艾里渦旋光束的多空間維度自由調控

王亞坤，臺玉萍，李新忠，3

（1 河南科技大學物理工程學院，河南洛陽471023）

（2 河南科技大學化工與制藥學院，河南洛陽471023）

（3 中國科學院西安光學精密機械研究所瞬態(tài)光學與光子技術國家重點實驗室，西安710119）

0 引言

近年來，研究人員根據空間傍軸波動方程在不同坐標系下的解，產生了不同的光束模式［1-5］，并對其光場結構、波前分布等進行了深入的研究。在此基礎上，由多光束疊加產生的復合光場，因光束之間的相互作用，產生了許多新穎的特性，促進了研究人員對光的本質的理解，使其在大容量光通信［6-7］、微小粒子捕獲及輸運［8-9］、微納材料成型［10］領域發(fā)揮了重要的應用價值。

一般來說，多光束組合可以分為兩種：一種是由同一光束族組合產生的復合光場，稱為縱向疊加光場。研究人員利用多個參數(shù)不同的同種光束組合產生了復雜的結構光場，包括多個平面波［11］、高斯光束［12］、因斯-高斯光束［13］、厄米-高斯光束［14］、拉蓋爾-高斯光束［15-16］、貝塞爾光束［17-18］等。通過改變組合光束的相關參量實現(xiàn)光場振幅、相位的調控，其調控方式具有一致性，即組合光束的調控參量一致，而且分別調控相同參量時，其產生的結果也具有一致性。此外，不同光束族的光束組合產生的復雜光場稱為橫向疊加光場。該光場的產生通常是將一種光束嵌入到另一種光束中，進而產生所需要的復合光場。利用平面波與渦旋光束組合產生的螺旋形光場，可以實現(xiàn)三維手性微材料成型［10］；通過非線性雙波混頻，厄米-高斯光束和拉蓋爾-高斯光束組合后可以得到新的因斯-高斯模式［19-20］；在艾里光束中嵌入渦旋光束可以得到艾里渦旋光束［21］。

在不同的疊加模式中，存在一種特殊的復合光場，即艾里渦旋光束。其中，艾里光束自實驗產生以來［2］，因其在傳輸過程中具有自加速［2］、無衍射［22］和自愈［23］特性，受到了廣泛的研究，并被應用于光學清掃［24］和等離子體通道產生［25］等領域。由一維拓展到二維，艾里光束可以表示為兩個相互垂直的一維艾里光束的乘積［2］。另外，渦旋光束因其攜帶軌道角動量和螺旋形相位波前［26］，在光通信［6-7］、微粒操縱［8］等領域展現(xiàn)出了諸多應用前景。將螺旋相位嵌入到立方相位中即可得到艾里渦旋光束。因此，該復合光場不僅存在縱向疊加模式（兩個相互垂直的一維艾里光束），而且還包含橫向疊加模式（艾里光束和渦旋光束）。通過交叉模式的疊加，使艾里渦旋光束具有特殊的性質以及更加豐富的光場結構及相位分布。通過組合光束的參量變化可以間接對這些結構進行調控。但是，該復合光場受限于一定的傳播方向［27］，而且通常采用相位或振幅調制［28］、晶體介質［29］等方式實現(xiàn)對其傳播軌跡的調制，調控方式較為復雜。此外，受艾里主瓣的影響，嵌入光學渦旋的拓撲荷值的檢測也存在一定的干擾。

因此本文基于多坐標變換技術，依次對一維艾里光束、二維艾里光束以及艾里渦旋光束進行組合與拆解，并在傅里葉面產生了準艾里光束［27，30］，實現(xiàn)了艾里光束的兩個邊瓣和嵌入的光學渦旋在不同空間維度的自由調控，使調控后的光束可以沿任意拋物線軌跡及傳播方向運動，并分析了其不同情況下的傳播特性，同時提出了一種嵌入的光學渦旋拓撲荷的原位測量方法，實驗結果與理論推導相吻合。該方案促進了艾里渦旋光束在光學清掃［24］和微粒捕獲［8-9］等領域的應用。

1 原理

一維無衍射艾里光束的傳播模型滿足傍軸波動方程［2］

式中，φ表示電場包絡，z表示歸一化的傳播距離，s表示無量綱的橫向坐標，即X或Y。

由式（1）可得到一維無衍射艾里光束的場分布，但是因其具有無限能量而無法在實驗中產生。因此需要引入一個指數(shù)孔徑函數(shù)，即exp（as），對艾里光束進行“截趾”［2］，其中a表示衰減因子，取較小的正數(shù)對艾里光束的尾瓣強度進行“截趾”。將指數(shù)孔徑函數(shù)引入式（1），可以得到有限能量的艾里光束場分布為

式中，Ai（·）表示艾里函數(shù)。對式（2）進行傅里葉變換，同時由于a是一個較小的正數(shù)，因此可以忽略結果中a的高階項，近似得到波矢k空間的傅里葉頻譜

式中，Φ（k）=k3/3 表示立方相位。從式（3）可以看出，有限能量的艾里光束可以由施加立方相位Φ（k）的高斯光束調制得到。因此實驗中可以在高斯光束中加載立方相位，然后通過傅里葉變換得到艾里光束［2］。

接下來分別對一維、二維艾里光束以及艾里渦旋光束進行組合和拆解。首先，在源平面對每個組成光束建立獨立的坐標系，然后通過多坐標變換技術［31］實現(xiàn)光束的獨立調控，如圖1所示。

復合光場在X-Y平面（源平面）的示意圖如圖所示，其組成光束如圖1（a）中藍色點線所包圍的k1，k2，k3。通過將復合光場拆解，使每一個組成光束能夠進行獨立的調控，實現(xiàn)組成光束的旋轉以及拉伸。首先，將三波（Airy1 光束，Airy2 光束和渦旋光束）復合光場中每一個組成光束分別以OAi1，OAi2，Oov為光束原點重新建立極坐標系（rn，θn）［圖1（b）］，通過在極坐標系中分別添加旋轉因子φn來實現(xiàn)坐標系的旋轉，其中，n=1，2，3。接下來利用坐標變換公式①xn=rncos（θn+φn）和yn=rnsin（θn+φn）將旋轉后的極坐標系變換為直角坐標系［圖1（c）］。然后根據模式變換技術，將旋轉后的直角坐標系在xn方向進行拉伸，即（mnxn，yn），其中，m為拉伸因子［圖1（d）］。最后將直角坐標系變換為橢圓坐標系（ξn，ηn），變換方式為②：mnxn=ξncos（ηn）和yn=ξnsin（ηn）。將上述操作結合到光束的相位分布函數(shù)中，然后通過傅里葉變換即可在傅里葉面得到理想的艾里渦旋光束。在組成光束調制的過程中，根據有限能量的一維艾里光束的強度分布特性［2］，本文只對艾里光束進行旋轉操作，即圖1（a）→（b）→（c）。而傳統(tǒng)的渦旋光束具有暗中空的環(huán)形強度分布，在調控的過程中無法準確觀察到渦旋光束的變化，因此根據文獻［32］將圓形的光學渦旋轉變?yōu)榉较蚩煽氐臋E圓光學渦旋，同時以橢圓光學渦旋的長軸指向為渦旋方向，變換過程為圖1（a）→（b）→（c）→（d）。

圖1 基于多坐標變換技術的復合光場調控示意圖Fig.1 Schematic of the modulation of composite optical field based on the multi-coordinate transformation techniques

2 實驗結果與討論

為了驗證該設計的可行性，設計了如圖2所示的實驗裝置。實驗中選擇波長為532 nm 的固體Nd：YAG激光器作為光源。將針孔濾波器（PF）放置在透鏡（L1，f1=100 mm）的前焦平面處進而產生近似的平頂光束，該光束經過分束立方體（BS）后作為入射光場照射到空間光調制器（SLM，HOLOEYE，PLUTO-VIS-016，像素尺寸8 μm×8 μm，分辨率1 920×1 080 pixels）中，經過空間光調制器調制后，利用透鏡（L2，f2=200 mm）進行傅里葉變換。將電荷耦合器件（CCD，Basler，像素尺寸4.5 μm×4.5 μm）放置在透鏡L2 的后焦平面上。在實驗過程中，將經過一系列變換的相位模式［圖2（a）］輸入到空間光調制器中，可以在相機中獲得相應的實驗結果［圖2（b）］。此外，通過將相機安裝到導軌上，可以實現(xiàn)相機沿光軸方向移動，進而獲得不同距離處的光強分布。

圖2 實驗裝置Fig.2 Experimental setup

基于多坐標變換技術，對不同模式疊加的復合光場中每一個組成光束進行拆解，可以實現(xiàn)組成光束的獨立調控。針對縱向疊加光場，即相互垂直的二維艾里光束進行獨立調控時，首先將其拆解為兩個一維艾里光束，此時二維艾里光束的相位分布表示為

式中，x1=r1cos（θ1+φ1）和y2=r2sin（θ2+φ2）。為統(tǒng)一坐標系旋轉方向，規(guī)定當φ1和φ2為正時，坐標系繞原點逆時針旋轉。為保證產生的艾里光束具有良好的強度剖面，設置衰減因子a=0.05，下同。然后將該相位加載到空間光調制器中，即可在X′-Y′平面（傅里葉平面）獲得調控后的艾里光束。通過改變φ1或φ2可以使二維艾里光束的兩條邊瓣分別繞原點（主瓣）進行旋轉。此時兩邊瓣的夾角不再滿足π/2，但是其主光瓣位置保持不變，如圖3所示。通過數(shù)值模擬結果與實驗結果進行對比可以發(fā)現(xiàn)，兩者產生的結果較為吻合。從夾角由π/2 逐漸變大時［圖3（a）～（e）］，變化的邊瓣k1在邊瓣k2方向上的分量逐漸增大，造成邊瓣k1的縮短。當兩條邊瓣方向完全相反時［圖3（c）］，x1和y2作為兩個無量綱的坐標滿足x1=?y2，此時，式（4）滿足Φ2DAiry=0，艾里光束強度剖面消失，表現(xiàn)為高斯光點。當兩條邊瓣方向相同時，則x1=y2，即二維艾里光束演化為一維艾里光束［圖3（f）～（j）］。

圖3 二維艾里光束中兩個邊瓣獨立調控時的光場分布Fig.3 Intensity profiles of the two lobes in 2D Airy beam modulated independently

當φ1和φ2同時改變時，艾里光束的強度剖面變化如圖4所示。當二維艾里光束兩個邊瓣之間的夾角為鈍角并逐漸增大時，沿X′=?Y′方向上的分量隨夾角增大而增大，造成邊瓣縮短，直至兩邊瓣方向完全相反，此時強度剖面表現(xiàn)為高斯光點［圖4（e）］。當二維艾里光束兩個邊瓣之間的夾角為銳角并逐漸減小時，兩邊瓣逐漸靠近，并最終演變成沿X′=Y′方向的一維艾里光束［圖4（j）］。

接下來在二維艾里光束的基礎上，添加一個光學渦旋來研究橫向疊加模式的復合光場。結合渦旋光束的獨特性質，將其添加到艾里光束中，可以產生一種特殊的復合光場，即艾里渦旋光束［21，33］，然后對三個組合光束進行獨立調控。將光學渦旋的螺旋相位嵌入立方相位中，可以得到艾里渦旋光束的相位分布

式中，（ξ3，η3）表示光學渦旋所在的橢圓坐標系，結合①，②得到與初始極坐標系的關系為

式中，arg［］代表復數(shù)的幅角，取值范圍為（?π，π］。將式（6）代入式（5）中，可以得到艾里渦旋光束的相位分布。

根據調制后艾里渦旋光束的相位分布，在實驗中得到組合光束的調控結果，如圖5所示。其中，Airy1 光束和Airy2 光束的旋轉角φ1=φ2=?π/4，光學渦旋拓撲荷l=5，拉伸因子m=2，橢圓率e=0.866［32］。加入渦旋光束后，由于光學渦旋尺寸大于艾里光束主瓣，造成艾里光束的邊瓣發(fā)生分裂，如圖5（b）中白色虛線部分。同時，隨著φ3的改變，光學渦旋的長軸發(fā)生旋轉，而邊瓣的分裂間隙會隨著橢圓光學渦旋長軸的指向發(fā)生改變。需要注意的是，橢圓光學渦旋在旋轉過程中，旋轉因子φ3的取值在（0，π］或（π，2π］范圍內時，渦旋方向是重復的，因此φ3的取值范圍定義為（0，π］。

圖5 艾里渦旋光束中橢圓光學渦旋方向的調控Fig.5 Orientation modulated of the elliptic optical vortex in Airy-vortex beam

利用多坐標變換技術，對橫向疊加光場進行拆解，實現(xiàn)了艾里光束和光學渦旋的獨立調控。此外，光學渦旋的拓撲荷是一個重要的研究參量，它決定了光學渦旋的半徑以及攜帶的軌道角動量大小。但是，由于艾里主瓣的影響，利用傳統(tǒng)方式測量其拓撲荷大小及符號較為復雜［34-36］。因此，本文提出了一種原位測量艾里渦旋光束中光學渦旋拓撲荷的方法，來實現(xiàn)拓撲荷大小及符號的準確測量。由式（4）可知，旋轉兩個一維艾里光束使其方向相反時，源平面所加載的立方相位Φ2DAiry=0，此時不存在艾里光束，光強剖面變現(xiàn)為高斯分布。通過添加位移因子d令不同坐標系原點即原主瓣位置進行移動，滿足Φ2DAiry′（x1，y2）=Φ2DAiry（x1+d，y2+d）。此時在傅里葉平面的光場強度表現(xiàn)為均勻分布的“光針”［圖6（a）］。當嵌入光學渦旋時，執(zhí)行上述操作，“光針”中間位置因光學渦旋存在而產生干涉條紋，條紋的數(shù)量與方向分別決定了拓撲荷的大小與符號［圖6（c）］。添加位移因子后，式（5）滿足ΦAiov′（x1，y2，ξ3）=ΦAiov（x1+d，y2+d，ξ3）。圖6（c）表示φ1=π/2，φ2=0，d=0.25 時，不同拓撲荷的干涉圖樣，其中白色箭頭指向干涉條紋，條紋數(shù)量N與拓撲荷l之間滿足l=N-1，干涉條紋逆時針旋轉代表拓撲荷符號為正，反之為負。該方法可以在不需要額外光學元件的情況下原位測定嵌入渦旋的拓撲荷，并且不受環(huán)境振動和寄生干擾的影響。

接下來，驗證了當φ1=π/2，φ2=0 時位移因子d與“光針”高度的關系。從圖6（a）中可以看出，隨著d的增大，“光針”也逐漸增高。進一步探究位移因子d對“光針”高度H的調控規(guī)律，得到了兩者的關系曲線［圖6（b）］。由藍色點線可以看出，數(shù)據點呈線性分布，對其進行線性擬合，得到如圖中灰色直線所示的擬合曲線，相關系數(shù)高達0.998 9，證明數(shù)據點線性非常好，即位移因子d對“光針”高度H的調控為線性關系。此外，結合圖4（a），令φ1=φ0，φ2=φ0?π/2，可以得到位于第一、三象限且與X′軸夾角為φ0的“光針”；令φ2=φ0，φ1=φ0+π/2，可得到位于第二、四象限且與Y′軸夾角為φ0的“光針”。因此，該方案可以在傅里葉面得到任意高度及角度的“光針”，可以有效提高光學渦旋拓撲荷的檢測范圍，對于艾里渦旋光束中光學渦旋拓撲荷的檢測具有重要的意義。

圖6 艾里渦旋光束中光學渦旋拓撲荷的測量Fig.6 Measurement of the topological charge of OV embedded in Airy-vortex beam

艾里光束在自由空間傳輸過程中具有自加速效應，表現(xiàn)在式（2）中s?（z/2）2項，其主瓣沿拋物線軌跡運動。為了驗證該復合光場經過拆解調控之后仍然保留艾里光束的無衍射、自加速傳播特性，分別選取圖4（b），圖4（g）中的復合光場在不同傳播距離處的強度剖面，如圖7（a）和（b）所示，傳播距離Δz分別為0 cm（傅里葉平面）、2 cm、6 cm、10 cm，其中小圖代表相應的數(shù)值模擬結果。該復合光場沿拋物線軌跡傳輸，并且傳輸方向與兩邊瓣的旋轉角滿足［27］：Y=［（cosφ1-sinφ2）/（sinφ1+cosφ2）］X。因此，通過改變兩邊瓣之間的夾角，可以使艾里光束沿任意拋物線軌跡和傳播方向運動。同時，根據邊瓣夾角的變化，艾里光束的強度分布在傳輸過程中不再保持兩個完整的邊瓣，即主瓣位置發(fā)生分裂，形成兩個焦散面C1、C2。當邊瓣夾角為鈍角時，C2能量逐漸轉移到C1，一定距離后C2消失，C1變得尖銳，當邊瓣夾角為銳角時，情況與之相反。值得注意的是，當邊瓣夾角為π/2 時，其傳輸過程與傳統(tǒng)艾里光束相同，主瓣不會發(fā)生分裂，并且沿著相應的方向傳輸。圖7（c）表示調控后的艾里渦旋光束［圖5（a）］在傳播過程中的強度剖面，由于艾里主瓣和光學渦旋的移動速率不同［37］，隨著距離的增加，艾里光束的主瓣與光學渦旋分離，其中綠色虛線表示艾里主瓣的移動軌跡，藍色實線表示光學渦旋的變化軌跡。實驗結果表明，基于多坐標變換技術，可以自由調控艾里渦旋光束的兩條邊瓣方向，并且一定程度上保留艾里光束的無衍射、自加速能力，并以此來調控其傳輸過程中的拋物線軌跡及傳輸方向。

圖7 不同光場在傳播距離Δz=0，2，6，10 cm 的強度剖面Fig.7 Intensity profiles of the corresponding figures at propagation distance at Δz=0，2，6，10 cm

3 結論

基于多坐標變換技術，為艾里渦旋光束的不同組成光束建立了額外的坐標系，實現(xiàn)了復合光場的拆解。然后依次對一維艾里光束、二維艾里光束以及艾里渦旋光束進行了極坐標系、直角坐標系和橢圓坐標系之間的變換，實現(xiàn)了艾里光束的兩個邊瓣和嵌入的光學渦旋的獨立調控，并分別推導了變換后的光場相位分布函數(shù)。在實驗中產生了兩邊瓣夾角不限于π/2 的準艾里光束，可以使調控后的光束沿任意拋物線軌跡及傳播方向運動，并分析了其不同情況下的傳播特性，實驗結果與理論分析吻合。此外，根據兩邊瓣方向相反時的相位分布函數(shù)，通過添加位移因子，提出了一種光學渦旋拓撲荷的原位測量方法，該方法可以在不需要額外光學元件的情況下原位測定嵌入渦旋的拓撲荷，并且不受環(huán)境振動和寄生干擾的影響。通過對艾里渦旋光束的組合與拆解，實現(xiàn)了該復合光場在多空間維度的自由調控。該方案促進了艾里渦旋光束在微粒捕獲和光學清掃等領域的應用。同時該方案具有普適性，可以為其它復合光場的調控提供新的解決思路。