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    中文中的大小數(shù)名

    2022-02-22 03:25:38劉鈍
    語言戰(zhàn)略研究 2022年1期
    關(guān)鍵詞:記數(shù)法大數(shù)量級

    劉鈍

    [編者按]語言與數(shù)學(xué)密不可分。任何自然語言都有關(guān)于數(shù)的詞語,有各自的進位系統(tǒng);而且,數(shù)學(xué)作為一切科學(xué)的基礎(chǔ)(達爾文語),定義精準(zhǔn),推理嚴(yán)密,對語言表述(尤其是學(xué)術(shù)語言)和思維有深刻的影響。本期專欄邀請了4位數(shù)學(xué)史家,從不同的角度討論數(shù)學(xué)與語言的關(guān)系。

    本文所論之大數(shù)名和小數(shù)名,指中文中對較大和較小數(shù)值單位的特定稱謂,并不表示絕對的大小關(guān)系。如同其他早期文明一樣,中國人對大數(shù)的認(rèn)識是逐步發(fā)展的,甲骨文中最大的數(shù)詞是“萬”,雖然出現(xiàn)了“兆、京”等字,但不做數(shù)詞。先秦文獻中“億”“兆”并見,但都表示“很多”而無固定的對應(yīng)量級(后世儒生的注疏另作別論)。南北朝董泉所撰《三等數(shù)》,應(yīng)是系統(tǒng)介紹大數(shù)記法的書,可惜早已亡佚。從唐代學(xué)官把它與北周甄鸞《數(shù)術(shù)記遺》并列為輔助讀物來看,其內(nèi)容恐與《數(shù)術(shù)記遺》有相似之處,而后書中介紹的三等數(shù),正是萬以上的大數(shù)記法,原文為:

    黃帝為法,數(shù)有十等。及其用也,乃有三焉。十等者,億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載。三等者,謂上、中、下也。其下數(shù)者,十十變之,若言十萬曰億,十億曰兆,十兆曰京也。中數(shù)者,萬萬變之,若言萬萬曰億,萬萬億曰兆,萬萬兆曰京也。上數(shù)者,數(shù)窮則變,若言萬萬曰億,億億曰兆,兆兆曰京也。從億至載,終于大衍。下數(shù)淺短,計事則不盡。上數(shù)宏廓,世不可用。故其傳業(yè),惟以中數(shù)耳。

    公元400年前后成書的《孫子算經(jīng)》“大數(shù)之法”一節(jié)從“億”到“載”都從萬萬進,相當(dāng)于上述中等記數(shù)法;而“量之所起”一節(jié)從“億”到“載”都從十進,相當(dāng)于上述下等記數(shù)法。敦煌文獻中有兩種唐代算經(jīng)也涉及大數(shù)記法:其中編號為P.3349、S.0019和S.5779的3種寫經(jīng)實為同一部書,介紹的是中等記數(shù)法,不同的是“載”后還有一個單位“極”(萬萬載曰極);編號為S.0930的一種介紹的是下等記數(shù)法。

    唐代所譯佛經(jīng)中又出現(xiàn)了許多印度數(shù)名(數(shù)詞),例如實叉難陀所譯《大方廣佛華嚴(yán)經(jīng)》在“萬”后面就提到124個數(shù)名,第一個“洛叉”等于10萬,第二個“俱胝”等于1000萬,從“俱胝”開始皆按“數(shù)窮則變”的上等記數(shù)法進位,如“俱胝”個“俱胝”等于1個“阿庾多”(100萬億)。佛經(jīng)所譯數(shù)名大多佶屈聱牙,其中有些也被中國采用,成為漢語中的數(shù)詞。元代朱世杰《算學(xué)啟蒙》在“載”之后,就還有“極、恒河沙、阿僧祗、那由他、不可思議、無量數(shù)”等大數(shù)單位,大多來自佛經(jīng)。

    實際生活中,“億、兆”之后的大數(shù)很少用到,兩字連用的“億兆”通常表示很大的數(shù)目。另一方面,由于古代官方數(shù)學(xué)教育承認(rèn)“三等數(shù)”均合乎法度,人們對“億、兆”的量級就難免產(chǎn)生困惑。舉個例子,嚴(yán)復(fù)《論中國之阻力與離心力》中稱“二萬里之地,四百兆之人”,這里的“兆”相當(dāng)于百萬,“四百兆”就是“四萬萬”,其實他用的是逢十進位的“下等記數(shù)法”,即十萬為億,十億(即百萬)為兆;而我們今天所用的“億”,則是“中等記數(shù)法”的結(jié)果,即萬萬為億。

    至于小數(shù),中國古代一般借助十進制長度單位來表達,如果以尺為基本單位(相當(dāng)于數(shù)字1),以下依次為“寸、分、厘、毫、絲、忽、微”。公元3世紀(jì)數(shù)學(xué)家劉徽說:“微數(shù)無名者以為分子,其一退以十為母,其再退以百為母。退至彌下,其分彌細”,建議采取十進小數(shù)表達更小的數(shù)值單位而無須給出具體名目?!端鍟ぢ蓺v志》記祖沖之以圓徑一丈,推出“圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽”,相當(dāng)于給出3.1415926 < π < 3.1415927,所謂祖沖之將圓周率近似值精確算到小數(shù)點后第6位和第7位之間,其根據(jù)就在這里。

    南宋秦九韶《數(shù)書九章》曾用“沙、莽、輕、清、煙”等字表示十進小數(shù)。朱世杰《算學(xué)啟蒙》卷首列出大、小數(shù)名目,其小數(shù)在“微”以下還有“纖、沙”兩個單位,俱為十進(退);下面依次為“塵、埃、渺、漠、模糊、逡巡、須臾、瞬息、彈指、剎那、六德、虛、空、清、凈”,都是萬萬進(退),例如1沙等于1萬萬塵,1塵等于1萬萬埃,等等。后面那些小數(shù)名目顯然也來自佛經(jīng),不過在經(jīng)文中只是表示很小的事物或很短的時間,并無精確的數(shù)值意義。

    為了表達很大或很小的數(shù)目,近世普遍采用A × 10n形式的科學(xué)記數(shù)法,其中A為1~10之間的有理數(shù),n為整數(shù)(n為正整數(shù)則全數(shù)大于1,n為負(fù)整數(shù)則全數(shù)小于1),這樣大數(shù)或小數(shù)的量級就一目了然,既不需要大數(shù)或小數(shù)的專名,也無須借助分隔符來判斷數(shù)目的量級。舉例來說,阿伏伽德羅常數(shù)6.02214 × 1023,一看就知道是個6打頭的24位數(shù);電子的靜止質(zhì)量以千克計的數(shù)值為9.10938 × 10- 31,是一個小數(shù)點后連續(xù)30個0后才出現(xiàn)第一個有效數(shù)字9的數(shù)。

    西方許多語言中都有“千、百萬、十億、萬億”等千進位的數(shù)詞專名,現(xiàn)在通行的阿拉伯?dāng)?shù)字寫法每3位用一逗號分隔的方法,就是西方人為了辨識和誦讀大數(shù)而使用的一種手段。與此相應(yīng),當(dāng)代許多物理單位也是根據(jù)千進原則劃分量級的,如重量單位的“納克(ng,10- 9克)、微克(μg,10- 6克)、毫克(mg,10- 3克)、克(g)、公斤(kg,103克)、噸(t,106克)”,長度單位的“納米(nm,10- 9米)、微米(μm,10- 6米)、毫米(mm,10- 3米)、米(m)、千米(km,103米)”,等等。

    人類進入數(shù)字化時代之后,計算機信息技術(shù)中用于表達存儲量的單位就顯得格外重要了,一些漢字被賦予新意進入我們的日常生活,但也往往給一些人帶來困惑。比如說表示電子設(shè)備存儲量或像素大小的“兆”,就是個百萬級(106)的量,與嚴(yán)復(fù)的“四百兆之人”意思類似;而在其他場合,它又可能是萬億級(1012)或億億級(1016)的量。實際上,表達信息量的等級是按準(zhǔn)千進原則劃分的,因為進位數(shù)值210 = 1024,接近1000。信息量的基本單位是字節(jié)(Byte,簡寫作B),向上依次為千字節(jié)(KB,1024B)、兆字節(jié)(MB,10242B)、吉字節(jié)(GB,10243B)、太字節(jié)(TB,10244B)、拍字節(jié)(PB,10245B)、艾字節(jié)(EB,10246B)、澤字節(jié)(ZB,10247B)、堯字節(jié)(YB,10248B)……。堯字節(jié)中的“堯”字,已經(jīng)代表一個很大的數(shù)詞了,將其展開是1 208 925 819 614 629 174 706 176。

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