基于拓展幾何過程的冷貯備系統(tǒng)維修策略優(yōu)化

楊天樞，高文科

(蘭州理工大學 能源與動力工程學院，甘肅 蘭州 730050)

0 引言

在現(xiàn)代制造系統(tǒng)中，大多數(shù)設備或元件歷經(jīng)故障維修后其性能會有不同程度的下降，維修時間相應增加。隨著維修次數(shù)的不斷增加，其平均故障間隔時間趨于縮短，平均故障維修時間趨于增加。根據(jù)這一事實，LIN[1]和YEH[2]提出采用幾何過程來描述可修系統(tǒng)的運行與維修過程，同時分別建立了基于役齡和故障次數(shù)的更換策略優(yōu)化模型。由于幾何過程具有良好的數(shù)學模型，被廣泛應用于研究多部件系統(tǒng)、貯備系統(tǒng)維修決策優(yōu)化問題，并應用于制造系統(tǒng)、計算機網(wǎng)絡系統(tǒng)、軍事裝備、通訊網(wǎng)絡系統(tǒng)以及電力系統(tǒng)等領(lǐng)域[3-6]。

為描述不同實際對象的退化過程，幾何過程自提出以來，以制造系統(tǒng)中單部件系統(tǒng)的維修過程為研究對象，得到了不斷的完善和推廣。文獻[7-9]針對單部件系統(tǒng)，基于不同故障假設條件，提出了相應的維修策略及其優(yōu)化模型;LAM[10]介紹了一種基于幾何過程的δ-沖擊維修模型，并將該模型應用到退化系統(tǒng)和改進系統(tǒng)，分別得到了使單位時間運行成本最小化的最優(yōu)策略;黃傲林等[11]提出一種延遲幾何過程，對傳統(tǒng)的幾何過程進行了改進，建立了退化可修系統(tǒng)的成本率模型，得到了最優(yōu)的更換策略;WANG等[12]針對維修工有多重休假的可修系統(tǒng)，基于擴展幾何過程推導出更換策略下的系統(tǒng)長期運行平均成本率函數(shù)，并以此得到了最優(yōu)更換策略;WANG等[13]基于幾何過程，研究了一個簡單的可修系統(tǒng)的最優(yōu)維修更換問題，該系統(tǒng)的故障僅通過定期檢查來檢測。當系統(tǒng)出現(xiàn)故障時，由修理工進行修復，修復后的系統(tǒng)壽命呈幾何遞減，若檢測到系統(tǒng)處于工作狀態(tài)，則對系統(tǒng)進行預防性維修，預防性維修使系統(tǒng)處于工作周期開始時的狀態(tài)。YUE等[14]分別考慮檢查為定期和隨機兩種情況，對同類問題作了進一步的研究;WANG等[15]考慮到維修效果會隨著維修次數(shù)而發(fā)生改變，提出一種廣義幾何過程，并基于該過程研究了兩種維修更換模型;WU等[16]考慮到故障間隔時間之間的依賴，將幾何過程推廣到半幾何過程，并將這一新的過程與更新過程、幾何過程和廣義更新過程對比，證明了該模型優(yōu)于其他3種模型;GAO[17]根據(jù)某些可修系統(tǒng)第一次或前面多次的維修可以提高系統(tǒng)的平均故障間隔時間這一事實，提出一種帶有修復因子的拓展幾何過程，對其概率性質(zhì)進行了分析，并研究了系統(tǒng)的兩種更換策略。

在制造系統(tǒng)中，多部件系統(tǒng)普遍存在，幾何過程也被廣泛地應用于多部件系統(tǒng)。針對多部件貯備系統(tǒng)的研究中，面向兩部件系統(tǒng)的研究居多。WANG等[18]以兩部件串聯(lián)系統(tǒng)為研究對象，提出了以部件1的故障次數(shù)M和部件2的故障次數(shù)N為優(yōu)化變量的二元更換策略，并推導出單位時間運行成本的表達式，最終得到了最優(yōu)的更換模型;JIA等[19]針對由兩相同部件組成的冷貯備系統(tǒng)，在假設工作時間和維修時間為幾何過程，等待時間為更新過程的情況下，提出了基于部件1的故障次數(shù)N的更換策略;ZHANG等[20]針對具有一個維修工和兩個不同類型部件的冷貯備退化可修系統(tǒng)，建立了部件1具有優(yōu)先使用權(quán)和維修權(quán)的維修模型，并以長期運行成本率最小化為目標建立了最優(yōu)更換策略;ZHAO等[21]針對一種具有冷貯備部件的串聯(lián)可修系統(tǒng)，在假設每個部件的連續(xù)運行時間構(gòu)成幾何遞減而連續(xù)維修時間構(gòu)成幾何遞增的過程中，部件1具有優(yōu)先維修權(quán)的條件下，采用基于部件1和部件2失效次數(shù)的更換策略，得到了單位時間內(nèi)長期期望成本的顯性表達式，并給出了最優(yōu)的更換策略;ZHANG等[22]針對由于故障類型的不同使得系統(tǒng)或者部件維修后并不總是連續(xù)退化的現(xiàn)象，提出一種擴展幾何維修模型，并研究了由兩個不同部件和一個修理工組成的冷貯備可修系統(tǒng)的維修更換問題;LAM等[23]以含有一個維修工的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)為研究對象，假設每個部件連續(xù)工作次數(shù)服從遞減的幾何過程，連續(xù)維修次數(shù)服從遞增的幾何過程，更換次數(shù)構(gòu)成更新過程，最終確定了系統(tǒng)的可用性和故障發(fā)生率;ZHANG等[24]研究了一個由一個維修工和兩個不同部件組成的冷貯備系統(tǒng)，假設每個部件故障后修復延遲或未延遲，修復后的部件2“與新的一樣好”而部件1不是，但部件1在使用中具有優(yōu)先權(quán)的條件下，基于幾何過程研究了基于元件1失效次數(shù)的更換策略，并通過最小化系統(tǒng)的平均成本率確定了最佳更換策略N;G?KDERE等[25]設計了一個由兩個部件組成的退化可修系統(tǒng)，并基于幾何過程對系統(tǒng)的維修策略進行了評估;WANG等[26]提出了一種新的冷貯備系統(tǒng)維修模型，假定部件1維修后的連續(xù)工作時間服從遞減的幾何過程，維修時間間隔為常數(shù)，部件2工作期間的故障發(fā)生服從廣義波利亞過程，其維修時間忽略不計，且部件1在使用中具有優(yōu)先權(quán)，推導出了系統(tǒng)長期成本率函數(shù)，獲得了最優(yōu)更換策略。

關(guān)于擬周期維修策略，GAO等[27]考慮到更換計劃的變動和嚴重性故障對更換計劃的影響，提出一種擬周期更換策略，得到了使得維修成本最小的最優(yōu)策略;GAO等[28]考慮到隨機因素的影響，提出一種擬周期不完全預防性維修策略，并證明了最優(yōu)預防性維修策略的存在性和唯一性;高文科等[29]以同時存在Ⅰ、Ⅱ類故障相關(guān)性的兩部件并聯(lián)系統(tǒng)為研究對象，對系統(tǒng)進行可靠性建模，并提出一種擬周期預防性更換策略;GAO[17]考慮到實施更換活動會出現(xiàn)延遲的事實，提出一種新的擬周期更換策略對故障次數(shù)N和更換區(qū)間長度m進行了優(yōu)化。

綜上所述，幾何維修過程因考慮故障維修時間而普遍應用于貯備系統(tǒng)的維修過程建模中，但是針對互異兩單元貯備系統(tǒng)的關(guān)注相對較少。同時，考慮維修過程對系統(tǒng)平均故障間隔時間的提高，進一步拓寬了幾何維修過程的應用。實際中，由于維修力量、生產(chǎn)任務以及外界環(huán)境等隨機因素的影響，預防性窗口普遍存在。因此，本文以互異兩單元冷貯備可修系統(tǒng)為研究對象，應用拓展幾何過程，研究其擬周期預防性維修策略的建模和優(yōu)化問題。

1 模型定義及假設

1.1 定義

為了方便參考，首先對幾何過程和文獻[17]中提出的拓展幾何過程的定義簡述如下：

定義1設{Xk,k=1,2,…}為相互獨立的非負隨機變量序列，若Xk的分布函數(shù)為F(ak-1t)，k=1,2,…，且a>0，則稱{Xk,k=1,2,…}為一個幾何過程[1]。

定義2設{Xk,k=1,2,…}為相互獨立的非負隨機變量序列，若Xk的分布函數(shù)為F(ak-d(k)t)，k=1,2,…，其中X1的分布函數(shù)為F(t)，且a>0，則稱{Xk,k=1,2,…}為一個拓展幾何過程。其中d(k)為第k次維修的修復因子[17]。

根據(jù)拓展幾何過程的定義可知：

當a>1，0

當0

當a>1，d(k)>k時，{Xk,k=1,2,…}隨機遞增，即Xk≤stXk+1,k=1,2,…；

當0k時，{Xk,k=1,2,…}隨機遞減，即Xk≥stXk+1,k=1,2,…。

根據(jù)定義2，Xk的累積分布函數(shù)以及密度函數(shù)如下：

1.2 模型假設

假設系統(tǒng)由主單元和貯備單元構(gòu)成的互異兩單元冷貯備可修系統(tǒng)，預防性維修計劃在擬周期維修窗口內(nèi)隨機分布。當主單元和貯備單元的累計運行時間小于T時，若兩單元發(fā)生故障，對其實施故障維修，由于維修工同一時刻只能對一個單元進行維修，當主單元和貯備單元同時處于故障狀態(tài)時，對兩單元依次實施故障維修并且系統(tǒng)發(fā)生停機；當主單元的累積運行時間大于T時，對主單元和貯備單元依次實施預防性維修，但由于預防性維修活動通常會受隨機因素的影響，預防性維修計劃T+τ常在預防性維修窗口[T,T+W]內(nèi)動態(tài)實施。對主單元和貯備單元連續(xù)實施N-1次預防性維修后，當主單元累計運行時間達到預防性維修計劃時，對主單元和貯備單元進行預防性更換。根據(jù)上述運行與維修過程，對系統(tǒng)的維修策略建模作以下假設：

(1)系統(tǒng)由主單元和貯備單元構(gòu)成的兩單元冷貯備系統(tǒng)及一個維修工(維修臺)構(gòu)成，初始運行時兩單元均為全新狀態(tài)投入使用，系統(tǒng)初始運行或每次預防性維修后的新階段開始時，記工作單元的運行時間t=0，且貯備單元處于冷貯備狀態(tài)，維修工處于空閑狀態(tài)，當主單元第一次發(fā)生故障時，維修工對其實施故障維修，貯備單元開始工作。

(3)預防性維修窗口[T,T+W]由主單元的累計工作時間確定，預防性維修計劃在維修窗口內(nèi)服從密度為1/W的均勻分布。當累計運行時間達到維修窗口時，若預防性維修計劃先于故障發(fā)生，則對主單元和貯備單元依次實施預防性維修，如圖1a所示；若故障先于預防性維修計劃發(fā)生，則先對主單元實施故障修復，然后對主單元和貯備單元實施預防性維修，因修復故障本次維修會產(chǎn)生附加費用，如圖1b所示；主單元和貯備單元的預防性維修時間長度均為固定時間長度，分別為Tp1和Tp2。

(4)當系統(tǒng)實施第i(i

(5)主單元和貯備單元互為貯備。當主單元處于運行狀態(tài)時，貯備單元處于冷貯備或維修狀態(tài)；當主單元處于故障維修狀態(tài)時，貯備單元處于運行或待維修狀態(tài)；當貯備單元處于運行狀態(tài)時，主單元處于維修或貯備狀態(tài)。當主單元的運行時間達到預防性維修計劃時，對主單元和貯備單元依次實施預防性維修，因此，當主單元處于預防性維修狀態(tài)時，貯備單元處于運行或待維修狀態(tài)；當貯備單元處于預防性維修狀態(tài)時，主單元處于運行狀態(tài)，為了便于建模，此時主單元的運行狀態(tài)劃分到下一個預防性維修階段。

(6)故障維修成本率為Cf，主單元和貯備單元的預防性維修成本率為Cp，預防性更換成本為Cr，主單元與貯備單元的停機損失率為Cd，系統(tǒng)運行收益率為Cw，附加費用為Ce，以上參數(shù)均為常數(shù)。

2 系統(tǒng)維修過程建模

本章將根據(jù)假設對系統(tǒng)的運行與維修過程、更新周期的長度以及長期運行的收益進行分析，從而建立系統(tǒng)長期運行收益率模型。

根據(jù)模型假設(4)和假設(5)，第i(i

將系統(tǒng)從開始運行到第一次更換的時間記為一個更新周期，用L表示預防性維修間隔，前N-1個預防性維修間隔為Li(i

(1)

根據(jù)維修過程和模型假設，系統(tǒng)的第i個預防性維修間隔Li可以看作主單元和貯備單元運行時間、待修(停機)時間以及預防性維修時間的和，各部分計算分別如下：

主單元運行時間：

主單元待修時間：

貯備單元運行時間：

貯備單元待修時間：

式中χ(A)為示性函數(shù)，

為便于表達，作如下代換：

(2)

因此，第i(i

k=2,3,…。

(3)

實施N-1次預防性維修后實施預防性更換，則預防性更換間隔LN的表達式為：

k=2,3,…。

(4)

根據(jù)假設(6)可得第i個預防性維修間隔內(nèi)系統(tǒng)收益為系統(tǒng)運行收益與系統(tǒng)運行成本的差，各部分計算如下：

主單元維修時間總和：

貯備單元維修時間總和：

系統(tǒng)第1次預防性維修前后的運行收益如式(5)所示：

k=2,3,…。

(5)

系統(tǒng)第1次預防性維修前后的附加費如式(6)所示：

k=2,3,…。

(6)

系統(tǒng)的故障維修費用為：

系統(tǒng)的停機損失為：

系統(tǒng)的預防性維修費用為：

cp=Cp(Tp1+Tp2)。

因此，第i個預防性維修間隔內(nèi)的系統(tǒng)收益Ci為：

Ci=cwi,1+cwi,k-cei,1-cei,k-cf-cd-cp。

(7)

第N個預防性維修(預防性更換)間隔內(nèi)的系統(tǒng)收益CN為：

k=2,3,…。

(8)

對系統(tǒng)的預防性維修間隔和預防性更換間隔以及對應的收益求期望。在此之前，為了方便表達先對示性函數(shù)的期望進行分析:

式中G(n)表示n重卷積。

除此之外，主單元待修時間的期望為：

貯備單元待修時間的期望為：

由此可得，系統(tǒng)的第i個預防性維修間隔Li的期望如式(9)所示：

(9)

系統(tǒng)的預防性更換間隔LN的期望如式(10)所示：

(10)

系統(tǒng)的第i個預防性維修間隔內(nèi)系統(tǒng)運行的收益Ci的期望如式(11)所示：

(11)

系統(tǒng)的預防性更換間隔內(nèi)系統(tǒng)運行收益CN的期望如式(12)所示：

(12)

由上述分析和更新報酬定理，系統(tǒng)長期運行收益率如式(13)所示：

(13)

本文建立的模型g(T,N,W)是關(guān)于預防性維修周期T，預防性維修次數(shù)N和維修窗口W的三元函數(shù)，需要找到使得系統(tǒng)長期運行收益率最大化的(T*,N*,W*)。由于系統(tǒng)長期收益率g(T,N,W)的表達式過于復雜，很難通過解析法得到最優(yōu)解(T*,N*,W*)。因此，使用Hooke-Jeeves直接搜索算法得到最優(yōu)解。

3 案例研究

3.1 實際案例

文獻[17]以某型號機載空調(diào)設備的故障間隔時間數(shù)據(jù)集為例，得到了提出的拓展幾何過程模型相關(guān)參數(shù)的估計值。根據(jù)預防性維修模型故障強度的一般假設，本文假設第i個預防性維修區(qū)間內(nèi)，即系統(tǒng)在第(i-1)次到第i次預防性維修期間，第(i-1)次預防性維修的修復因子θi>0，滿足θi=θ-α(i-1)，其中α為常數(shù)。維修成本的其他參數(shù)假設為一般常數(shù)，模型參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)

根據(jù)上述參數(shù)，利用本文建立的長期運行收益率模型，獲得最優(yōu)的T*，N*和W*，計算得到的部分g(T,N,W)如表2所示。優(yōu)化結(jié)果：gmax=0.786 23，W*=2.5，N*=12，T*=25。通過實際案例分析，最優(yōu)的預防性維修策略(T*,N*,W*)的存在具有唯一性，即主空調(diào)設備的累積運行時間在最優(yōu)的預防性維修區(qū)間[25,27.5]內(nèi)，維修工對主空調(diào)設備和貯備空調(diào)設備依次實施預防性維修活動，并且在第12次預防性維修計劃到達時對主空調(diào)設備和貯備空調(diào)設備實施更換，在這種策略下，系統(tǒng)的收益率最大。

表2 系統(tǒng)長期運行收益率

3.2 參數(shù)敏感性分析

實際案例說明了基于拓展幾何維修過程的維修策略的建模與優(yōu)化過程。在該模型中，θi為拓展幾何過程中引入的恢復因子d(k)中的重要參數(shù)，根據(jù)θi的假設，其變化取決于α的取值，并會對最優(yōu)維修策略產(chǎn)生影響。除此之外，成本的大小也對最優(yōu)維修策略產(chǎn)生一定的影響。因此，本節(jié)主要選取α以及故障成本率Cf做敏感性分析，即分析α和Cf在某一范圍內(nèi)變化時，系統(tǒng)長期運行收益率g、最優(yōu)的預防性維修窗口長度W、預防性維修次數(shù)N以及預防性維修周期T的變化趨勢。經(jīng)計算，α取不同值時，系統(tǒng)的長期運行收益率最大值以及最優(yōu)維修策略如表3所示。

表3 不同α下的系統(tǒng)長期運行收益率及最優(yōu)維修策略

由表3中的數(shù)據(jù)可以看出，隨著α值的增大，系統(tǒng)長期運行收益率逐漸減小，這也就意味著，為保持系統(tǒng)的收益率較大，應盡可能提高系統(tǒng)預防性維修的效率。α值的增大使得最優(yōu)的預防性維修周期T、預防性維修次數(shù)N和預防性維修窗口長度W均有遞減的趨勢。因此，當α值增大時，會整體縮減系統(tǒng)的運行時間。

該模型中成本率參數(shù)較多，從模型結(jié)構(gòu)可知，各成本率參數(shù)對系統(tǒng)收益率影響的趨勢類似。故本文僅以故障維修成本率Cf為例，分析其取不同值時系統(tǒng)長期運行收益率最大值以及最優(yōu)維修策略的變化趨勢，來說明成本率對系統(tǒng)最優(yōu)維修策略的影響，具體如表4所示。

表4 不同Cf下的系統(tǒng)長期運行收益率及最優(yōu)維修策略

由表4可以看出，隨著Cf的增大，系統(tǒng)長期運行收益率逐漸減小。因此，在故障維修時，要通過控制成本率來獲得系統(tǒng)收益最大化。對于最優(yōu)維修策略來說，預防性維修窗口長度W的敏感性不明顯，預防性維修間隔T呈遞減趨勢，預防性維修次數(shù)N有增加的趨勢。

由于其他成本率的變化對系統(tǒng)最大收益率和最優(yōu)維修策略的影響與Cf類似，本文將不再贅述。

4 結(jié)束語

本文針對互異兩單元冷貯備可修系統(tǒng)，考慮生產(chǎn)任務波動、維修力量以及外界環(huán)境等隨機因素的影響，采用擬周期預防性維修策略，建立了系統(tǒng)長期運行收益率模型，以系統(tǒng)長期運行收益率最大化為優(yōu)化目標，獲得系統(tǒng)的最優(yōu)預防性維修策略。通過實際案例來說明系統(tǒng)的建模與最優(yōu)預防性維修策略的優(yōu)化過程，同時分析了參數(shù)α和Cf對最優(yōu)預防性維修策略的影響。實例分析結(jié)果表明，恢復速率α以及故障維修成本率Cf的改變會對系統(tǒng)長期運行收益率和最優(yōu)維修策略產(chǎn)生顯著影響。因此，對于滿足本文所提的拓展幾何維修過程的冷貯備可修系統(tǒng)，最優(yōu)的維修策略(T*，N*，W*)是存在的，生產(chǎn)中根據(jù)經(jīng)驗設定的維修窗口需要進一步優(yōu)化以獲得最大的收益率。同時，提高預防性維修效果和降低維修成本率是獲得最大收益率的根本途徑。

在實際工程應用中，復雜多單元系統(tǒng)與多態(tài)系統(tǒng)普遍存在，針對這些系統(tǒng)建立有效的可靠性與維修模型是下一步的研究重點。除此之外，研究具有普適性的維修模型并將其應用到不同的工程領(lǐng)域也尤為重要。