概率模塊章節(jié)小測(cè)

鄧超群 張國(guó)雯

(湖北省襄陽市第三中學(xué))

(本試卷共22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘)

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)

2.某班有50名學(xué)生，其中有45名學(xué)生喜歡乒乓球或羽毛球，32名學(xué)生喜歡乒乓球，26名學(xué)生喜歡羽毛球，則該班既喜歡乒乓球又喜歡羽毛球的學(xué)生數(shù)占該班學(xué)生總數(shù)的比例是( ).

A.38% B.26% C.19% D.15%

3.已知隨機(jī)變量X的概率分布為其中a是常數(shù)，則P(0≤X＜2)的值等于( ).

4.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時(shí)，均從一葉跳到另一葉)，而且逆時(shí)針方向跳的概率是順時(shí)針方向跳的概率的兩倍，如圖所示.假設(shè)現(xiàn)在青蛙在荷葉A上，則跳三次之后停在荷葉A上的概率是( ).

A.σ1＝σ2＞σ3

B.μ1＞μ3

C.μ1＝μ2

D.σ2＜σ3

6.饕餮紋是青銅器上常見的花紋之一，最早見于長(zhǎng)江中下游地區(qū)的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期.將青銅器中的饕餮紋的一部分畫到方格紙上，如圖所示，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度，有一點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，且向右或向下跳是等可能的，那么點(diǎn)P經(jīng)過3次跳動(dòng)后恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)B的概率為( ).

7.七巧板，又稱七巧圖、智慧板，是中國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì)，到了明代基本定型，于明、清兩代在民間廣泛流傳.某同學(xué)用邊長(zhǎng)為4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如圖所示，包括5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形.若該同學(xué)從5個(gè)三角形中任取出2個(gè)，則這2個(gè)三角形的面積之和不小于另外3個(gè)三角形面積之和的概率是( ).

8.為了提升學(xué)生身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉.?；@球隊(duì)某位運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)行投籃練習(xí).若他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為若他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為若他第1球投進(jìn)的概率為則他第2球投進(jìn)的概率為( ).

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.)

9.設(shè)0＜p＜1，已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表，則下列結(jié)論正確的是( ).

ξ 0 1 2 P p－p2 p2 1－p

10.甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出1個(gè)球，以B表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是( ).

11.2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計(jì)劃去老年公寓參加志愿者活動(dòng).小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說法正確的是( ).

A.小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條

B.小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條

C.小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率為

D.小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人約定在老年公寓門口匯合，事件A:小明經(jīng)過F;事件B:從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分(路口除外)，則

12.近年來中國(guó)進(jìn)入一個(gè)鮮花消費(fèi)的增長(zhǎng)期，某農(nóng)戶利用精準(zhǔn)扶貧政策承包了一個(gè)新型溫室鮮花大棚，種植銷售紅玫瑰和白玫瑰.若這個(gè)大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別服從正態(tài)分布N(μ，302)和N(280，402)，則下列選項(xiàng)正確的是( )(附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.6826).

A.若紅玫瑰日銷售量范圍在(μ－30，280)的概率是0.6826，則紅玫瑰日銷售量的平均數(shù)約為250

B.白玫瑰日銷售量比紅玫瑰日銷售量更集中

C.紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中

D.白玫瑰日銷售量范圍在(280，320)的概率約為0.3413

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.)

14.天氣預(yù)報(bào)說，在接下來的一個(gè)星期里，每天漲潮的概率為20%，設(shè)計(jì)一個(gè)符合要求的模擬試驗(yàn):利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1，2表示漲潮，用其他數(shù)字表示不漲潮，這樣體現(xiàn)了漲潮的概率是20%，因?yàn)闀r(shí)間是一周，所以每7個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，假設(shè)產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)如下，則下個(gè)星期恰有2天漲潮的概率為_________.

16.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是________.

四、解答題(本題共6小題，共計(jì)70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(10分)如圖所示，周長(zhǎng)為3cm圓形導(dǎo)軌上有三個(gè)等分點(diǎn)A，B，C，在點(diǎn)A處放一顆

珠子，珠子只能沿導(dǎo)軌順時(shí)針滾動(dòng).現(xiàn)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子.每當(dāng)擲出3的倍數(shù)時(shí)，珠子滾動(dòng)2cm后停止，每當(dāng)擲出不是3的倍數(shù)時(shí)，珠子滾動(dòng)1cm后停止.

(1)求珠子恰好滾動(dòng)一周后回到點(diǎn)A的概率;

(2)求珠子恰好滾動(dòng)兩周后回到點(diǎn)A(中途不在點(diǎn)A停留)的概率.

18.(12分)計(jì)算機(jī)考試分理論考試與實(shí)際操作兩部分，每部分考試成績(jī)只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計(jì)算機(jī)考試“合格”，并頒發(fā)合格證書.甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為在實(shí)際操作考試中“合格”的概率依次為，所有考試是否合格相互之間沒有影響.

(1)假設(shè)甲、乙、丙三人同時(shí)進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試，誰獲得合格證書的可能性最大?

(2)這三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率.19.(12分)某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉).

(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);

(2)若幸福度不低于9.2，稱該人的幸福度為“極幸?！?求從這16人中 隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕?

(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記ξ表示抽到“極幸福”的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.

20.(12分)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值m衡量，并按照質(zhì)量指標(biāo)值m劃分等級(jí)如下表.

質(zhì)量指標(biāo)值m m＜85 85≤m＜105 m≥105等級(jí) 三等品 二等品 一等品

現(xiàn)在從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了200件作為樣本，檢驗(yàn)其質(zhì)量指標(biāo)值m，得到的頻率分布直方圖如圖所示(每組只含最小值，不含最大值).

(1)求第75百分位數(shù)(精確到0.1);

(2)在樣本中，按照產(chǎn)品等級(jí)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取8件產(chǎn)品，求這8件產(chǎn)品中，一等品的件數(shù);

(3)將頻率視為概率，已知該企業(yè)的這種產(chǎn)品中每件一等品的利潤(rùn)是10元，每件二等品和三等品的利潤(rùn)都是6元，試估計(jì)該企業(yè)銷售600件這種產(chǎn)品所獲利潤(rùn).

21.(12分)直播帶貨是扶貧助農(nóng)的一種新模式，這種模式是利用主流媒體的公信力，聚合銷售主播的力量助力打通農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)銷鏈條，切實(shí)助力貧困地區(qū)農(nóng)民脫貧增收.某貧困地區(qū)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，2020年該地利用網(wǎng)絡(luò)直播形式銷售農(nóng)產(chǎn)品的銷售主播年齡等級(jí)分布如圖甲所示，一周內(nèi)使用直播銷售的頻率分布扇形圖如圖乙所示.若將銷售主播按照年齡分為“年輕人”(20歲～39歲)和“非年輕人”(19歲及以下或者40歲及以上)兩類，將一周內(nèi)使用的次數(shù)為6次或6次以上的稱為“經(jīng)常使用直播銷售用戶”，使用次數(shù)為5次或不足5次的稱為“不常使用直播銷售用戶”，則“經(jīng)常使用直播銷售用戶”中有是“年輕人”.

(1)現(xiàn)對(duì)該地相關(guān)居民進(jìn)行“經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡關(guān)系”的調(diào)查，采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為200的樣本，請(qǐng)你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有85%的把握認(rèn)為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡有關(guān);

年輕人 非年輕人 合計(jì)經(jīng)常使用直播銷售用戶不常使用直播銷售用戶合計(jì)

(2)某投資公司在2021年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“銷售該地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品”的項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩種銷售方案供選擇:

方案一:線下銷售.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，利用傳統(tǒng)的線下銷售，到年底可能獲利30%，可能虧損15%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為

方案二:線上直播銷售.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，利用線上直播銷售，到年底可能獲利50%，可能虧損30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為

針對(duì)以上兩種銷售方案，請(qǐng)你從期望和方差的角度為投資公司選擇一個(gè)合理的方案，并說明理由.

參考數(shù)據(jù):獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表如下.

P(K2≥k0)0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635

22.(12分)甲、乙、丙、丁4名辯手進(jìn)行辯論比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號(hào)為i的方框表示第i場(chǎng)比賽，方框中是進(jìn)行該場(chǎng)比賽的兩名辯手，第i場(chǎng)比賽的勝者稱為“勝者i”，負(fù)者稱為“負(fù)者i”，第6場(chǎng)為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場(chǎng)比賽獲勝的概率均為而乙、丙、丁相互之間勝負(fù)的可能性相同.

(1)求甲獲得冠軍的概率;

(2)求乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對(duì)手是第二次相遇的概率.