品高考真題 察命題趨勢
——高考中的二項式定理

顏亞新 張 琥

(1.江蘇蘇州吳江中學 2.北京外國語大學附屬蘇州灣外國語學校)

研究高考真題就如同和命題人對話，真題是備考必不可少的參考資料，當我們真正把這些試題研究通透，臨考時對試卷就不會有陌生感，并會觸類旁通.

從近幾年的高考試題來看，二項式定理是高考?？純?nèi)容，且都是以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，側(cè)重考查二項式定理的基礎(chǔ)知識和學生的數(shù)學運算能力，考查內(nèi)容主要是求二項展開式的通項、二項式系數(shù)和二項展開式中的項的系數(shù)等基礎(chǔ)問題.

1 核心知識概覽

1.1 二項式定理及有關(guān)概念

2)二項展開式的通項公式:Tr＋1＝，它表示展開式中的第r＋1項.

1.2 二項式系數(shù)的性質(zhì)

1)對稱性:在二項展開式中與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即

3)最大值:

a)當n為偶數(shù)時，中間一項(第項)的二項式系數(shù)最大，最大值為-;

b)當n為奇數(shù)時，中間兩項項)的二項式系數(shù)相等且最大，最大值為

4)二項式系數(shù)的和:二項式(a＋b)n展開式的二項式系數(shù)和為2n，即奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和，即

2 高考是怎么考的?

2.1 求二項展開式中的特定項或特定項的系數(shù)

對于求特定項或特定項的系數(shù)問題，關(guān)鍵是要能靈活運用展開式的通項公式，且要與排列組合知識結(jié)合起來，解題時要細心運算.

例1(2021年北京卷11)(x3－的展開式中常數(shù)項為_________.

解析

(x3－展開式的通項為

令12－4r＝0，得r＝3，所以常數(shù)項為

例2(2021年天津卷11)在的展開式中，x6的 系數(shù)是_________(用____數(shù)字作答).

解析

(2x3＋)6展開式的第r＋1項為

令18－4r＝6，得r＝3，所以

所以x6的系數(shù)是160.

例3(2020年全國Ⅲ卷理14)(x2＋)6的展

開式中常數(shù)項是(用數(shù)字作答).

解析

令12－3r＝0，得r＝4，所以展開式的常數(shù)項是×24＝15×16＝240.

點評

求形如(a＋b)n(n∈N*)展開式中的特定項或與其相關(guān)的量:第一步，利用二項式定理寫出二項展開式的通項Tr＋1＝，通常把字母和系數(shù)分開(注意“±”號不要寫錯);第二步，根據(jù)題設(shè)條件(如常數(shù)項要求指數(shù)為零，有理項要求指數(shù)為整數(shù)等)先列出相應方程(組)或不等式(組)，再求出r的值;第三步，把r的值代入通項中，即可求出Tr＋1＝，有時還需要先求n，再求r，最后求出Tr＋1＝或其他量.

例4(2020年全國Ⅰ卷理8)

的展開式中x3y3的系數(shù)為( ).

A.5 B.10 C.15 D.20

解析

因為(x＋y)5展 開 式 的 通 項 為Tr＋1＝

的每一項與(x＋y)5展開式的通項的乘積可表示為

和

在xTr＋1＝中，令r＝3，可 得xT4＝，該 項 中x3y3的 系 數(shù) 為10.在中，令r＝1，可得，該項中x3y3的系數(shù)為5，所以x3y3的系數(shù)為10＋5＝15.故選C.

例5(2019年全國Ⅲ卷理4)(1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為( ).

A.12 B.16 C.20 D.24

解析

(1＋x)4展開式中的第r＋1項為Tr＋1＝得T2＝C14x＝4x，所以(1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的項是1×4x3＋2x2×4x＝12x3，即x3的系數(shù)是12，故選A.

點評

求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式中的特定項或其相關(guān)的量:第一步，利用二項式定理把(a＋b)m與(c＋d)n分別展開，并寫出其通項公式;第二步，根據(jù)特定項的次數(shù)，分析特定項是由(a＋b)m與(c＋d)n的展開式中哪些項相乘得到的;第三步，把相乘后得到的項合并，即得所求特定項或相關(guān)量.

2.2 求三項展開式中的特定項或特定項的系數(shù)

例6(2015年全國Ⅰ卷理10)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為( ).

A.10 B.20 C.30 D.60

解析

在(x2＋x＋y)5的5個因式中，2個因式中取x2，剩余的3個因式中，1個取x，其余因式取y，故x5y2的系數(shù)為＝30.故選C.

例7三項式(x2＋3x＋2)5的展開式中，含x的一次項的系數(shù)是_________.

解析

方法1(x2＋3x＋2)5＝[(x2＋2)＋3x]5，

其展開式 的 第r＋1項 為Tr＋1＝Cr5(x2＋2)5－r(3x)r，又(x2＋2)5－r的 第k＋1項 為Tk＋1＝Ck5－r(x2)5－r－k2k，所以

由題意，得10－r－2k＝1，即r＝9－2k，又0≤r≤5，0≤k≤5－r，r∈N*，k∈N*，所以r＝1，k＝故(x2＋3x＋2)5的展開式中，含x的一次項的系數(shù)是240.

方法2因 為(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5·展開式中含x的一次項為展開式中含x的一次項的系數(shù)是240.

點評

求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展開式中的特定項或其相關(guān)的量:如果可以因式分解，則將三項式分解成兩個二項式之積的形式，就可以用2.1的方法求解.如果不能進行因式分解，可將三項式分成兩組，利用二項式定理展開，再把其中含兩項的一組展開，具體步驟:第一步，把三項的和a＋b＋c看成a＋b與c兩項的和;第二步，根據(jù)二項式定理寫出[(a＋b)＋c]n展開式的通項Tr＋1＝Crn(a＋b)n－rcr;第三步，對特定項的次數(shù)進行分析，弄清楚特定項是由(a＋b)n－r展開式中哪些項與cr相乘得到的;第四步，把相乘后得到的項合并，即得所求特定項或相關(guān)量.此外，還可以用組合知識，把三項式(a＋b＋c)n(n∈N*)看成n個a＋b＋c的積，然后利用組合知識求解.

2.3 二項式系數(shù)與二項展開式中項的系數(shù)

區(qū)別二項式系數(shù)與二項展開式中項的系數(shù)是解此類題的關(guān)鍵.二項式系數(shù)是固定的，僅與展開式的通項有關(guān)，而二項展開式中項的系數(shù)包含二項式系數(shù)，還有“±”號等，特殊情況下，二項式系數(shù)與二項展開式中項的系數(shù)是相等的.

例8(2021年浙江卷13)已知多項式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，則a1＝

解析

方法1由題意知，a1就是展開式中x3項的系數(shù)，所以a1＝C03(－1)0＋C14＝5.令x＝1，則有1＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1－1)3＋(1＋1)4＝16，所以a2＋a3＋a4＝16－5－1＝10.

方法2由楊輝三角可知(x－1)3＝x3－3x2＋3x－1，(x＋1)4＝x4＋4x3＋6x2＋4x＋1，所以由(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，得a1＝1＋4＝5，a2＝－3＋6＝3，a3＝3＋4＝7，a4＝－1＋1＝0，故a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.

例9已知二項式(x＋a)5的展開式中，x2的系數(shù)為80，則a＝.

解析

設(shè)二項式(x＋a)5展開式中的第r＋1項為Tr＋1＝，由已知得5－r＝2，則r＝3，所以＝80，解得a＝2.

點評

對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展開式中的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可;對形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展開式中的各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可.同樣，求系數(shù)之差時，只需根據(jù)題設(shè)，令x＝1，y＝－1或x＝－1，y＝1即可.具體賦值方法，要根據(jù)所求和式或差式的特征找規(guī)律進行賦值.

2.4 與二項展開式中的系數(shù)有關(guān)的最值問題

例10已知(1＋x)n的展開式中，只有x3的系數(shù)最大，則(1＋x)n的系數(shù)和為________.

解析

例11(2013年全國Ⅰ卷理9)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m＝( ).

A.5 B.6 C.7 D.8

解析

點評

求解二項式系數(shù)或展開式中項的系數(shù)的最值問題，首先要弄清楚所求的是“展開式中項的系數(shù)最大值”還是“二項式系數(shù)最大值”.若是求二項式系數(shù)的最大值，則根據(jù)(a＋b)n中n的奇偶性及二項式系數(shù)的性質(zhì)求解;若是求展開式中項的系數(shù)的最大值，設(shè)展開式各項的系數(shù)分別為A1，A2，A3，…，Ak＋1，且第k項系數(shù)最大.在系數(shù)均為正值的前提下，求展開式中項的系數(shù)的最大值，只需解不等式組即可.

3 今后還可能考什么?

通過對近幾年高考試題的分析與研究，我們不難看出，高考中主要考查二項式定理的基礎(chǔ)知識和基本運算，沒有難題.因為二項式定理的應用比較廣泛，今后的高考中除了出現(xiàn)上述列舉的?？碱}型之外，還會用以下形式來考查二項式定理的有關(guān)知識.

3.1 二項式定理的逆用

例12

解析

3.2 整除性問題和求余數(shù)問題

例13求證:32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.

證明32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝

因為上式中的各項都含有82，所以32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.

例149192除以100的余數(shù)為_________;0.9985精確到0.001的近似值為________.

解析

9192＝(90＋1)92＝，前91項均能被100整除，只有末尾兩項不能被100整除，8281＝8200＋81，所以9192除以100的余數(shù)為81.

3.3 證明不等式

例15當n∈N*時，求證

證明，又因為

4 我們備考練什么?

練習1在()n的展開式中，各項系數(shù)之和為A，各項二項式系數(shù)之和為B，且A＋B＝72，則展開式中常數(shù)項為_________.

解析

練習2已知(2＋mx)(1＋x)3的展開式中x3的系數(shù)為5，則m＝_________.

解析

依題意可知，展開式中x3的項為，所以2＋3m＝5，解得m＝1.

練習3已知(1＋2x)n的展開式中，第6項與第7項的系數(shù)相等，則展開式中二項式系數(shù)最大的項是_______;系數(shù)最大的項是_________.

解析

因為T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，由題意得，解得n＝8，所以(1＋2x)8的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是T5＝C48(2x)4＝1120x4.

設(shè)(1＋2x)8展開式第r＋1項的系數(shù)最大，則

解得5≤r≤6.

又因為0≤r≤8，且r∈N，所以r＝5或6，所以(1＋2x)8展開式中系數(shù)最大的項是T6＝C58(2x)5＝1792x5或T7＝C68(2x)6＝1792x6.

練習4若n∈Z，且3≤n≤6，則的展開式中的常數(shù)項為_________.

解析

練習5已知f(x)＝(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值為________.

解析

因為f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25，所以

故(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝24×(－24)＝－28.