù)是用來(lái)估計(jì)大數(shù)的。在一個(gè)印度神話故事中,有一棵參天大樹(shù)長(zhǎng)有茂盛的枝葉,樹(shù)枝粗細(xì)各異。故事的主人公出于好奇,想計(jì)算出每根樹(shù)枝上的葉片數(shù),他想了想,先數(shù)出靠近樹(shù)根的一根纖細(xì)樹(shù)枝上的葉片數(shù),再乘以大樹(shù)樹(shù)枝的數(shù)量,得結(jié)果為2095,第二天人們齊心協(xié)力數(shù)了一下,得出的結(jié)果和這個(gè)主人公估算的結(jié)果差不多。盡管這個(gè)神話故事中沒(méi)有交代清楚主人公如何選擇的樹(shù)枝,但是,可以肯定的是,他必須選擇一根中等粗細(xì)的樹(shù)枝,這樣估算的結(jié)果才不離譜。這選擇樹(shù)枝的過(guò)程和標(biāo)準(zhǔn)就代表著平均數(shù)的思想,因?yàn)樗x的樹(shù)枝必須具有代表性,既不能過(guò)于粗大,又不能過(guò)于纖細(xì),這樣,在求總數(shù)的過(guò)程中,它才能有效平衡各種樹(shù)枝,起到一個(gè)調(diào)劑中和的作用,移多補(bǔ)少。

    這個(gè)與平均數(shù)有關(guān)的神話給我們帶來(lái)啟發(fā),平均數(shù)的學(xué)習(xí)應(yīng)該從估算大數(shù)起步,因此,筆者設(shè)計(jì)了活動(dòng)一,通過(guò)活動(dòng)一讓學(xué)生理解平均數(shù)可以代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。

    【活動(dòng)一】某手機(jī)代工企業(yè)總共有30間廠房,每間廠房的員工人數(shù)分別為42,35,36,43,40,58,

    47,34,39,50,37,42,47,34,39,45,50,48,52,49,47,32,36,45,35,46,47,38,51,46,你能算出該企業(yè)一共有多少員工嗎?和同學(xué)交流一下你的想法。

    活動(dòng)一要求學(xué)生算出代工企業(yè)共有多少員工,也就是讓學(xué)生對(duì)這組數(shù)據(jù)進(jìn)行求和,這種操作和數(shù)樹(shù)葉有著異曲同工之處。由于估算方法本身就是多樣的,再加上學(xué)生的個(gè)體差異和創(chuàng)新力,因此,學(xué)生會(huì)冒出許多不同的解法。

    方法一:將這組數(shù)據(jù)中的兩個(gè)最值(最大值和最小值)相加,再平均分成2份,求出兩個(gè)數(shù)的“中間值”,然后用這個(gè)“中間值”代替組內(nèi)每個(gè)數(shù)據(jù),用這個(gè)數(shù)乘以30。

    方法二:將這組數(shù)據(jù)重新排列,按照從大到小的順序排列,然后找到處于正中間位置的那個(gè)數(shù),再假設(shè)每個(gè)數(shù)都是這個(gè)中位數(shù),用這個(gè)數(shù)乘以30。

    方法三:一一查點(diǎn),看哪個(gè)數(shù)出現(xiàn)的頻次最高,也就是找出重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù),假設(shè)每個(gè)數(shù)都是這個(gè)數(shù),再用這個(gè)數(shù)乘以30。

    方法四:運(yùn)用“四舍五入”法將每個(gè)數(shù)據(jù)看成整十?dāng)?shù),如將“42”看作“40”,將“47”看作“50”,將“34”看作“30”……再求出總和。

    前三種方法都是選取一個(gè)代表整體水平的數(shù)值再算總數(shù),這樣能較為科學(xué)準(zhǔn)確地算出總數(shù),才能有效地估算大數(shù)。雖然有的廠房的員工人數(shù)會(huì)多于或少于這個(gè)選定的數(shù),但是在求和的時(shí)候,會(huì)互相抵消?;顒?dòng)中,學(xué)生通過(guò)自行摸索和創(chuàng)新也生成了統(tǒng)計(jì)與概率中的中位數(shù)、眾數(shù)的前概念。通過(guò)這個(gè)活動(dòng)可以發(fā)現(xiàn),平均數(shù)和估算有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系,并且學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考后提出的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等形式很有說(shuō)服力,將學(xué)習(xí)內(nèi)容與數(shù)學(xué)知識(shí)緊緊捆綁在一起。教師不妨在開(kāi)展完活動(dòng)一后趁熱打鐵講述這個(gè)印度神話故事,讓學(xué)生深思平均數(shù)的內(nèi)涵。

    任何數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生都有原因,平均數(shù)也不例外。其實(shí)計(jì)算平均數(shù)是簡(jiǎn)單的,只需要將各個(gè)數(shù)據(jù)相加,然后除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可,一旦數(shù)據(jù)較多,這樣計(jì)算就非常煩瑣,而且在學(xué)生眼里,平均數(shù)又沒(méi)有什么實(shí)際用處,因此不愿意學(xué)。小學(xué)低年級(jí)階段,學(xué)生接觸的都是具體運(yùn)算,沒(méi)有接觸過(guò)抽象的統(tǒng)計(jì),平均數(shù)其實(shí)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),為了讓學(xué)生更好地接受平均數(shù),并且自覺(jué)運(yùn)用,介紹平均數(shù)的來(lái)由就顯得十分重要。平均數(shù)的功能就蘊(yùn)含在平均數(shù)的來(lái)歷中,因此,要實(shí)現(xiàn)“變教為學(xué)”,就要學(xué)生自主探究,自己去發(fā)現(xiàn)平均數(shù)的用途和優(yōu)勢(shì),例如,讓學(xué)生計(jì)算工廠員工總數(shù),如果估算好平均數(shù),那么計(jì)算就會(huì)十分方便,學(xué)生在多方探究中自己發(fā)現(xiàn)平均數(shù)的優(yōu)勢(shì)。

    二、學(xué)會(huì)計(jì)算,領(lǐng)悟功能

    【活動(dòng)二】(1)人們可以在甲、乙兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院接種新冠疫苗,表1列出了甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院四周接種新冠疫苗的人次,表2列出了乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院三周接種新冠疫苗的人次,你知道哪個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院的周業(yè)務(wù)量較高嗎?(2)乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院在第四周接種新冠疫苗的人次是多少,才能使該衛(wèi)生院平均每周接種新冠疫苗是70人次?和同伴交流一下你是怎么計(jì)算的。

    本次親土狀元選拔賽,是今年該系列大賽的收官之作,吸引了300多名來(lái)自洛川各鄉(xiāng)鎮(zhèn)的蘋果種植能手。他們當(dāng)中,既有像楊華鵬一樣子承父業(yè)的“果二代”,也有自費(fèi)到日本學(xué)習(xí)果樹(shù)管理的“技術(shù)控”,以及在電商平臺(tái)逐漸做強(qiáng)品牌的“網(wǎng)紅果王”。大家一早便帶著自己的得意之作來(lái)到大賽現(xiàn)場(chǎng),個(gè)個(gè)摩拳擦掌,對(duì)親土狀元志在必得。

    表1 甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院四周接種新冠疫苗的人次

    表2 乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院三周接種新冠疫苗的人次

    活動(dòng)二的第(1)問(wèn),第一個(gè)目的在于讓學(xué)生學(xué)習(xí)并掌握平均數(shù)的兩種基本算法,一種是先將所有數(shù)據(jù)加起來(lái),再除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),另一種則是移多補(bǔ)少;第二個(gè)目的在于向?qū)W生傳遞信號(hào)——平均數(shù)可以代表一組數(shù)的整體水平和另一組數(shù)做比較,讓學(xué)生體會(huì)到平均數(shù)的對(duì)比功能。學(xué)生經(jīng)過(guò)研究和思考就會(huì)發(fā)現(xiàn),此時(shí)用接種新冠疫苗的總?cè)舜伪容^兩個(gè)衛(wèi)生院的業(yè)務(wù)量不公平,也不科學(xué),因此會(huì)想出如下方法。

    方法一:分別算出甲、乙兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院接種新冠疫苗的總?cè)舜?,再除以?duì)應(yīng)的周數(shù),就可以得出每個(gè)衛(wèi)生院每周接種人次,也就是周業(yè)務(wù)量。

    方法二:把甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院第一周的10人次轉(zhuǎn)移到第二周,把第四周的20人次轉(zhuǎn)移到第三周,此時(shí)每周接種人次相等。把乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院第一周的30人次轉(zhuǎn)移到第二周,此時(shí)每周的接種人次也會(huì)相等。最后用兩個(gè)數(shù)進(jìn)行比較。

    活動(dòng)二的第(2)問(wèn)是這樣設(shè)計(jì)的,已知四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和它們中的三個(gè)數(shù)據(jù),據(jù)此推算第四個(gè)數(shù)據(jù)。這是通過(guò)已知平均數(shù)逆向求解未知數(shù)據(jù),這種逆向出題思路,考查的就是學(xué)生對(duì)平均數(shù)的通盤考慮能力。學(xué)生可能會(huì)想出如下方法。

    方法一:四周平均每周接種新冠疫苗70人次,據(jù)此就可以逆向求出四周接種新冠疫苗的總?cè)舜?,再減去前三周接種新冠疫苗的人次。

    方法二:第一周接種新冠疫苗的較多,把其中30人次轉(zhuǎn)移到第二周,則前三周都接種新冠疫苗60人次,要使平均每周接種新冠疫苗70人次,這樣就還差30人次,再加上第四周接種新冠疫苗的70人次,得出第四周接種新冠疫苗的人次要達(dá)到100才可以。

    方法三:把第一周中的10人次轉(zhuǎn)移到第二周,再把第一周的10人次轉(zhuǎn)移到第三周,這樣前三周接種新冠疫苗的人次分別是70,40,70,那么,用第二周差的30人次再加上第四周需要達(dá)到的70人次,答案是100人次。

    方法四:第一周保留30人次,把60人次都轉(zhuǎn)移到第四周,這樣,這四周距離要求的70人次,分別差了40人次、40人次、10人次、10人次,40+40+10+10=100,答案同樣是100人次。

    平均數(shù)算法的逆向倒推和移多補(bǔ)少的基本思想方法均可以破解這道題。方法二、三、四都是運(yùn)用的移多補(bǔ)少的方法,區(qū)別是基準(zhǔn)不同,它們分別以60,70,30為基準(zhǔn)。當(dāng)然,方法還有很多,但是都要經(jīng)過(guò)深入思考才能得出。

    設(shè)計(jì)的活動(dòng)二并未直接要求學(xué)生計(jì)算平均數(shù),而是通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境告訴學(xué)生,平均數(shù)可以反映兩組數(shù)據(jù)的整體水平,要想比較出兩組數(shù)據(jù)的高低,就必須用平均數(shù)加以確認(rèn)。求平均數(shù)的本質(zhì)實(shí)際上是移多補(bǔ)少,實(shí)際計(jì)算時(shí),也可以運(yùn)用移多補(bǔ)少的辦法,而且怎么“移”、怎么“補(bǔ)”也存在方法的多樣性,學(xué)生在經(jīng)歷活動(dòng)二各種各樣的“移花接木”后,就能掌握計(jì)算平均數(shù)的表象,這些寶貴的經(jīng)歷會(huì)促使學(xué)生在每次計(jì)算平均數(shù)時(shí),都能熟練運(yùn)用平均數(shù)的內(nèi)在規(guī)律。

    三、聯(lián)系舊知,對(duì)比辨析

    完成上述兩個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)后,學(xué)生對(duì)平均數(shù)有了細(xì)致的了解,此時(shí),受知識(shí)遷移的影響,學(xué)生極有可能將“平均數(shù)”和“平均分”混淆。

    “除法的初步認(rèn)識(shí)”對(duì)平均分有著明確的定義,將總數(shù)分成每份一樣多的若干份,平均分是一種結(jié)果一定的分配方案,而不是方法,無(wú)論采用哪種分法,最終的結(jié)果是一樣的,而且無(wú)論初次分配如何混亂,通過(guò)移多補(bǔ)少都可以達(dá)成平均分的目的,計(jì)算出的結(jié)果是實(shí)際操作后的客觀事實(shí),或者說(shuō)是可以預(yù)見(jiàn)的事實(shí)。

    而平均數(shù)則是一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念,它在現(xiàn)實(shí)生活中未必對(duì)應(yīng)著分配的結(jié)果和操作,甚至不具備可操作性。學(xué)生學(xué)習(xí)平均數(shù)之前已經(jīng)學(xué)過(guò)平均分,平均分是“物品總數(shù)÷分的份數(shù)=每份數(shù)”,例如,甲有某上市公司3萬(wàn)股股票,乙有該上市公司5萬(wàn)股股票,一共有8萬(wàn)股股票,如果平均分,則甲、乙各得到4萬(wàn)股。而平均數(shù)的計(jì)算公式為“數(shù)據(jù)總和÷個(gè)數(shù)=平均數(shù)”。

    活動(dòng)三可以進(jìn)一步深化平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)概念。

    【活動(dòng)三】有調(diào)查報(bào)告稱:“放開(kāi)三胎后,甲市每對(duì)夫妻平均生育2.5個(gè)子女;同期的國(guó)外某城市則是平均2.5人生育1個(gè)子女。”請(qǐng)你想一想,其中的“2.5人”是什么意思?

    通過(guò)學(xué)生的回答可知,在他們心目中,“0.5”是未成年人,“2.5人”表示兩個(gè)成人和一個(gè)未成年人。出現(xiàn)這樣令人啼笑皆非的答案,表明學(xué)生還沒(méi)有對(duì)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)概念有深刻印象。半個(gè)人是不存在的,當(dāng)A對(duì)夫妻育有2個(gè)子女,B對(duì)夫妻育有3個(gè)子女,平均每對(duì)夫妻就育有“2.5個(gè)子女”。以上報(bào)道可以理解為“甲市每?jī)蓪?duì)夫妻加起來(lái)育有5個(gè)子女”和“同時(shí)期國(guó)外某城市平均5人就育有2個(gè)子女”。教師可以繼續(xù)問(wèn)“每名學(xué)生平均每天閱讀1.5小時(shí)”中的“1.5小時(shí)”作何解,此處的“1.5小時(shí)”則是一個(gè)具體量。教師要引導(dǎo)學(xué)生理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義與實(shí)際意義的聯(lián)系與區(qū)別。

    平均數(shù)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念,其數(shù)值在具體情境中也沒(méi)有正式的“身份”,因此,要將其與平均分概念徹底區(qū)分開(kāi),平均分中的每個(gè)數(shù)字都是實(shí)指,而平均數(shù)則是虛構(gòu)的,如生育率統(tǒng)計(jì)中的“2.5人”就是虛指,因?yàn)椴淮嬖诎雮€(gè)人這一說(shuō),而到了統(tǒng)計(jì)中,它又是合理的,此處的0.5是移多補(bǔ)少造成的結(jié)果,只要將所有“0.5”合起來(lái),會(huì)得到一個(gè)整數(shù)。平均數(shù)的虛擬性還體現(xiàn)在不可操作性,如7天的平均氣溫可以進(jìn)行理論計(jì)算,但是人們無(wú)法將7天的氣溫疊加到一塊,然后平均分成7份,也不可能將今天的氣溫轉(zhuǎn)移3℃到昨天。但是,如果換成是7個(gè)人摘蘋果,平均每人摘得的蘋果數(shù)卻可以“操作”出來(lái)——先將所有蘋果收集起來(lái),然后平均分給7個(gè)人。

    “變教為學(xué)”中強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)內(nèi)容要“實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)”,指的是課程既要體現(xiàn)知識(shí),又要反映生活,因此,最后設(shè)計(jì)活動(dòng)四,讓學(xué)生在生活中處處看到平均數(shù)的身影。

    【活動(dòng)四】說(shuō)說(shuō)你在生活中的哪些地方見(jiàn)過(guò)平均數(shù)?

    活動(dòng)四的問(wèn)題很開(kāi)放,待學(xué)生舉例后,教師可以繼續(xù)補(bǔ)充完善相關(guān)知識(shí)。

    “變教為學(xué)”要求學(xué)習(xí)內(nèi)容凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)、滲透數(shù)學(xué)文化、實(shí)現(xiàn)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)。因此,對(duì)“平均數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)首先要突出平均數(shù)的本質(zhì)——選擇中間值估計(jì)大數(shù);其次,需要滲透平均數(shù)的文化,回顧平均數(shù)的發(fā)展史;最后,把平均數(shù)與學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)、學(xué)會(huì)的平均分聯(lián)系起來(lái),對(duì)照辨析,弄清平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)功能與統(tǒng)計(jì)特性。

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