二項(xiàng)式問(wèn)題解法探究

廖永福

(福建省廈門(mén)第二中學(xué))

二項(xiàng)式定理是乘法公式的推廣，是排列組合的應(yīng)用，也是學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及其分布的基礎(chǔ).高考中二項(xiàng)式定理的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度基礎(chǔ)或中等，主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面:1)應(yīng)用通項(xiàng)公式;2)應(yīng)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì);3)應(yīng)用二項(xiàng)式定理;4)應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想.

1 應(yīng)用通項(xiàng)公式

(a＋b)n的通項(xiàng) 公式是Tk＋1＝(其 中k≤n，k∈N，n∈N*)，凡涉及二項(xiàng)展開(kāi)式的項(xiàng)或系數(shù)的問(wèn)題，均可考慮用通項(xiàng)公式求解.

1.1 求特定項(xiàng)

例1(2019年浙江卷13)在二項(xiàng)式(2＋x)9的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是________，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是_________.

分析寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，根據(jù)常數(shù)項(xiàng)、系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的要求即可作答.

解二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為

當(dāng)k＝0時(shí)，得常數(shù)項(xiàng)

當(dāng)k＝1，3，5，7，9時(shí)，系數(shù)為有理數(shù)，所以系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是5.

點(diǎn)評(píng)

本題屬于基礎(chǔ)題，主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)的求法，解題關(guān)鍵在于熟練掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，熟悉常數(shù)項(xiàng)和系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的特點(diǎn).

變式(2020年全國(guó)Ⅲ卷理14)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是_________(用數(shù)字作答).

答案240.

1.2 求特定項(xiàng)的系數(shù)

例2(2018年全國(guó)Ⅲ卷理5)的展開(kāi)式中x4的系數(shù)為( ).

A.10 B.20 C.40 D.80

分析利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.

解的展開(kāi)式的通項(xiàng)為

由10－3k＝4，得k＝2，所以的展開(kāi)式中x4的系數(shù)為故選C.

點(diǎn)評(píng)

本題屬于基礎(chǔ)題，主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)的系數(shù)的求法，解題關(guān)鍵在于熟練掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式.

變式(2018年天津卷理10)在的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為_(kāi)________.

答案

1.3 已知特定項(xiàng)或特定項(xiàng)之間的關(guān)系，求參數(shù)的值

例3設(shè)a∈R，若的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)相等，則a＝________.

分析分別求出兩個(gè)二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)，再列方程即可求出a.

解的展開(kāi)式的通項(xiàng)為

由18－3k＝0，得k＝6，所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為的展開(kāi)式的通項(xiàng)為

由9－3r＝0，得r＝3，所以的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為解得a＝4.

點(diǎn)評(píng)

本題屬于中檔題，主要考查已知兩個(gè)二項(xiàng)式特定項(xiàng)之間的關(guān)系求參數(shù)，解題關(guān)鍵在于熟練掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，并熟悉特定項(xiàng)的特點(diǎn).

變式(2017年山東卷理11)已知(1＋3x)n的展開(kāi)式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是54，則n＝________.

答案4.

2 應(yīng)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

凡涉及二項(xiàng)式系數(shù)的問(wèn)題，均可考慮應(yīng)用性質(zhì)求解.(a＋b)n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì).

例4(2016年上海卷理8)在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項(xiàng)等于_________.

分析根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(3)可求n，再用通項(xiàng)公式可求常數(shù)項(xiàng).

解在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，因?yàn)樗械亩?xiàng)式系數(shù)之和為256，所以2n＝256，解得n＝8.所以得k＝2，所以常數(shù)項(xiàng)為

點(diǎn)評(píng)

本題屬于中檔題，主要考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，解題關(guān)鍵在于熟練掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).

例5(2013年全國(guó)Ⅰ卷理9)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m＝( ).

A.5 B.6 C.7 D.8

分析根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得a和b，再利用組合數(shù)的計(jì)算公式，解方程求得m的值.

解m為正整數(shù)，由(x＋y)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(2)，可得a＝.同理，由(x＋y)2m＋1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，可得

因?yàn)?3a＝7b，所以，即

化簡(jiǎn)得13(m＋1)＝7(2m＋1)，解得m＝6.故選B.

點(diǎn)評(píng)

本題屬于中檔題，主要考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和組合數(shù)的計(jì)算公式，解題關(guān)鍵在于熟練掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).

變式(2015年湖北卷理3)已知(1＋x)n的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為( ).

A.212B.211C.210D.29

答案D.

3 應(yīng)用二項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式定理為(a＋b)n＝＋＋…＋＋…＋，n∈N*.對(duì)于一些次數(shù)較小的二項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題，可直接應(yīng)用二項(xiàng)式定理展開(kāi)再求解.

例6(2020年浙江卷12)二項(xiàng)展開(kāi)式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a4＝_________，a1＋a3＋a5＝_________.

分析直接利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)(1＋2x)5，可得a1，a3，a4，a5，或用通項(xiàng)公式直接求a4，再令x＝±1，聯(lián)立方程組求出a1＋a3＋a5的值.

解 法1由(1＋2x)5＝＋(2x)1＋(2x)2＋(2x)3＋C45(2x)4＋C55(2x)5＝1＋10x＋40x2＋80x3＋80x4＋32x5，得a1＝10，a3＝80，a4＝80，a5＝32，所以a1＋a3＋a5＝10＋80＋32＝122.

解法2由題意得a4＝C4524＝80.

當(dāng)x＝1時(shí)，有

當(dāng)x＝－1時(shí)，有

①－②，得2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244，所以a1＋a3＋a5＝122.

點(diǎn)評(píng)

本題屬于中檔題，主要考查二項(xiàng)式定理和多項(xiàng)式性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握二項(xiàng)式定理和多項(xiàng)式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例7(2019年江蘇卷22)設(shè)(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*.已 知＝2a2a4.

(1)求n的值;

分析(1)應(yīng)用二項(xiàng)式定理展開(kāi)(1＋x)n，可得a2，a3，a4，再根據(jù)＝2a2a4列方程求n.(2)應(yīng)用二項(xiàng)式定理展開(kāi)(1＋)n，對(duì)照可得a，b，進(jìn)而求出a2－3b2的值.注意到a，b∈N*，故由再將兩式相乘即可.

點(diǎn)評(píng)

本題屬于中檔題，主要考查二項(xiàng)式定理和組合數(shù)公式的運(yùn)用，熟練掌握二項(xiàng)式定理是解題的關(guān)鍵.

變式(2021年浙江卷13)已知多項(xiàng)式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，則a1＝_________，a2＋a3＋a4＝.

答案5，10.

4 應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想

遇到比較復(fù)雜的二項(xiàng)式問(wèn)題，可先設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為上述常規(guī)的二項(xiàng)式問(wèn)題，再應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.

4.1 兩個(gè)二項(xiàng)式的積的問(wèn)題

例8(2020年全國(guó)Ⅰ卷理的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為( ).

A.5 B.10 C.15 D.20

分析因?yàn)榈恼归_(kāi)式

因 為(x＋y)5的 通 項(xiàng) 公 式 為(k∈N且k≤5)，所以的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為C35＋C15＝10＋5＝15.故選C.

點(diǎn)評(píng)

本題屬于中檔題，主要考查二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

變式(2019年全國(guó)Ⅲ卷理4)(1＋2x2)(1＋x)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為( ).

A.12 B.16 C.20 D.24

答案A.

4.2 三項(xiàng)式問(wèn)題

例9(2015年全國(guó)Ⅰ卷理10)(x2＋x＋y)5的展開(kāi)式中，x5y2的系數(shù)為( ).

A.10 B.20 C.30 D.60

分析把x2＋x看作一個(gè)整體，可以利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求解，也可以利用組合數(shù)原理求解.

解(x2＋x＋y)5的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為

令k＝2，則(x2＋x)3的通項(xiàng)為Cr3(x2)3－rxr＝Cr3x6－r(r∈N，r≤3).

令6－r＝5，則r＝1，所以(x2＋x＋y)5的展開(kāi)式中，x5y2的系數(shù)為C25C13＝30.故選C.

點(diǎn)評(píng)

本題屬于中檔題，主要考查二項(xiàng)式定理和組合數(shù)原理的運(yùn)用，將三項(xiàng)式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

變式(2015年上海卷理11)在的展開(kāi)式中，x2項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)________(結(jié)果用數(shù)值表示).

答案45.中x3y3的系數(shù)之和即為所求.

解