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    滾珠絲杠垂直升降系統(tǒng)的建模和振動(dòng)特性分析*

    2022-02-22 02:52:16盧文婷陳嘉榮薛珺天
    制造技術(shù)與機(jī)床 2022年2期
    關(guān)鍵詞:模態(tài)振動(dòng)系統(tǒng)

    黃 晉 盧文婷 陳嘉榮 薛珺天

    (①中國電子科技集團(tuán)公司第二研究所,山西 太原030024;②太原師范學(xué)院物理系,山西 太原 030002)

    滾珠絲杠副由于定位精度高,工作可靠,且可將伺服電動(dòng)機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為工作臺(tái)的直線運(yùn)動(dòng),因而作為機(jī)械傳動(dòng)部件廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的自動(dòng)化設(shè)備中。其中的升降機(jī)構(gòu)將滾珠絲杠副垂直安裝,旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為工作臺(tái)的上下直線運(yùn)動(dòng)。目前,滾珠絲杠垂直升降系統(tǒng)沒有明確的數(shù)學(xué)模型,系統(tǒng)的設(shè)計(jì)開發(fā)過程均依靠經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行。但是由于伺服的激勵(lì),傳動(dòng)部件會(huì)產(chǎn)生振動(dòng),如果中間環(huán)節(jié)選型不合理,還會(huì)有共振的危險(xiǎn),嚴(yán)重影響滾珠絲杠副的使用壽命、噪聲、溫升、傳動(dòng)效率以及工作臺(tái)的定位精度[1]。因此,建立滾珠絲杠垂直升降系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行振動(dòng)特性分析,指導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程和結(jié)構(gòu)優(yōu)化,對(duì)系統(tǒng)減振降噪和提升產(chǎn)品整體性能有重要意義。

    已有眾多國內(nèi)外學(xué)者對(duì)滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模與分析。向紅標(biāo)等人建立了某測(cè)量機(jī)Z軸滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型[2],吳沁等人利用拉格朗日方程和能量原理建立了數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,分析了各參數(shù)對(duì)工作臺(tái)振動(dòng)位移的影響[3], Frey S等分析了不同負(fù)載、工作臺(tái)位置和絲杠螺距對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)混合模型和離散模型固有頻率的影響[4],但是都存在模型簡化程度大,沒有考慮系統(tǒng)的初始條件等問題。集中參數(shù)模型能夠估計(jì)滾珠絲杠進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的軸向及扭轉(zhuǎn)的低階振動(dòng),但無法準(zhǔn)確表征絲桿的柔性體特征[5-7]。Vicente D等人采用Ritz級(jí)數(shù)法表示絲杠軸向及扭轉(zhuǎn)位移場(chǎng)的空間依賴性[8]。董亮等人將絲杠作為分布參數(shù)模型,其余部件作為集中參數(shù)模型,應(yīng)用功率平衡法和Ritz級(jí)數(shù)法,建立了滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的振動(dòng)模型[9],但是都沒有對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分析。

    針對(duì)以上問題,本文以某上下料自動(dòng)化設(shè)備中的升降機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,仿真分析了系統(tǒng)的模態(tài)振型、固有頻率以及動(dòng)態(tài)響應(yīng)。結(jié)果表明所建立的數(shù)學(xué)模型可以對(duì)滾珠絲杠垂直升降系統(tǒng)的選型設(shè)計(jì)和后期結(jié)構(gòu)改進(jìn)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

    1 數(shù)學(xué)模型

    1.1 拉格朗日方程

    滾珠絲杠垂直升降系統(tǒng)的物理模型如圖1所示,伺服電機(jī)通過聯(lián)軸器帶動(dòng)絲杠轉(zhuǎn)動(dòng),絲杠通過固定座安裝在機(jī)架上,絲杠另一端利用深溝球軸承支持,這種固定-支持的安裝方式能夠抵消由熱變形產(chǎn)生的應(yīng)力,常被應(yīng)用于精密滾珠絲杠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中[9]。

    垂直升降系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖2所示。Jm為伺服電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,忽略滾動(dòng)軸承在扭轉(zhuǎn)方向上的剛度和阻尼。Jc、Kc、Cc分別為聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、扭轉(zhuǎn)剛度和扭轉(zhuǎn)阻尼。Kb、Cb、Kn、Cn分別為固定座和絲杠螺母的軸向剛度和軸向阻尼。mt為負(fù)載質(zhì)量,同時(shí)考慮負(fù)載總重量G2和負(fù)載與絲杠的總重量G1。E、ρ、A、G、I分別表示滾珠絲杠的楊氏模量、密度、橫截面積、截切模量和極慣性矩。l表示絲杠的長度,γ表示絲杠的導(dǎo)程,κ表示絲杠的阻尼損耗因子。

    第一類拉格朗日方程為:

    (1)

    (2)

    由圖2可知,系統(tǒng)動(dòng)能T包括工作臺(tái)、電機(jī)轉(zhuǎn)子、聯(lián)軸器和絲杠的動(dòng)能:

    (3)

    其中:“·”表示對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù);ut(t)表示工作臺(tái)的位移;θm(t)表示電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角;u(x,t)和θ(x,t)分別表示絲杠的軸向位移函數(shù)和扭轉(zhuǎn)位移函數(shù);x是絲杠螺母的位移變量;xt是絲杠螺母的當(dāng)前位置。絲杠螺母將絲杠的軸向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)耦合[10],螺母的軸向位移δn可以表示為:

    (4)

    系統(tǒng)勢(shì)能V包括聯(lián)軸器、絲杠螺母、固定座和絲杠變形的彈性勢(shì)能:

    (5)

    由于系統(tǒng)存在阻尼損耗,則耗散能R可表示為:

    (6)

    絲杠作為連續(xù)體,可以用位移函數(shù)u(x,t) 和θ(x,t)來描述絲杠的變形,Ritz級(jí)數(shù)方法通過Ritz級(jí)數(shù)展開能夠描述位移函數(shù)[10]:

    (7)

    (8)

    其中φu(x)和φθ(x)是位移函數(shù)的基函數(shù),系數(shù)qu(t)和qθ(t)表示基函數(shù)在某一瞬時(shí)的分量?;瘮?shù)必須滿足確定的條件以獲得有效的Ritz級(jí)數(shù)展開,同時(shí)必須滿足連續(xù)性、線性獨(dú)立和幾何邊界條件[10]?;谝陨戏治?,基函數(shù)可表示為:

    φu(x)=cos(ju-1)πx/l

    (9)

    φθ(x)=cos(jθ-1)πx/l

    (10)

    其中:ju=1,2,…,Nu;jθ=1,2,…,Nθ。

    取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為θm(t)、ut(t)、qθ(t)、qu(t),則廣義坐標(biāo)矩陣表示如下:

    (11)

    將式(7)和(8)代入式(3)~(6)中,令:

    得到系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和耗散能函數(shù)分別為:

    (13)

    (14)

    (15)

    由矩陣?yán)碚摽赏茖?dǎo)出以下2個(gè)結(jié)論:

    (1)設(shè)f=AX,其中f為標(biāo)量,A為常量矩陣,X為未知矩陣,則有:

    (16)

    (2)設(shè)f=XTAX,其中f為標(biāo)量,A為常量矩陣,X為未知矩陣,則有:

    (17)

    基于式(16)和式(17)的結(jié)論,將式(13)~(15)代入式(2)得到系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和廣義激振力矩陣如下:

    (18)

    (19)

    (20)

    (21)

    (22)

    1.2 固有特性分析

    無阻尼系統(tǒng)的特征方程為:

    (23)

    1.3 動(dòng)態(tài)響應(yīng)計(jì)算

    由于模態(tài)疊加法相比于其他動(dòng)力學(xué)分析方法具有高效、計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn),動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析采用了模態(tài)疊加法,通過在模態(tài)分析中獲得的固有頻率與振型來描述結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

    將物理坐標(biāo)q轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標(biāo)qp:

    q=Apqp

    (24)

    (25)

    令:

    (26)

    得到坐標(biāo)變換后的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程:

    (27)

    其中:質(zhì)量矩陣Mp為對(duì)角矩陣;阻尼矩陣Cp不是對(duì)角矩陣,可通過降階法求解系統(tǒng)微分方程,得到qp后代入式(24)可得到系統(tǒng)廣義坐標(biāo)q的時(shí)變特性。

    2 案例仿真分析

    以某上下料自動(dòng)化設(shè)備中的升降機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,對(duì)滾珠絲杠垂直升降系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析和動(dòng)力學(xué)分析,升降機(jī)構(gòu)的三維模型和工程現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用如圖3所示。伺服電機(jī)和絲杠使用標(biāo)準(zhǔn)品,其他結(jié)構(gòu)為自行設(shè)計(jì)。相關(guān)參數(shù)從產(chǎn)品目錄和說明書中獲取,具體參數(shù)見表1。

    表1 系統(tǒng)主要參數(shù)

    2.1 模態(tài)分析

    將相關(guān)參數(shù)代入式(23),求解(23)式可得系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)振型,表2列出了xt在0.5 m處時(shí),Ritz級(jí)數(shù)長度Nu和Nθ取不同值時(shí)第一階固有頻率的數(shù)值仿真結(jié)果:

    表2 固有頻率隨級(jí)數(shù)長度的變化

    由于基函數(shù)的個(gè)數(shù)是任意的,且通過多個(gè)基函數(shù)的疊加,可以得到基頻的近似值[11],由表2可知Nu和Nθ取不同值時(shí)基頻不變,所以取Nu=Nθ=2進(jìn)行系統(tǒng)的模態(tài)分析。

    表3為工作臺(tái)在不同位置下,系統(tǒng)第一階到第三階的固有頻率。固有頻率隨工作臺(tái)位置和負(fù)載質(zhì)量的連續(xù)變化趨勢(shì)如圖4所示,第一階固有頻率受負(fù)載質(zhì)量影響較大,負(fù)載質(zhì)量越大,系統(tǒng)第一階固有頻率越小。機(jī)械系統(tǒng)的第一階固有頻率是決定系統(tǒng)頻率響應(yīng)帶寬的的一個(gè)重要約束因素,在設(shè)計(jì)一個(gè)伺服控制系統(tǒng)時(shí),通常要求機(jī)械系統(tǒng)的第一階固有頻率是系統(tǒng)帶寬的5倍以上。圖4和表3表明可以通過選擇不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)獲得合理的系統(tǒng)固有頻率,預(yù)防共振的發(fā)生。

    表3 固有頻率隨工作臺(tái)位置的變化

    表4列出了絲杠導(dǎo)程和螺母剛度對(duì)系統(tǒng)前三階固有頻率的影響,可以看出,在無預(yù)壓的條件下,第一階和第三階固有頻率隨導(dǎo)程的增大而增大,而第二階固有頻率是和絲杠螺母的剛度成正相關(guān)。導(dǎo)程不變,增加預(yù)壓,固有頻率也增大,并且第一階固有頻率受影響較大。結(jié)果表明增大導(dǎo)程,增加預(yù)壓可以提高機(jī)械系統(tǒng)的第一階固有頻率,增大傳動(dòng)系統(tǒng)的剛度和傳動(dòng)精度。

    表4 固有頻率隨絲杠導(dǎo)程的變化

    圖5為絲杠的軸向振型曲線,圖6為絲杠的扭轉(zhuǎn)振型曲線。由圖可知系統(tǒng)第一階和第三階振動(dòng)主要是扭轉(zhuǎn)振動(dòng),伴隨較小的軸向振動(dòng),第二階振動(dòng)是絲杠的軸向和扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)。由第一階和第二階扭轉(zhuǎn)振型可知工作臺(tái)越是遠(yuǎn)離電機(jī)端,絲杠的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)越大。

    由第一階軸向振型可知工作臺(tái)越是遠(yuǎn)離電機(jī)端,絲杠軸向振動(dòng)越大。

    從振型曲線可以知道某個(gè)自然共振頻率下結(jié)構(gòu)的變形趨勢(shì),若要加強(qiáng)結(jié)構(gòu)的剛性,可以從這些較弱的部分加強(qiáng)。圖5和圖6表明最低頻的模態(tài)主要是工作臺(tái)在遠(yuǎn)離電機(jī)端的位置時(shí)絲杠的扭轉(zhuǎn)方向,這是系統(tǒng)的薄弱位置,那么在后續(xù)升降系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中應(yīng)該將這一薄弱環(huán)節(jié)對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的性能影響考慮其中。

    2.2 動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

    根據(jù)式(24)和式(27)編制MATLAB仿真程序,仿真時(shí)間100 ms,步長2 ms,得到工作臺(tái)的位移響應(yīng)以及各參數(shù)的影響。

    滾珠絲杠和絲杠螺母結(jié)合處的軸向剛度和滾珠絲杠的預(yù)壓等級(jí)有關(guān),過大的預(yù)壓力將造成摩擦扭矩增大及溫升效應(yīng),壽命減短,但太低的預(yù)壓力會(huì)使得滾珠絲杠剛性不足及增加失步的可能性。查閱滾珠絲杠技術(shù)資料可知,軸徑為20 mm的滾珠絲杠,在無預(yù)壓的情況下,導(dǎo)程為10 mm時(shí)剛性最大,5 mm導(dǎo)程次之,20 mm導(dǎo)程的剛性最小。

    圖7中,設(shè)定絲杠的導(dǎo)程為20 mm,增加絲杠螺母的預(yù)壓,絲杠螺母軸向剛度增大,工作臺(tái)的振動(dòng)幅度減小,恢復(fù)平衡位置的時(shí)間從0.08 s減小到0.02 s。圖8中,設(shè)定絲杠導(dǎo)程為10 mm,且無預(yù)壓,5 mm和20 mm導(dǎo)程時(shí)增加預(yù)壓使剛度相同,且20 mm導(dǎo)程時(shí)需要增加更大的預(yù)壓,圖8說明增加更大的預(yù)壓后工作臺(tái)的振動(dòng)幅度更小。圖7中實(shí)線為20 mm導(dǎo)程且無預(yù)壓,圖8中虛線為10 mm導(dǎo)程且無預(yù)壓,比較可知20 mm導(dǎo)程時(shí)的工作臺(tái)振幅更大且恢復(fù)平衡時(shí)間由0.06 s增大到0.1 s。圖7和圖8比較說明無預(yù)壓狀態(tài)下,絲杠導(dǎo)程越大,負(fù)載振幅越大,恢復(fù)平衡時(shí)間也越長。

    圖9說明工作臺(tái)位于絲杠中間位置的時(shí)候振動(dòng)幅度最小,位于絲杠兩端時(shí)的振動(dòng)幅度較大。圖10說明工作臺(tái)質(zhì)量增大會(huì)使得振動(dòng)幅度增大,但影響較小。圖7~圖10說明工作臺(tái)振動(dòng)幅值隨絲杠螺母軸向剛度的增大而減小,隨絲杠導(dǎo)程的增大而增大。

    圖11和圖12顯示了工作臺(tái)位于絲杠中間位置時(shí),絲杠的軸向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)情況,圖11說明在絲杠軸向的振動(dòng)兩端較大,中間較小,圖12說明絲杠的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是靠近電機(jī)端振動(dòng)較小,遠(yuǎn)離電機(jī)的位置振動(dòng)幅度變大。絲杠軸向振動(dòng)比扭轉(zhuǎn)振動(dòng)更快的恢復(fù)到平衡位置。

    工作臺(tái)的振動(dòng)會(huì)影響傳動(dòng)系統(tǒng)的定位精度,降低絲杠螺母副的使用壽命,因此,在設(shè)計(jì)過程中需要充分考慮系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

    根據(jù)仿真結(jié)果,在設(shè)計(jì)升降機(jī)構(gòu)時(shí),同時(shí)考慮成本和需求,滾珠絲杠選擇20 mm直徑,10 mm導(dǎo)程,軸方向間隙預(yù)壓等級(jí)選擇P2,無間隙,輕預(yù)壓,選型設(shè)計(jì)后的升降機(jī)構(gòu)實(shí)際運(yùn)行較之前更加平穩(wěn)。

    3 結(jié)語

    本文研究了伺服激勵(lì)下滾珠絲杠垂直升降系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和影響因素,首先利用拉格朗日方法建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程,然后對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了模態(tài)分析,最后通過模態(tài)疊加原理分析了不同參數(shù)對(duì)工作臺(tái)位移響應(yīng)的影響。主要結(jié)論有:

    (1)固有頻率隨導(dǎo)程和絲杠螺母軸向剛度的增大而增大,負(fù)載質(zhì)量對(duì)第一階諧振模態(tài)有一定影響。

    (2)系統(tǒng)模態(tài)振型分布表明第一階和第三階振動(dòng)主要是絲杠的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),第二階振動(dòng)是絲杠的軸向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的耦合。

    (3)由位移響應(yīng)分析可知工作臺(tái)振動(dòng)幅值隨絲杠螺母軸向剛度的增大而減小,隨絲杠導(dǎo)程的增大而增大。

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