基于土體連續(xù)性作用下?lián)跬翂恿憫娘@式閉合形式解

陳青生， 胡 赟， 可文海， 徐長節(jié),2， 彭澤文

(1.華東交通大學 江西省巖土工程基礎設施安全與控制重點實驗室，南昌 330013；2.浙江大學 濱海和城市巖土工程研究中心，杭州 310058)

擋土墻的地震分析和設計是巖土地震工程中的一個重要領域，受到了廣泛的關注。擋土墻可防止高地勢土體變形失穩(wěn)導致掩埋運輸設施和附近建筑物[1-5]。然而，在現(xiàn)場勘查中經(jīng)?？梢杂^察到擋土墻在地震動力響應作用下倒塌現(xiàn)象[6-9]。因此，對巖土工程的設計，必須始終將安全放在首位，而準確分析動力響應作用下?lián)跬翂?土相互作用顯得至關重要。

Scott[10]提出了一種簡單的方法來確定擋土墻上的土動力響應，引入了一系列獨立的Winkler彈簧來解釋動力響應下的墻-土相互作用。但是，由于忽略了土體的連續(xù)性作用，Scott模型精度較低，因此在應用過程中受到很大限制[11-12]。為了克服這個問題，許多學者致力于開發(fā)許多新方法。Zhang等[13]提出了一種新的模型來揭示土體連續(xù)性作用的影響，并發(fā)現(xiàn)它可能主導土與結(jié)構(gòu)的動力相互作用。Veletsos等運用Lagrange方程，并考慮了土體連續(xù)性作用[14]，提出了一種連續(xù)介質(zhì)模型來求解擋土墻的動力響應，從而提高了計算精度，但是計算比Scott的模型復雜得多[15]。 Wood[16]通過彈性動力學基本理論對水平向S波激勵作用下的擋土墻動力響應進行了研究，但計算非常復雜，且僅考慮了剛性擋土墻的動力響應。周曉巖[17]基于解耦的近場波動模擬技術(shù)，研究了地震作用下?lián)跬翂Φ膭恿憫?。應宏偉[18]對擋土墻-土系統(tǒng)進行波動有限元分析，得到了水平地震作用沿擋土墻結(jié)構(gòu)高度的分布規(guī)律。

在過去的幾十年中，Pasternak模型由于其簡單性和準確性而被廣泛用于分析土與結(jié)構(gòu)的相互作用[19]。與Scott模型相比，Pasternak模型通過引入剪切剛度系數(shù)γ在土與結(jié)構(gòu)之間形成一個剪切層，該剛度因子能夠考慮土體連續(xù)性的影響。盡管引入了系數(shù)γ，但Pasternak模型的解的形式仍與Scott模型一致，使得 Pasternak模型不僅保留了連續(xù)介質(zhì)模型動力解的主要優(yōu)點，而且在數(shù)學形式上也較簡單[20-21]，因此，Pasternak模型在樁-土動力響應及擋土墻-土動力響應分析中被廣泛應用。剛度系數(shù)k和剪切剛度系數(shù)γ是評估擋土墻變形的兩個關鍵參數(shù)，直接影響模型的準確性。然而，迄今為止，由于求解過程復雜，計算迭代繁瑣，仍然很難基于Pasternak模型來獲得剪切剛度系數(shù)γ的精確的表達式，大幅度地限制了其在工程上的應用。

為解決上述問題，本文提出一種基于Pasternak 模型的簡明解析解來研究擋土墻的動力響應，其中通過修正Vlasov模型來求解剛度系數(shù)k和剪切剛度系數(shù)γ，并分析位移衰減函數(shù)及在不同相對柔度系數(shù)和相對轉(zhuǎn)度系數(shù)下入射波頻率對擋土墻-土系統(tǒng)內(nèi)力的影響，闡述入射波頻率對擋土墻-土系統(tǒng)動力響應的影響。本文模型不僅傳承了Scott模型的簡便性，還考慮了土體連續(xù)性作用的影響。通過將結(jié)果與現(xiàn)有連續(xù)介質(zhì)模型和Scott模型獲得的結(jié)果進行比較，有效地驗證了所提出模型的準確性。

1 分析方法

1.1 擋土墻-土系統(tǒng)的微分方程

地震作用下?lián)跬翂?土系統(tǒng)動力響應計算示意圖如圖1所示，該系統(tǒng)經(jīng)受垂直入射的S波，其振幅為ur且頻率為ω?；靥钔量梢暈楦飨蛲缘酿椥圆牧希瑩跬翂σ暈榫€彈性歐拉-伯努利梁。擋土墻-土模型認為是平面應變問題，土體在水平方向上是無限的。在下文的分析中，擋土墻與土是緊密接觸，不存在任何形式的滑移和脫離，即擋土墻與土在界面處位移連續(xù)。

(a)

如圖2所示，用Pasternak模型表示擋土墻-土相互作用。與Scott模型相比，引入了一個剛度為γ的附加剪切層，以考慮周圍土體的連續(xù)性作用。考慮到諧波激勵作用下?lián)跬翂卧系乃搅ζ胶?，基于Scott模型的擋土墻-土系統(tǒng)的動力響應可以表示為

(1)

考慮到土體的連續(xù)性，基于Pasternak模型增加剛度系數(shù)γ。式(1)修改為

(2)

此外，式(2)可以進一步簡化為

(3)

同時，式(3)的通解可寫為

(4)

(a) 擋土墻-土動力相互作用

擋土墻墻底固支的動力響應的邊界條件可以表示為

(5)

(6)

(7)

uw=ur,y=H

(8)

將式(5)～式(8)代入式(4)，求得未知常數(shù)Δi。

(9)

將邊界條件式(5)～式(8)代入式(9)，求得未知常數(shù)Λi。

最后獲得了擋土墻動力響應的顯式封閉形式解，如表1所示。可見，與Scott的模型相比，本文大幅度地簡化解析解的模式。同時，本文提出的模型不僅傳承了Scott模型的簡便性，還考慮了土體連續(xù)性作用的影響。為了驗證本文模型的精確性，下文進一步展開對比分析。

表1 本文模型與 Scott 模型之間的公式比較

1.2 設計參數(shù)

此外，F(xiàn)an等[23]提出一個無量綱參數(shù)Iu=uw(0)/uf(0)。通過比較地下結(jié)構(gòu)位移和地表動力矩，Iu可以反映地下結(jié)構(gòu)-土動力相互作用的強度，故可稱為水平位移下動力響應因子。類似的，轉(zhuǎn)動下動力響應因子Iφ的表達式可表示為Iφ=uw(0)/λuf(0)。

因子ζ是修正Vlasov模型中的一個迭代因子，無法直接求解。ζ與相對柔度系數(shù)dw和S波頻率ω密切相關。在大多數(shù)情況下，dw范圍為1～40，dθ范圍為0.5～10.0，ω范圍為0～2ω1)，基于修正Vlasov模型的迭代程序的計算結(jié)果，因子ζ大約等于0.2。

為了進一步研究各物理參數(shù)對擋土墻動力響應的影響，對式(2)進行了詳細的研究。由式(2)的描述，擋土墻-土動力相互作用中的各物理量包括：擋土墻抗彎剛度作用(Fbp)；土體連續(xù)性作用(Fss)；土彈簧作用(Fwm)；土體慣性力(Fis)；擋土墻慣性力(Fiw)，可被分別表示為

(10)

(11)

Fwm|y=0=k(uw-uf)

(12)

Fis|y=0=-Msω2(uw-uf)

(13)

Fiw|y=0=-ρwtwω2uw

(14)

2 模型驗證

為了解決擋土墻動力響應問題，驗證本文模型的有效性和正確性，將所提出模型的結(jié)果與Veletsos等的連續(xù)介質(zhì)模型及Scott模型的結(jié)果進行比較，結(jié)果見圖3。

從圖3(a)中可以看出，用本文方法求得的擋土墻位移與 Veletsos等的連續(xù)介質(zhì)模型吻合較好，這主要是由于本文模型已將土體連續(xù)性作用對擋土墻動力響應影響相結(jié)合，仍有差異是因為Veletsos等的解是由系統(tǒng)中總位移的模態(tài)構(gòu)成的，而本文只采用的全位移中的第一階模態(tài)來表示。Ke等也觀察到了在樁的動力響應有類似現(xiàn)象。而Scott模型的所有曲線都低于本文模型和Veletsos等的連續(xù)介質(zhì)模型，這可能是由于土體連續(xù)性作用作為約束力來約束擋土墻的動力響應。

圖3(b)表明，隨著基巖對擋土墻的約束減弱(即相對轉(zhuǎn)度系數(shù)dθ從0.5增加到5.0)，本文模型與Scott模型對應的曲線之間的差異顯著增大。這是因為，對于旋轉(zhuǎn)柔度系數(shù)較大的墻，擋土墻-土相互作用的影響更加顯著。結(jié)果表明，土體連續(xù)性作用對擋土墻的動力響應有顯著影響。

(a) dw不同的曲線

3 位移衰減函數(shù)

由(4)式可知，位移函數(shù)uw(y)和衰減函數(shù)φ(x)是耦合在一起。而因子γ直接影響衰減函數(shù)φ(x)，可以順利地把擋土墻的位移uw(y)解耦出來。為解決擋土墻-土系統(tǒng)中任一點的位移問題，進一步分析γ與衰減函數(shù)φ(x)的關系顯得尤為重要。

由彈性力學的基本理論可得，擋土墻-土相互作用系統(tǒng)的勢能表示為

(15)

類似的，系統(tǒng)的動能可以表示為

T=T擋土墻+T土體=

(16)

由Hamilton原理

(17)

(18)

將邊界條件代入，可得衰減函數(shù)為

φ(x)=e-γx

(19)

由式(9)得知衰減函數(shù)是確定擋土墻-土系統(tǒng)位移函數(shù)的重要組成部分，而衰減函數(shù)影響著位移衰減的快慢。圖4給出了衰減函數(shù)的變化，結(jié)果表明因子γ決定著衰減函數(shù)變化的快慢，隨著γ的逐漸增大，衰減函數(shù)沿x方向衰減越快。

圖4 衰減函數(shù)隨x變化曲線

可見，因子γ對衰減函數(shù)φ(x)影響顯著，準確確定因子γ對解決擋土墻-土動力相互作用的平面應變問題起著關鍵作用。

4 參數(shù)分析

在實際工程中，擋土墻的內(nèi)力和變形是極為重要的參數(shù)，為了探究入射波頻率對擋土墻內(nèi)力和變形因子的影響，本文選取不同相對柔度系數(shù)和相對轉(zhuǎn)度系數(shù)，進一步對擋土墻的剪力、彎矩和變形因子進行參數(shù)分析。

相對柔度系數(shù)變化下不同入射波頻率對擋土墻平動因子Iu和轉(zhuǎn)動因子Iφ的影響如圖5所示。在入射波頻率較小時，隨著入射波頻率的增大，Iu減小而Iφ卻呈現(xiàn)增大趨勢，并且dw越大，Iu下降幅度更小而Iφ增大幅度更大。在入射波頻率較大時，Iu和Iφ均呈現(xiàn)復雜性變化。

(a)

圖6給出了在不同無量綱相對柔度系數(shù)dw下入射波頻率對擋土墻底剪力和彎矩的影響。擋土墻底的剪力和彎矩可以歸一化表示為Qb=Ql/(xgρsH2)和Mb=Ml/(xgρsH3)?？梢钥闯?，剪力和彎矩均呈現(xiàn)非線性變化，當入射波頻率接近ω1和3ω1時，擋土墻-土系統(tǒng)容易出現(xiàn)共振現(xiàn)象。在入射波頻率較小的情況下，隨著dw的增大，剪力和彎矩均呈現(xiàn)下降的趨勢，但當入射波頻率較大時，這種情況恰好相反。這可能是由于對軟土而言，地震作用的放大效應造成的，這種現(xiàn)象類似于地震作用下樁-土動力響應。得出，入射波頻率對于擋土墻內(nèi)力有著重大影響，尤其是當入射頻率接近自振頻率時，這種現(xiàn)象更明顯。

(a)

在不同無量綱相對轉(zhuǎn)度系數(shù)dθ下入射波頻率對擋土墻底剪力和彎矩的影響如圖7所示。與不同dw下的類似，剪力和彎矩均呈現(xiàn)非線性變化，擋土墻-土系統(tǒng)在入射波頻率接近ω1和3ω1時容易出現(xiàn)共振現(xiàn)象。在入射波頻率較小的情況下，隨著dθ的增大，剪力和彎矩均呈現(xiàn)下降的趨勢。對dθ不變時，墻底剪力和彎矩均呈現(xiàn)隨入射波頻率增大，出現(xiàn)先增大后減小再增大再減小的現(xiàn)象。再次驗證了，入射波頻率對于擋土墻內(nèi)力有重大影響。

(a)

從圖6和圖7中可以看出，在相同入射波頻率下，不同的dw和dθ將導致剪力和彎矩存在明顯的差異，即在不同的約束條件下，擋土墻的動力響應有較為明顯的差別。

5 結(jié) 論

綜上所述，可得到以下結(jié)論:

(1) 在平面應變和忽略了豎向位移對系統(tǒng)的影響的前提假設下，提出一個新的位移函數(shù)的顯式閉合形式解，用以解決墻底固支和墻底鉸支擋土墻在垂直入射S波作用的擋土墻-土的動力響應，并得到擋土墻-土動力相互作用中各物理量的精確表達式。

(2) 以一系列剛度會被入射波頻率影響的土彈簧與土膜模擬土體連續(xù)性，將所得位移函數(shù)與Veletsos等及Scott模型求解的結(jié)果進行對比分析，很好地驗證了本文模型的有效性和準確性。

(3) 在入射波頻率接近ω1和3ω1時，不論是墻底固支還是鉸支，擋土墻-土系統(tǒng)均容易出現(xiàn)類似共振的現(xiàn)象，且剪力和彎矩均呈現(xiàn)范圍內(nèi)峰值，尤其是當入射頻率接近ω1時，這種現(xiàn)象更明顯。

(4) 平動因子Iu和轉(zhuǎn)動因子Iφ對入射波的頻率十分敏感，同時擋土墻的相對柔度系數(shù)對其也有很大影響，而墻底的剪力和彎矩對擋土墻的相對柔度系數(shù)dw和相對轉(zhuǎn)度系數(shù)dθ以及入射波頻率十分敏感，擋土墻-土相互作用越劇烈，同時，不同約束條件也對擋土墻的動力響應較大有影響。