寬頻近零等效介電常數(shù)超材料及其在光場調(diào)控中的應(yīng)用（特邀）

孫磊，汪國平

（深圳大學(xué)微納光電子學(xué)研究院，廣東深圳518060）

0 引言

電磁超材料（electromagnetic metamaterials）是一類由人造亞波長微結(jié)構(gòu)按照特定空間排布組合而成的人工材料［1，2］。其以異于天然材料的獨特光學(xué)性質(zhì)在近數(shù)十年間伴隨著納米技術(shù)的發(fā)展逐漸成為物理研究和工程研發(fā)的熱點，在負折射［3-5］、電磁隱身［6］、光速操控［7］、拓撲相變［8］、信息存儲［9］、全光計算［10-11］等方面開辟了嶄新的應(yīng)用前景［12-14］。因為構(gòu)成電磁超材料的微結(jié)構(gòu)尺寸遠小于光波波長，所以電磁超材料在與光場相互作用時可被視為具有特定等效電磁參量——等效介電常數(shù)和等效磁導(dǎo)率——的均勻材料。其中，一類具有近零等效介電常數(shù)的電磁超材料，簡稱ENZ 超材料（Epsilon-near-zero Metamaterials）脫穎而出［15-19］。因為具有近零等效介電常數(shù)，ENZ 超材料在與電磁場相互作用時會使得電磁場中相互耦合的電場分量和磁場分量分解為相互獨立的場分量；并將電磁場的時間參量（頻率）和空間參量（波長）分解為各自獨立的參量。形象的講，由于ENZ 超材料的近零等效介電常數(shù)使得超材料的等效折射率趨近于零，所以當電磁波在ENZ 超材料中傳播時具有近乎于零的相位變化和趨近于無窮的相速度。因此，ENZ 超材料通過與光場奇特的相互作用實現(xiàn)獨特的光場調(diào)控。基于此特性，ENZ 超材料在電磁隧穿［20-24］、定向電磁輻射［25-28］、邊界電磁效應(yīng)［29-33］、光陷阱［34-37］、非線性光學(xué)［38-41］、光學(xué)非對易和非局域效應(yīng)［42-45］、光摻雜［46-48］等領(lǐng)域開創(chuàng)了嶄新的研究前景，為光場調(diào)控帶來了全新的手段。

與天然材料類似，ENZ 超材料的近零等效介電常數(shù)源自于光場與材料相互作用之后的等效宏觀效應(yīng)。但是，作為人造材料，ENZ 超材料卻可以擁有更為靈活多變的構(gòu)造在不同條件下實現(xiàn)光場調(diào)控。在現(xiàn)階段研究中，最為常見的ENZ 超材料有三類典型的構(gòu)造。第一類是由ENGHETA N 所提出的波導(dǎo)構(gòu)造——利用波導(dǎo)的截止頻率實現(xiàn)ENZ 響應(yīng)［49-51］；第二類是由CHAN C T 提出的光子晶體構(gòu)造——利用光子晶體中Dirac 點實現(xiàn)ENZ 響應(yīng)［52-55］；第三類是基于等效介質(zhì)理論［56-57］在準靜態(tài)條件下利用介電常數(shù)正負互補原理實現(xiàn)ENZ 響應(yīng)。由于原理的限制，上述三類構(gòu)造的ENZ 超材料研究都局限在單一工作頻率，并且對激勵條件有嚴格的限制，例如入射光必須滿足特定的偏振態(tài)和特定的入射角等。這個局限限制了現(xiàn)有ENZ 超材料的應(yīng)用潛力，同時也寓意了在ENZ 超材料的理論研究上也需進一步拓展。如何突破這個局限，實現(xiàn)多頻點／寬頻域、多種激勵模式下的ENZ 響應(yīng)，核心在于通過探索ENZ 超材料物質(zhì)特性和微觀結(jié)構(gòu)在不同激勵條件實現(xiàn)ENZ 響應(yīng)的物理原理。在此方面，CHEN K-R 和GONCHARENKO A V 做出了初步的探索。兩位學(xué)者以Maxwell-Garnett 等效介質(zhì)理論為理論基礎(chǔ)采用優(yōu)化算法證明了在金屬—介質(zhì)復(fù)合材料中通過合理調(diào)配組分比例和微觀結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)寬頻域的ENZ 響應(yīng)［59-62］。此項研究的核心首先在于如何根據(jù)寬頻ENZ 超材料的物質(zhì)特性和微觀結(jié)構(gòu)在特定激勵條件下合理構(gòu)建出描述其等效介電常數(shù)的目標函數(shù)；其次，利用計算機對目標函數(shù)進行大規(guī)模的優(yōu)選計算獲得具有寬頻ENZ 響應(yīng)的最優(yōu)解。兩位學(xué)者的研究在理論上成功的展示了實現(xiàn)寬頻ENZ 超材料的可行，但是研究沒有揭示寬頻ENZ 超材料的物理原理，因此在面對超材料眾多的組分材料和多變的微觀結(jié)構(gòu)時不能靈活實現(xiàn)對寬頻ENZ 超材料的設(shè)計。

面對上述問題，本文系統(tǒng)總結(jié)了基于等效介質(zhì)譜表述理論設(shè)計寬頻ENZ 超材料的嚴格理論，并探討寬頻ENZ 超材料在光場調(diào)控中的潛在應(yīng)用［63-69］。這里的譜表述理論是指由色列特拉維夫大學(xué)（Tel-Aviv University）BERGMAN D J 和猶他大學(xué)（University of Utah）MILTON G W 提出并建立的一套研究復(fù)合材料宏觀性質(zhì)的一般性理論［70-75］。在這套理論中，通過對復(fù)合材料的組分材料和微觀結(jié)構(gòu)分別引入材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)函數(shù)的方式得到描述復(fù)合材料宏觀物理性質(zhì)的本征方程，并由方程確定復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)譜。于是，復(fù)合材料的宏觀性質(zhì)參數(shù)（包括等效介電常數(shù)、等效電導(dǎo)率、等效熱傳導(dǎo)系數(shù)等），以及對應(yīng)的物理場（包括電磁場、熱場等）分布都可以表示為結(jié)構(gòu)譜的展開形式。譜表述理論分離了復(fù)合材料各組分的物質(zhì)特性與微觀結(jié)構(gòu)，使得系統(tǒng)探討此二者與復(fù)合材料宏觀性質(zhì)參數(shù)之間的關(guān)系成為了可能。此外，因為宏觀性質(zhì)參數(shù)的譜展開形式僅在數(shù)值計算時保留了截斷近似，所以譜表述理論作為第一性原理理論具有很高的精度。因此，除了在研究復(fù)合材料宏觀物理性質(zhì)方面，譜表述理論還被廣泛運用于電流變液、非線性光學(xué)、納米等離子體波、納米透鏡等相關(guān)領(lǐng)域的研究［76］?；诘刃Ы殡姵?shù)譜表述理論的上述優(yōu)點，將譜表述理論引入ENZ 超材料的研究，可以有效的解決一系列與ENZ 超材料物理原理緊密相關(guān)的問題，包括超材料組分材料的物質(zhì)特性和微觀結(jié)構(gòu)如何決定了ENZ 響應(yīng)頻率和激勵條件、微觀結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)函數(shù)如何一一對應(yīng)、結(jié)構(gòu)函數(shù)如何反映不同微觀結(jié)構(gòu)之間的相互作用等，從而在不同激勵條件下靈活多變的構(gòu)建寬頻ENZ 超材料。本文首先構(gòu)建了以二元復(fù)合材料常見的4 類微觀結(jié)構(gòu)相互嵌合而成的超晶格結(jié)構(gòu)為微觀結(jié)構(gòu)的金屬—介質(zhì)超材料的等效介電常數(shù)的譜表述理論。其次，在此基礎(chǔ)上建構(gòu)寬頻ENZ 超材料等效介電常數(shù)從譜空間到物理空間的映射關(guān)系。通過獲得寬頻ENZ 響應(yīng)與組分材料物理特性和微觀結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)在不同激勵條件下寬頻ENZ 超材料的理論模型。再次，利用對超晶格結(jié)構(gòu)的本征模式分析揭示寬頻ENZ 超材料的物理原理。最后，利用有限元仿真探討寬頻ENZ 超材料在光場調(diào)控中的潛在應(yīng)用。

1 等效介電常數(shù)的譜表述理論

利用電磁超材料實現(xiàn)光場調(diào)控其實質(zhì)是探討復(fù)合材料與光場相互作用的問題。當復(fù)合材料的微觀結(jié)構(gòu)遠小于光波波長時，復(fù)合材料可以看作均勻材料。此時，其電磁特性可以由一系列等效的電磁參量——如等效介電常數(shù)、等效磁導(dǎo)率、等效電導(dǎo)率等——所描述。由此，如何根據(jù)復(fù)合材料各個組分的物理特性和微觀結(jié)構(gòu)，以及外部物理場的分布等已知條件，準確求解材料的等效電磁參量便成為理論物理研究的一個課題。在此方面，色列特拉維夫大學(xué)的BERGMAN D J 提出并與猶他大學(xué)MILTON G W 合作發(fā)展了一套求解復(fù)合材料Maxwell 方程組的理論方法——復(fù)合材料等效介電常數(shù)的譜表述理論。對于二元復(fù)合材料，譜表述理論可以給出其等效介電常數(shù)的解析性質(zhì)，清晰展示等效介電常數(shù)與材料組分的物質(zhì)特性與微觀結(jié)構(gòu)的關(guān)系。因此，譜表述理論是研究寬頻ENZ 超材料強有力的工具。

1.1 Bergman-Milton 譜表述理論

在BERGMAN D J 所提出的Bergman 譜表述理論中，對于由兩種材料——介電常數(shù)分別為ε1和ε2——構(gòu)成的二元復(fù)合材料，通過定義僅與組分材料物特性相關(guān)的材料參數(shù)

其等效介電常數(shù)εe即可以直接表述為

式中，參數(shù)Fi是復(fù)合材料的譜密度，參數(shù)si是與譜密度對應(yīng)的本征值——因為當物質(zhì)參數(shù)取值與本征值相等時，式（2）的取值趨于無窮大，所以本征值也稱作極點。譜密度Fi和極點si統(tǒng)稱復(fù)合材料的Bergman 譜。由復(fù)合材料的Maxwell 方程可知，譜密度和奇點的取值分別受限于條件0 ＜Fi＜1 和0 ≤si≤1。而其具體的取值則完全取決于復(fù)合材料的微觀結(jié)構(gòu)。其中，譜密度Fi與復(fù)合材料中組分ε1的體積分數(shù)p1還滿足關(guān)系式（3）。

由此可以看出，Bergman 譜表述理論的首要特點便是，在復(fù)合材料的等效介電常數(shù)的表達式中實現(xiàn)了材料參數(shù)和微觀結(jié)構(gòu)的分離。此外，Bergman 譜表述理論給出了復(fù)合材料等效介電常數(shù)的解析表達式，是進一步分析復(fù)合材料電磁特性的基礎(chǔ)。

另一方面，MILTON G W 亦提出了相似的表述——Milton 譜表述理論。利用相同定義的材料參數(shù)，同一復(fù)合材料的等效介電常數(shù)在Milton 譜表述理論中可以寫作

式中，參數(shù)zi和si分別稱為零點和極點。它們共同構(gòu)成了復(fù)合材料的Milton 譜，并同樣完全由復(fù)合材料的微觀結(jié)構(gòu)所決定。相較于Bergman 譜表述理論，Milton 譜表述理論有著與之相同的優(yōu)點——復(fù)合材料等效介電常數(shù)的解析表達式。此外，Milton 譜表述理論對Milton 譜還給出了更為詳細的取值限定，即

并且，Milton 譜(zi，si) 與復(fù)合材料中組分ε1的體積分數(shù)p1也相互聯(lián)系

雖然，Bergman 與Milton 譜表述理論具有不同的數(shù)學(xué)形式，但是，通過引入恒等式

可以證明Bergman 與Milton 譜表述在數(shù)學(xué)形式上是完全一致。其中，Bergman 譜表述理論中的譜密度與Milton 表述中的零點和奇點可以通過關(guān)系式（8）相互轉(zhuǎn)化。

其次，進一步的研究表明，當Milton 譜表述理論中的零點—奇點序列滿足式（5）的條件時，由式（8）所得出的譜密度嚴格滿足0 ＜Fi＜1 的限定。并且，利用恒等式（9）

亦可以證明，由式（8）所聯(lián)系的譜密度與零點—奇點序列完全滿足式（3）與（6）所提出的物理條件。綜合以上結(jié)論，我們嚴格證明了Bergman 譜表述理論與Milton 譜表述理論的全同性。此結(jié)果將是研究寬頻ENZ 超材料的理論基礎(chǔ)。

1.2 典型微觀結(jié)構(gòu)的譜表述理論

利用Bergman-Milton 譜表述理論，可以分析具有典型微觀結(jié)構(gòu)的二元復(fù)合材料的等效介電常數(shù)的譜表述形式。根據(jù)兩位學(xué)者的研究，把可以準確計算等效介電常數(shù)的典型微觀結(jié)構(gòu)分為4 類（Type I、II、III 和IV），如圖1所示。

圖1 可準確確定等效介電常數(shù)的4 類典型微觀結(jié)構(gòu)Fig.1 Typical microstructures of accurately determined effective permittivity

Type I 結(jié)構(gòu)一般稱為層狀結(jié)構(gòu)。在外場的激勵下，此結(jié)構(gòu)的等效介電常數(shù)由一維Maxwell-Garnett 公式［77，78］準確給出，即

其對應(yīng)的Bergman 譜表述形式與Milton 譜表述形式可分別寫作

此微觀結(jié)構(gòu)的Bergman 譜密度是F1=p1，而Milton 零點—極點序列是

Type II 結(jié)構(gòu)一般稱為柱狀結(jié)構(gòu)，或縱向?qū)訝罱Y(jié)構(gòu)。在外場的激勵下，此結(jié)構(gòu)的等效介電常數(shù)為

其對應(yīng)的Bergman 和Milton 譜表述形式分別是

此微觀結(jié)構(gòu)的Bergman 譜密度是F1=p1，而Milton 零點—極點序列是

Type III 和IV 結(jié)構(gòu)統(tǒng)稱Hahsin-Shtrikman 結(jié)構(gòu)［79］。簡單而言，Hahsin-Shtrikman 結(jié)構(gòu)是由兩種組分材料按照固定體積比所構(gòu)成的不同尺寸的同軸殼層圓柱（或同心殼層球）密集堆砌所形成的一種理想結(jié)構(gòu)。兩類結(jié)構(gòu)的唯一區(qū)別是組分材料在同軸殼層圓柱（或同心殼層球）的分布位置不同。根據(jù)Maxwell-Garnett理論，對于Type III Hahsin-Shtrikman 結(jié)構(gòu)的等效介電常數(shù)滿足

式中，參數(shù)D=2 和3，分別對應(yīng)結(jié)構(gòu)的維度。其對應(yīng)的Bergman 和Milton 譜表述形式分別是

其Bergman 譜密度是F1=p1，而Milton 零點—極點序列是

與此對應(yīng)的是Type IV Hahsin-Shtrikman 結(jié)構(gòu)的等效介電常數(shù)可以由式（22）獲得

其Bergman 和Milton 譜表述形式分別是

由此可以看出，雖然Type III 和IV 微觀結(jié)構(gòu)類似，但是卻具有截然不同的譜表述形式。表明了兩者的等效介電常數(shù)具有完全不同物理特性，屬于不同的拓撲構(gòu)型。這一點也是Bergman-Milton 譜表述理論的最為突出的優(yōu)點之一。

至此，我們簡要介紹了等效介電常數(shù)的Bergman-Milton 譜表述理論，和4 類可準確求解等效介電常數(shù)的微觀結(jié)構(gòu)的譜表述形式即特點。以上的理論結(jié)果將是我們研究寬頻ENZ 超材料的理論基礎(chǔ)。

2 寬頻ENZ 超材料的設(shè)計理論

Bergman-Milton 譜表述理論在描述復(fù)合材料的等效介電常數(shù)上實現(xiàn)了物質(zhì)參數(shù)與微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)的分離。此舉不僅簡化了計算過程，也使得在復(fù)合材料微觀結(jié)構(gòu)信息不完善的情況下確定材料的等效介電常數(shù)取值范圍的問題成為可能。在以下章節(jié)中，我們將探討利用Bergman-Milton 譜表述理論的這一特點實現(xiàn)寬頻ENZ 超材料的理論設(shè)計。

2.1 寬頻ENZ 超材料的譜表述

在上文中，我們證明了Bergman 譜表述理論與Milton 譜表述理論之間相互等價的關(guān)系。但就僅在譜表述空間中研究寬頻ENZ 超材料的等效介電常數(shù)的特性而言，Milton 譜表述理論的表述方式更為簡潔?？疾煊山饘俸徒橘|(zhì)兩種物質(zhì)復(fù)合而成的二元復(fù)合材料。在光學(xué)波段，金屬的介電常數(shù)εm(ω) 是隨頻率變化的函數(shù)，而介質(zhì)的介電常數(shù)εd可視為常數(shù)。由此，我們定義如下此種金屬—介質(zhì)復(fù)合材料的材料參數(shù)

而其無疑也是頻率的函數(shù)。利用此材料參數(shù)，在復(fù)合材料的微觀結(jié)構(gòu)不明確的情況下，Milton 譜表述理論所給出的復(fù)合材料等效介電常數(shù)的可能取值可以寫作

其包含的零點—極點序列，依舊滿足式（5）的限定。由此，可以得出，在給定了金屬和介質(zhì)的物質(zhì)特性之后，材料參數(shù)滿足0 ＜Re(s(ω)) ＜1 的頻段范圍即是此種金屬—介質(zhì)復(fù)合材料實現(xiàn)寬頻ENZ 超材料的工作頻域。同時，根據(jù)量綱分析，還可以得知上述表達式中的零點和極點應(yīng)該與材料參數(shù)具有相同的量綱。因此，通過在寬頻ENZ 超材料的工作頻域內(nèi)定義

來確定Milton 譜表述理論中的零點—極點序列的取值。其中，頻點ωi是在寬頻ENZ 超材料工作頻域內(nèi)任意選取的頻率序列。并且，與零點對應(yīng)的頻點和與極點對應(yīng)的頻點交錯分布，以滿足Milton 譜表述理論中對零點—極點序列取值的要求。

至此，我們可以看出，通過選取Milton 譜表述理論為寬頻ENZ 超材料等效介電常數(shù)的表述形式，可以在僅有超材料組分材料物理特性信息的情況下，無需任何理論推演即能回答實現(xiàn)寬頻ENZ 超材料的三個核心問題：1）寬頻ENZ 超材料的組分材料應(yīng)該滿足什么物理特性；2）在選定組分材料的條件下，寬頻ENZ 超材料可能的工作頻域如何確定；3）在可能的工作頻域內(nèi)，如何確定譜表述零點—極點序列的取值。因此，譜表述理論的引入在一定程度上減少了優(yōu)化算法的盲目性。而如何利用寬頻ENZ 超材料的譜表述理論逆向獲得其微觀結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)，則是譜表述理論逆問題需要解決的問題。

2.2 寬頻ENZ 超材料的譜表述逆問題

根據(jù)前文分析結(jié)果可以清晰看到，具有單一常見微觀結(jié)構(gòu)的二元復(fù)合材料僅能實現(xiàn)單一頻點的ENZ 響應(yīng)。因此，要實現(xiàn)寬頻ENZ 超材料，必須采用多種微觀結(jié)構(gòu)相互嵌合的超晶格結(jié)構(gòu)。利用超晶格結(jié)構(gòu)中的原胞在不同頻點上實現(xiàn)單頻ENZ 響應(yīng)，再通過原胞之間的相互耦合獲得寬頻ENZ 特性。我們的研究發(fā)現(xiàn)，能獲得寬頻ENZ 響應(yīng)的超晶格結(jié)果有兩種基本構(gòu)型。第一種基本構(gòu)型，超晶格以Type I 結(jié)構(gòu)為整體架構(gòu)，內(nèi)部原胞則可以以Type II、III 和IV 結(jié)構(gòu)中的任意一種為微觀結(jié)構(gòu)。第二種基本構(gòu)型，超晶格以Type II 結(jié)構(gòu)為整體架構(gòu)，內(nèi)部原胞則可以以Type I、III 和IV 結(jié)構(gòu)中的任意一種作為微觀結(jié)構(gòu)。下面我們以Type I 結(jié)構(gòu)為超晶格整體架構(gòu)、Type II 結(jié)構(gòu)為原胞微結(jié)構(gòu)為例（圖2），展示金屬—介質(zhì)寬頻ENZ 超材料譜表述逆問題的構(gòu)建與解析求解。

圖2 Type I-II 超晶格結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of the Type I-II superlattice

首先，考慮以Type II 結(jié)構(gòu)為微觀結(jié)構(gòu)的金屬—介質(zhì)原胞的等效介電常數(shù)。根據(jù)等效介質(zhì)理論，其等效介電常數(shù)的Milton 譜表述形式為

式中，材料參數(shù)沿用式（26）的定義；上指標i代表超晶格中原胞的編號。其次，考慮由N個上述原胞按照Type I 結(jié)構(gòu)組成的超晶格結(jié)構(gòu)，其等效介電常數(shù)根據(jù)等效介質(zhì)理論可表述為

在式（31）中，參數(shù)di是每一個原胞在超晶格中的體積比，所以其必須滿足的限定條件。

在另一方面，若直接從Milton 譜表述理論出發(fā)，此超晶格結(jié)構(gòu)的等效介電常數(shù)亦可以由表達式（32）直接決定。

因為式（31）與（32）對應(yīng)著同一結(jié)構(gòu)，所以兩者必然相等。據(jù)此可得

顯而易見，式（33）與（34）展示了超晶格每個原胞中的金屬體積比與Milton 譜零點之間一一對應(yīng)的關(guān)系，即

而每個原胞在超晶格中的體積比則由Milton 譜中的零點—極點序列按照關(guān)系（36）逐一確定。

值得注意的是，式（35）與（36）僅僅給出了金屬體積比和原胞體積比的解析表達式，但是表達式的數(shù)值結(jié)果是否具有合理的物理意義還需要進一步討論。首先，金屬體積比和原胞體積比必須各自滿足0 ≤和0 ≤di≤1?？梢宰C明，Milton 譜表述理論中對零點—極點序列取值的要求——式（5）——可以使式（35）和（36）所給出的體積比自動滿足上述要求。其次，對于原胞體積比還有更強的限定，即

對此，再次利用式（7）中的恒等式，式（37）可以簡化為

結(jié)合式（5）中，Milton 譜表述理論自身對零點—極點序列的要求，容易得出，僅需要第一極點滿足s1≡0 則由式（35）和（36）所確定的體積比則具有了合理的物理意義。

至此，利用寬頻ENZ 超材料的Milton 譜表述形式，我們實現(xiàn)了先在譜表述空間確定寬頻ENZ 超材料的等效介電常數(shù)和工作頻域，再根據(jù)寬頻ENZ 超材料等效介電常數(shù)的微觀結(jié)構(gòu)表述與Milton 譜表述構(gòu)建逆問題，最后通過引入恒等式，由逆問題獲得寬頻ENZ 超材料微觀結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)。此理論方法完美解決了優(yōu)化算法的弊端，同時在譜空間解釋了超材料獲得寬頻ENZ 特性的物理原理。此方法對前文中所提及的兩種寬頻ENZ 超材料超晶格基本構(gòu)型均可獲得嚴格的解析解，具有很好的普適性。

2.3 寬頻ENZ 超材料的構(gòu)建

Milton 譜表述理論所構(gòu)建的逆問題通過譜空間中零點—極點序列與物理空間微觀結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)一一對應(yīng)的關(guān)系實現(xiàn)了對寬頻ENZ 超材料微觀結(jié)構(gòu)的嚴格求解。此方法適用于上文所提及的寬頻ENZ 超材料的兩類基本構(gòu)型。在本節(jié)中，我們以較為復(fù)雜的Type I 和IV 結(jié)構(gòu)為例——圖3（a），展示在二維空間中如何構(gòu)建寬頻ENZ 超材料。

與前一節(jié)中逆問題相仿，當以Type I 結(jié)構(gòu)為超晶格整體架構(gòu)，結(jié)合Type IV 結(jié)構(gòu)內(nèi)部原胞構(gòu)架時，超晶格所對應(yīng)的逆問題可以寫作

由此可以得到，超晶格微觀結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)與零點—極點序列形式上滿足關(guān)系

而為了符合幾何參數(shù)的物理意義，上述零點—極點序列還必須滿足以下限制條件

以上述理論結(jié)果為基礎(chǔ)，取銀為金屬組分、空氣為介質(zhì)組分，822.194 THz 至891.268 THz 為寬頻ENZ超材料工作頻域，可以得出由4 個具有第四類Hashin-Shtrikman 結(jié)構(gòu)原胞按第一類結(jié)構(gòu)組合而成的超晶格寬頻ENZ 超材料的幾何參數(shù)見表1。

表1 原胞微觀結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)Table 1 Geometric parameters of the unit cell

根據(jù)表1 中的數(shù)據(jù)，結(jié)合前面的公式，可以算出逆問題所確定的超晶格在工作頻域中等效介電常數(shù)的理論值。另一方面，對于所設(shè)定的工作頻域，在長波近似的條件下通過取定超晶格整體幾何尺寸為ax×ay×hz=1 nm×10 nm×65 nm，則可以利用有限元數(shù)值模擬獲得得到超晶格結(jié)構(gòu)在工作頻域內(nèi)的反射系數(shù)與透射系數(shù)（散射參數(shù)，S參數(shù)）。再根據(jù)散射參數(shù)的幅值和相位在不同頻率的取值，結(jié)合超晶格整體幾何尺寸，即可反算出超晶格的在光波激勵下的等效介電常數(shù)，簡稱散射等效介電常數(shù)（散射值），并與理論值比較。

由圖3（b）可以清晰看出，等效介電常數(shù)的理論值（實線族）與散射值（虛線族）在所設(shè)計的工作頻域內(nèi)有很高的吻合度。但是，因為光波在超晶格表面的散射效應(yīng)沒有被譜表述理論所考慮，所以理論值與模擬值有一定的偏差。為了避免這一影響，借助有限元數(shù)值模擬，可以計算出超晶格在不同頻率下的本征模式，及每個模式對應(yīng)的等效介電常數(shù)——模式等效介電常數(shù)（空心圓）。對比模式等效介電常數(shù)和理論值可以看出，兩者完全一致。此結(jié)果的原因是由于在本征模式分析中，光波在超晶格表面的散射并沒有被計算在其中，所以模式等效介電常數(shù)與理論值完美匹配。由此可見，電磁波在超晶格結(jié)構(gòu)上的散射和其他相關(guān)效應(yīng)——光學(xué)非局域效應(yīng)——對超晶格等效介電常數(shù)的影響在寬頻ENZ 超材料設(shè)計中需要額外考慮。此外，圖3（c）展示了超晶格在等效介電常數(shù)等于零的五個頻點處的本征模式?？梢钥闯觯S著頻率的變化，光場能量的最強值分布依次出現(xiàn)在超晶格的各個原胞中。此結(jié)果形象的展示了寬頻ENZ 響應(yīng)的物理原理——整個超晶格可以看作是一組相互耦合波導(dǎo)。其中，每一支波導(dǎo)工作在其對應(yīng)的ENZ 頻點。通過波導(dǎo)之間相互的耦合，超晶格整體體現(xiàn)出寬頻ENZ 響應(yīng)。

圖3 Type I-IV 超晶格寬頻ENZ 超材料Fig.3 Broadband ENZ metamaterial of the Type I-IV superlattice

但是，Hashin-Shtrikman 結(jié)構(gòu)作為一種理想結(jié)構(gòu)在實驗上缺乏可操作性，所以在具體實驗中，Hashin-Shtrikman 結(jié)構(gòu)往往用更為簡單的散布結(jié)構(gòu)所替代。所謂散布結(jié)構(gòu)，是作為摻雜的組分以顆粒形態(tài)散布于作為基質(zhì)的組分之中，且摻雜組分顆粒之間不形成聯(lián)通結(jié)構(gòu)。在摻雜濃度較低的情況下，散布結(jié)構(gòu)可以很好的近似Hashin-Shtrikman 結(jié)構(gòu)。在本例中，當空氣占比滿足時，散布結(jié)構(gòu)可以很好的近似Hashin-Shtrikman 結(jié)構(gòu)的電磁特性。根據(jù)以上分析，在長波近似的條件下，可以根據(jù)表1 中的相關(guān)數(shù)據(jù)，通過在銀質(zhì)基底中刻蝕周期性排列的具有不同直徑的空氣柱，圖4（a），的方式來實現(xiàn)更具實驗操作性的寬頻ENZ 超材料。

對于此種超晶格結(jié)構(gòu)的寬頻ENZ 超材料同樣可以利用有限元數(shù)值模擬，利用計算所得的散射參數(shù)獲得超晶格等效介電常數(shù)的散射值，結(jié)果如圖4（b）和4（d）所示。從圖中結(jié)果可以看出，相對于理論值（實線族），由散射等效介電常數(shù)（虛線族）依舊能復(fù)現(xiàn)理論值的變化趨勢。但是，在細節(jié)上，兩者有較大的偏差。此偏差明顯大于理想的Hashin-Shtrikman 結(jié)構(gòu)。在比較了兩種亞波長幾何尺寸超晶格——ax×ay×hz=10 nm×1 nm×56 nm 和ax×ay×hz=20 nm×2 nm×56 nm——的散射等效介電常數(shù)的變化情況還可以看出，隨著幾何尺寸的增加散射值與理論值的偏差越發(fā)明顯。結(jié)合光學(xué)非局域效應(yīng)與微觀結(jié)構(gòu)幾何尺寸的正比關(guān)系可以推定，此偏差的來源正是散布結(jié)構(gòu)中的更為明顯的光學(xué)非局域效應(yīng)。不過，在另一方面，仍然可以利用有限元數(shù)值模擬，通過分析散布結(jié)構(gòu)超晶格的本征模式，獲得模式等效介電常數(shù)（空心圓線族）來避免光學(xué)非局域效應(yīng)對等效介電常數(shù)的影響。計算結(jié)果明顯表明在滿足長波近似的條件下，超晶格的幾何尺寸對等效介電常數(shù)的影響不大。雖然，相較于理論值而言，模式等效介電常數(shù)依舊存在一定的偏差，此種偏差來源于散布結(jié)構(gòu)對理想的Hashin-Shtrikman 結(jié)構(gòu)的近似誤差。由此可以看出，對于同一種電磁超材料，面對不同的研究目的，可以定義不同的等效介電常數(shù)。如果研究的目的在于探討光波在超材料上的散射特性，選取散射等效介電常數(shù)較為合理；如果研究的目的在于分析光波在超材料內(nèi)部的傳播特性，選取模式等效介電常數(shù)則更為合適。但是，無論以何種方式定義研究所需要的等效介電常數(shù)，以上的結(jié)果均表明我們所提出寬頻ENZ 超材料譜表述理論均能提供很好的理論模型。

圖4 具有復(fù)式周期超晶格結(jié)構(gòu)的寬頻ENZ 超材料Fig.4 Broadband ENZ metamaterial of the complex unit cell

最后，與理想的Hashin-Shtrikman 超晶格結(jié)構(gòu)類似，在散布結(jié)構(gòu)的寬頻ENZ 超材料中，利用本征模式分析依舊可以看出在超材料的工作頻域內(nèi)，隨著頻率的增加，光場能量的最大值依次出現(xiàn)在超晶格的不同原胞中，如圖圖4（c）和4（e）所示。因此，在此種情況下，散布結(jié)構(gòu)超晶格依舊可以看作一組相互耦合的波導(dǎo)。每一支光波導(dǎo)負責一個單獨的ENZ 頻點；通過其相互之間的合理耦合，超晶格整體獲得寬頻ENZ 特性。

3 寬頻ENZ 超材料在光場調(diào)控中的應(yīng)用

ENZ 超材料獨特的電磁特性使得其在光場調(diào)控中有眾多的應(yīng)用。從無源空間中時諧電磁場所滿足的Maxwell 方程組?×E=iωμH和?×H=?iωεE可以看出，隨著材料的介電常數(shù)趨近于零，材料內(nèi)部電磁場的電場分量與磁場分量將會各自獨立。例如，對于均勻且各向同性的ENZ 材料而言，上述Maxwell 方程簡化為兩個獨立的方程?2E=0 和?×H=0。此結(jié)果同時引出更加奇特的物理現(xiàn)象，即在ENZ 材料中的電磁波波長將趨近于無窮大，而電磁波相位在材料中的分布卻近似于均勻分布。上述分析沒有特別限定電磁場的頻率，因此，以上結(jié)論直接表明ENZ 材料分離了電磁場的空間變量（波長）和時間變量（頻率）。這一特性是ENZ 材料在光場調(diào)控應(yīng)用中重要的物理原理。我們設(shè)計的寬頻ENZ 超材料通過引入超晶格微觀結(jié)構(gòu)，在保持超材料ENZ 特性的前提下，有效的拓展了其工作頻域。在以下章節(jié)中，我們以第一種基本構(gòu)型的超晶格寬頻ENZ 超材料為例突出展示其在寬頻電磁隧穿和聚焦、電磁波定向發(fā)射、電磁波等相位面調(diào)制等方面的應(yīng)用。

3.1 電磁隧穿與聚焦

從ENZ 超材料的電磁特性上看，近乎于零的等效介電常數(shù)使得其本征阻抗趨近于無窮大。因此，一般情況下而言，電磁波難以進入ENZ 超材料內(nèi)部。但是，若考慮由ENZ 超材料填充的波導(dǎo)，則ENZ超材料近乎于無窮大的本征阻抗可以通過減小波導(dǎo)端口截面面積的方式實現(xiàn)端口阻抗與輸入阻抗相互匹配，從而在亞波長尺度的波導(dǎo)中實現(xiàn)光場能量的傳輸，即電磁隧穿效應(yīng)。在電磁隧穿效應(yīng)中，波導(dǎo)中的電磁波的相位保持為常數(shù)。同時，此效應(yīng)并不受波導(dǎo)幾何形狀的影響。因此，利用這一電磁效應(yīng)，可以在亞波長尺度上操控光場的行為模式，實現(xiàn)芯片級的光路集成。寬頻ENZ 超材料不僅保留了ENZ 超材料這一特性，而且由于其在工作頻段上的拓展，使得其可以在較寬的頻帶中均能實現(xiàn)電磁隧穿效應(yīng)。

以圖5 為例，圖5（a）是工作頻段位于439.3 THz 到472.2 THz 的寬頻ENZ 超材料的構(gòu)架與其等效介電常數(shù)的理論值（實線族）和散射值（虛線族）隨頻率的變化趨勢。以位于其工作頻段中的頻點455 THz 為例，圖5（b）是其引導(dǎo)光場能量穿過橫截面高度僅10 nm 的二維亞波長波導(dǎo)。圖中，光波在穿過波導(dǎo)前后的電磁場分布清晰可見。由于材料自身損耗，光波在穿過波導(dǎo)之后能量有所下降。但是，對比相同尺寸的常規(guī)波導(dǎo)，光波則完全被常規(guī)波導(dǎo)端口反射。相似的數(shù)值模擬顯示，電磁隧穿效應(yīng)在寬頻ENZ 超材料的整個工作頻域均具有較好的體現(xiàn)，因此，寬頻ENZ 超材料在頻域上拓展了常規(guī)ENZ 超材料的應(yīng)用范圍。

圖5 電磁隧穿與聚焦Fig.5 Electromagnetic tunneling and focusing

此外，由于趨近于零的等效介電常數(shù)，使得寬頻ENZ 超材料在工作頻域內(nèi)相對于常見天然介質(zhì)都是光疏媒質(zhì)。因此，利用寬頻ENZ 超材料凹透鏡可以對光波實現(xiàn)聚焦。同時，在寬頻ENZ 超材料的工作頻域內(nèi)，其介電常數(shù)均趨近與零，所以其聚焦作用近乎于無色差，如圖5（c）所示。在圖中，利用寬頻ENZ 超材料凹透鏡結(jié)構(gòu)，在工作頻域內(nèi)的455 THz 和470 THz 兩個頻點上，此凹透鏡結(jié)構(gòu)均能在近乎同一焦點實現(xiàn)聚焦作用，體現(xiàn)了寬頻ENZ 超材料在消色差上的應(yīng)用潛力。

3.2 電磁波定向發(fā)射

電磁輻射理論指出，高指向性電磁輻射的前提是足夠長的波長和均勻的相位和振幅分布。而在ENZ 超材料中傳播的光場正好滿足以上條件——趨于無窮的波長、一致的相位和均勻的振幅。那么，考察ENZ 超材料與外界的分界面，由于在ENZ 超材料內(nèi)部的光場在界面處具有一致的相位，這使得只有那些平行界面法向方向傳播的電磁波才可能在ENZ 超材料外部被激發(fā)，從而產(chǎn)生垂直與界面切面的高度定向發(fā)射光場。

作為寬頻ENZ 超材料，由于其等效介電常數(shù)在工作頻域中都接近于零，因此，理論上可以通過改變超材料與外接分界面的朝向，實現(xiàn)寬頻段高指向性電磁波發(fā)射。為此，我們設(shè)計了具有圖6（a）所示超晶格原胞的寬頻ENZ 超材料。與此原胞對應(yīng)的等效介電常數(shù)，理論值（實線族）和散射值（虛線族），隨頻率的分布顯示，其工作頻段大致始于537.42 THz，止于589.62 THz。其中，在5 個特定的工作頻點上，其等效介電常數(shù)實部嚴格等于零。以寬頻ENZ 超材料第一工作頻點537.42 THz 為例，圖6（b）是利用寬頻ENZ 超材料超晶格原胞拼合而成的具有15°傾角的楔形光學(xué)器件在電磁波定向發(fā)射中的應(yīng)用。圖中清晰展示了一束高斯光由楔形光學(xué)器件底部以正入射的方式進入器件。由于寬頻ENZ 超材料在工作頻點具有近零的介電常數(shù)使得光場在其內(nèi)部的相位變化近乎于零。當電磁波由楔形光學(xué)器件上表面出射時具有幾乎垂直于具有15°傾角上表面的發(fā)射方向，符合前文中理論分析的結(jié)果。而在發(fā)射方向上的微弱偏差則來自于材料損耗的影響。對比用均勻的等效介質(zhì)構(gòu)建的具有相同幾何尺寸與相同等效介電常數(shù)的楔形光學(xué)器件，計算結(jié)果相同，印證了寬頻ENZ 超材料譜表述理論的準確性。如圖6（c）所示，更進一步的研究表明，在對比了電磁波出射角度的理論值（實線）、均勻等效介質(zhì)楔形件模擬值（實心點）和寬頻ENZ 超材料楔形件模擬值（空心圓）之后，我們可以得出在寬頻ENZ 超材料整個工作頻域中出射的電磁波均具有近似相等的出射角度。并且，電磁波出射角度的變化與寬頻ENZ 超材料等效介電常數(shù)的變化趨勢也相互吻合。因此，寬頻ENZ 超材料在應(yīng)用上拓展了單一工作頻率ENZ 超材料的工作頻段，理論上實現(xiàn)了寬頻域中的電磁波定向調(diào)控。

圖6 電磁波定向發(fā)射Fig.6 Electromagnetic directional emission

3.3 電磁波波前調(diào)制

因為ENZ 超材料近零的等效介電常數(shù)使得在其中傳播的光場具有一致的相位，所以由ENZ 超材料內(nèi)部向外輻射的電磁波必須沿界面的法線方向。利用此特性，理論上可以實現(xiàn)高定向性電磁波發(fā)射。此外，利用此特性，結(jié)合ENZ 超材料表面的幾何曲面還可以實現(xiàn)對電磁波等相位面形狀實現(xiàn)調(diào)制——波前調(diào)制。由于出射電磁波的等相位面理論上會與ENZ 超材料表面的曲面完全一致，因此，僅利用超材料多變的表面形狀，可以輕易實現(xiàn)極為復(fù)雜的波前調(diào)制。同時，結(jié)合寬頻ENZ 超材料拓寬的工作頻域，這一應(yīng)用可以在特定頻域中得以實現(xiàn)。

以前文定向發(fā)射中的寬頻ENZ 超材料原胞為例，圖7（a）是在原胞第一工作頻點537.42 THz 處對出射電磁波波前的調(diào)制。在圖7 中，采用寬頻ENZ 超材料原胞相互拼接的方式搭建了具有S 形上表面的調(diào)制器，其中S 曲面的曲率半徑為R=3 μm。同時，還利用均勻的等效介質(zhì)構(gòu)建了具有相同幾何結(jié)構(gòu)的理想器件作為對比。從數(shù)值模擬的結(jié)構(gòu)可以看出，當高斯光束以正入射的方式從兩個器件底部入射進入器件之后，在器件內(nèi)部的相位變化都趨近于零，即材料的損耗會使得相位有微小的變化。器件內(nèi)部一致的相位分布使得從器件上表面出射的電磁波等相位面形狀與器件S 形上表面吻合。以此實現(xiàn)對電磁波波前的調(diào)制。

為了凸顯寬頻ENZ 超材料在工作頻域上的優(yōu)勢，圖7（b）展示了在超材料整個工作頻域之內(nèi)對電磁波波前調(diào)制的效能。圖中，我們在寬頻ENZ 超材料工作頻域中多個頻點處計算了電磁波從均勻等效介質(zhì)調(diào)制器（實心點）和寬頻ENZ 超材料調(diào)制器（空心圓）上表面出射至一個波長時，等相位面形狀與調(diào)制器S 形表面的偏差值。結(jié)果顯示在寬頻ENZ 超材料的工作頻域內(nèi)，出射電磁波波前均能較好的吻合器件的S 形表面。同時，偏差值隨入射電磁波頻率變化的趨勢與寬頻ENZ 超材料的等效介電常數(shù)變化趨勢也大致吻合。此結(jié)果表明寬頻ENZ 超材料可以在其工作頻域上對電磁波的波前實現(xiàn)靈活的調(diào)控，完全符合理論的預(yù)期。

圖7 電磁波波前調(diào)制Fig.7 Electromagnetic wavefront modulation

3.4 其他

除了以上典型的應(yīng)用之外，利用寬頻ENZ 超材料的物理原理，我們正在努力探索其在太赫茲波段作為頻分復(fù)用多工器／轉(zhuǎn)換器／濾波器等方面的工程應(yīng)用［80］。同時，作為ENZ 超材料中的一員，寬頻ENZ 超材料在電磁波邊界效應(yīng)、非線性光學(xué)、非對易／非局域等方面所具備的潛在的應(yīng)用前景還有待進一步的發(fā)掘研究。

4 結(jié)論

本文系統(tǒng)總結(jié)了通過等效介電常數(shù)的Bergman-Milton 譜表述理論，結(jié)合典型微觀結(jié)構(gòu)復(fù)合而成的超晶格結(jié)構(gòu)，構(gòu)建寬頻ENZ 超材料等效介電常數(shù)的譜表述理論，以此實現(xiàn)寬頻ENZ 超材料的設(shè)計，探討其在光場操控中的應(yīng)用等方面的研究成果，以期為豐富超材料的現(xiàn)有基礎(chǔ)理論，拓展超材料的應(yīng)用前景提供啟示和借鑒。