關(guān)于非參數(shù)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)在體育科研中的運(yùn)用研究

孫永梅

摘 要：運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)法和文獻(xiàn)資料法，對非參數(shù)檢驗(yàn)中的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)進(jìn)行研究分析，關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量有？字2檢驗(yàn)、K-S檢驗(yàn)和秩和檢驗(yàn)等。在選擇非參數(shù)檢驗(yàn)方法時(shí)，需要先考慮兩個(gè)因素：（1）樣本情況分析，是獨(dú)立樣本還是相關(guān)樣本。（2）數(shù)據(jù)的類型，是順序數(shù)據(jù)還是類別數(shù)據(jù)。本文系統(tǒng)分析了？字2檢驗(yàn)和K-S檢驗(yàn)，？字2檢驗(yàn)和K-S檢驗(yàn)各自有自己的適應(yīng)條件，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)要擇取更合適的統(tǒng)計(jì)方法，才能讓統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)更具有說服力。另，把數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)理論作為理論依據(jù)將其指導(dǎo)運(yùn)用到體育實(shí)際問題中去，理論指導(dǎo)實(shí)踐應(yīng)用。希望通過本文對體育科研方面給予一定的理論指導(dǎo)，對體育科研起到一定的促進(jìn)作用。

關(guān)鍵詞：非參數(shù)檢驗(yàn);擬合優(yōu)度檢驗(yàn);體育科研

中圖分類號：G80-32 ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ?文章編號：1673-260X（2022）01-0059-04

前言

假設(shè)檢驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)推斷具有的重要應(yīng)用價(jià)值，從理論上說，假設(shè)檢驗(yàn)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)重要分支。在體育科研、訓(xùn)練和教學(xué)中，它也是常用的統(tǒng)計(jì)方法?；诩僭O(shè)檢驗(yàn)的思想，體育現(xiàn)象復(fù)雜多變，假設(shè)檢驗(yàn)也被合理地應(yīng)用在體育科研、訓(xùn)練及教學(xué)中，其理論及應(yīng)用是體育統(tǒng)計(jì)學(xué)中不可或缺的部分。尤其是在有關(guān)體育期刊論文中應(yīng)用假設(shè)檢驗(yàn)的方法比較常見。

近年來，體育統(tǒng)計(jì)相關(guān)書籍及資料只是簡單地介紹了假設(shè)檢驗(yàn)的方法，介紹方法演算的過程，并沒有涉及它的真正理論。例如：在解決問題之前有必要明確研究目的是什么。這一關(guān)鍵問題就是明確總體的問題，在進(jìn)行兩樣本t檢驗(yàn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)前與實(shí)驗(yàn)后的總體不一致從而導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果的錯(cuò)誤，就是因?yàn)闆]有明確總體是什么，對假設(shè)檢驗(yàn)方法沒有理解其本質(zhì)，生搬硬套而導(dǎo)致嚴(yán)重的后果。另外，查閱了自1997年至今的文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，對于非參數(shù)檢驗(yàn)并沒有系統(tǒng)的論述。關(guān)于非參數(shù)檢驗(yàn)方法在體育科研中的應(yīng)用查閱文獻(xiàn)也只有祁國鷹，徐明在《北京體育大學(xué)學(xué)報(bào)》上發(fā)表了《體育統(tǒng)計(jì)方法系列講座：非參數(shù)檢驗(yàn)方法》，文中也只是簡單地介紹非參數(shù)檢驗(yàn)各種方法的步驟及在SPSS中的應(yīng)用[1]。然而非參數(shù)檢驗(yàn)方法在體育科研中的重要性不容忽視。

在統(tǒng)計(jì)推斷中，有時(shí)對總體分布假定具有模糊性，所測得數(shù)據(jù)并非來自本身所假定分布的總體或測得的數(shù)據(jù)因某些原因被污染。在不能確定假定總體分布的情況下，若選擇參數(shù)檢驗(yàn)方法進(jìn)行推斷可能產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)論。研究者希望從數(shù)據(jù)的本身獲取所需且必要的信息，這便是非參數(shù)檢驗(yàn)的初步想法。如在未知總體分布的情況下，把一組數(shù)據(jù)信息稱為次序，利用已有信息，按照一定的次序或規(guī)律排序，每一個(gè)數(shù)據(jù)在整組數(shù)據(jù)中有自己的位置稱為秩，在假定條件下，便可以進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，獲得所需的信息結(jié)論。

魏登云在《主觀評分誤差的非參數(shù)處理方法》中運(yùn)用非參數(shù)檢驗(yàn)方法，結(jié)合體育競賽的特點(diǎn)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法中秩分判定比賽的名次，并討論運(yùn)用秩分法去處理評分誤差的優(yōu)點(diǎn)及可行性[2]。其實(shí)非參數(shù)檢驗(yàn)方法在體育科研中的應(yīng)用是有必要的。由于體育現(xiàn)象的復(fù)雜性，有時(shí)參數(shù)檢驗(yàn)并不能滿足需求，這時(shí)選用非參數(shù)檢驗(yàn)是必要的。但在實(shí)際應(yīng)用中對于非參數(shù)檢驗(yàn)并沒有系統(tǒng)的論述及應(yīng)用。

無論是參數(shù)檢驗(yàn)還是非參數(shù)檢驗(yàn)在處理問題時(shí)都是先找出一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型去擬合現(xiàn)實(shí)的數(shù)據(jù)，擬合的效果如何，怎樣用樣本推斷總體，利用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)可以解決疑問。擬合優(yōu)度檢驗(yàn)其思想是找出一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型，利用已有的觀測數(shù)據(jù)去預(yù)測未來數(shù)據(jù)。換言之，找出一個(gè)模型去擬合已有的觀測數(shù)據(jù)。擬合優(yōu)度檢驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)理論中有其特殊的地位，不僅是統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)的組成部分，而且和實(shí)際應(yīng)用有密切關(guān)系[1]。由于體育現(xiàn)象具有復(fù)雜性與多樣性，如遇到某問題需利用假設(shè)檢驗(yàn)方法解決時(shí)，若給定的假定條件很少，那么可以用非參數(shù)檢驗(yàn)方法去解決問題。非參數(shù)檢驗(yàn)方法的條件比參數(shù)檢驗(yàn)方法要寬松，其對總體的分布不做要求，所以非參數(shù)檢驗(yàn)方法的應(yīng)用范圍比較廣泛。

在有關(guān)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的相關(guān)文獻(xiàn)中，對非參數(shù)檢驗(yàn)的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的研究稀少。但它在體育科研中的應(yīng)用價(jià)值是值得肯定的。因此，本文僅對非參數(shù)檢驗(yàn)中的擬合優(yōu)度？字2檢驗(yàn)和K-S檢驗(yàn)進(jìn)行研究分析，把數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)理論作為理論依據(jù)將其指導(dǎo)運(yùn)用到體育實(shí)際問題中去。通過對？字2檢驗(yàn)和K-S檢驗(yàn)的研究分析，希望對體育科研工作者有所幫助。

1 研究方法

運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)法和文獻(xiàn)資料法進(jìn)行分析研究。研讀非參數(shù)檢驗(yàn)的相關(guān)書籍;以“參數(shù)檢驗(yàn)”“非參數(shù)檢驗(yàn)”“擬合優(yōu)度檢驗(yàn)”“非參數(shù)檢驗(yàn)在體育科研中的應(yīng)用”等為關(guān)鍵詞在“CNKI”“中國國家圖書館”等數(shù)據(jù)庫檢索。對搜集的資料進(jìn)行閱讀歸納，整理分析。

2 非參數(shù)檢驗(yàn)中擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的幾種類別與應(yīng)用

在統(tǒng)計(jì)推斷中，有時(shí)對總體分布假定具有模糊性，所測得數(shù)據(jù)并非來自本身所假定分布的總體或測得的數(shù)據(jù)因某些原因被污染。這時(shí)，從數(shù)據(jù)的本身獲取所需要的信息，得出結(jié)論。如檢驗(yàn)?zāi)凶犹?、游泳和體操三個(gè)項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)員縱跳成績，測得的成績?nèi)缦拢禾撸?0、76、78、82、79;游泳：65、66、62、67、71、70、65;體操：64、67、64、68、62、63、69。試問運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的不同其男子運(yùn)動(dòng)員的縱跳成績之間是否存在顯著性差異？這就是一個(gè)典型的數(shù)據(jù)信息不足，這時(shí)我們使用參數(shù)檢驗(yàn)的方法解決問題并非良策。

在選擇非參數(shù)檢驗(yàn)方法時(shí)，需要先考慮兩個(gè)因素：（1）關(guān)于樣本情況分析，是獨(dú)立樣本還是相關(guān)樣本。（2）關(guān)于數(shù)據(jù)的類型，是順序數(shù)據(jù)還是類別數(shù)據(jù)，簡單地說就是若按照一定的順序或秩序排列那就是順序數(shù)據(jù)，如喜歡、不喜歡或男、女就是類別數(shù)據(jù)。

2.1 單樣本擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

單樣本非參數(shù)檢驗(yàn)一般屬于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。如研究員實(shí)際觀測到的頻數(shù)和在某種原則下的理論頻數(shù)是否存在顯著差異;實(shí)驗(yàn)觀測的比例P值與所期望的比例值是否存在顯著差異等。

2.1.1 ？字2檢驗(yàn)

檢驗(yàn)的基本思想是利用樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷總體的分布與某一已知分布是否存在顯著差異。？字2檢驗(yàn)用于擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)，檢驗(yàn)?zāi)辰M數(shù)據(jù)是否服從某種分布。設(shè)樣本X1，X2，…，Xn觀測值x1，x2，…，xn，檢驗(yàn)總體分布與某個(gè)已知分布是否有顯著差異。若討論的是一個(gè)事件的兩種結(jié)果，可以用參數(shù)檢驗(yàn)中的方法解決問題。若討論一個(gè)事件可能有K個(gè)結(jié)果時(shí)，使用？字2檢驗(yàn)是需要的。如把樣本數(shù)據(jù)分為k類，其中每類的實(shí)際觀測頻數(shù)設(shè)為f1，f2，…，fk，與對應(yīng)的期望頻數(shù)設(shè)為e1，e2，…，ek，利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量？字2去度量觀測頻數(shù)與期望頻數(shù)之差異。其計(jì)算公式：

從式（1）可以看出，觀測頻數(shù)與期望頻數(shù)之間距離越近，？字2值就越小，當(dāng)？字2值為0時(shí)，說明每一類觀測頻數(shù)與期望頻數(shù)完全擬合。？字2檢驗(yàn)的運(yùn)用領(lǐng)域很廣。如要檢驗(yàn)總體是否為某一分布時(shí)，假設(shè)實(shí)際觀測值的分布為F（x），去檢驗(yàn)總體是否為某一特定分布F0（x）。注意，當(dāng)樣本量充分大時(shí)？字2服從自由度為k-1的？字2分布。在體育教學(xué)中，為了提高學(xué)生的網(wǎng)球正手擊球的水平，采用了一種新的教學(xué)方法。教師從大二年級隨機(jī)抽取100名學(xué)生，配對分成兩個(gè)班，對其進(jìn)行干預(yù)采用兩種不同的教法。一個(gè)學(xué)期結(jié)束后進(jìn)行測試，測得成績?nèi)绫?所示，兩種不同方法測得的成績。

通過實(shí)驗(yàn)組和對照組數(shù)據(jù)的比較，判斷兩種不同的網(wǎng)球正手教學(xué)方法是否對教學(xué)效果產(chǎn)生不同的影響。從表1中可以看出，實(shí)驗(yàn)組和對照組的成績不及格的比例有差距，原因是新的教法所產(chǎn)生的效果還是因?yàn)檎`差所導(dǎo)致的差別，需通過檢驗(yàn)才能得出結(jié)論。（a=0.05）

首先建立原假設(shè)H0：實(shí)驗(yàn)組與對照組各級的比例相同。其次構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量？字2=，通過把數(shù)據(jù)輸入SPSS軟件中，得出結(jié)論P(yáng)>0.05。我們就可以做出判斷，原假設(shè)成立。雖然新的教法的成績有所提高，但是通過檢驗(yàn)新舊方法并沒有顯著差異，新方法的成績有所提高可能是因?yàn)檎`差造成的，所以新的教學(xué)方法還需改進(jìn)。以上的例子就是利用？字2檢驗(yàn)的方法解決兩種不同結(jié)果。

？字2檢驗(yàn)在體育領(lǐng)域中應(yīng)用是比較廣泛的，在參數(shù)檢驗(yàn)中也有提及，在非參數(shù)檢驗(yàn)中主要用于對分布的檢驗(yàn)以及對獨(dú)立的類別數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)。正態(tài)性檢驗(yàn)可使用？字2的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法。如測得65名職業(yè)游泳運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練后的脈搏頻率與安靜狀態(tài)時(shí)脈搏頻率之差頻數(shù)分布數(shù)據(jù)，試圖檢驗(yàn)職業(yè)游泳運(yùn)動(dòng)員的脈搏差數(shù)是否服從正態(tài)分布？此類問題，首先建立原假設(shè)H0：脈搏差服從正態(tài)分布，H1：脈搏差不服從正態(tài)分布。再根據(jù)樣本信息選擇合適的？字2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，取顯著性水平？琢值，經(jīng)過計(jì)算取得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，與P值進(jìn)行比較。是否接受原假設(shè)，從而得出結(jié)論。

2.1.2 K-S檢驗(yàn)

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，K-S檢驗(yàn)可適用于比較某一樣本分布與參考概率分布，或比較兩個(gè)樣本分布（兩個(gè)樣本的K-S檢驗(yàn)）。它涉及一組樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際分布與某一指定理論分布之間相符合程度的問題，用來檢驗(yàn)所獲取的樣本數(shù)據(jù)是否來自具有某一理論分布的總體[2]。K-S檢驗(yàn)的思想是分析其理論分布的累計(jì)頻數(shù)與抽樣累計(jì)頻數(shù)之差值。若樣本觀測值服從某一指定的理論分布，那么最大差值應(yīng)該較小。設(shè)F（x）是隨機(jī)變量X的理論分布函數(shù)，S（x）=i/n是樣本累計(jì)頻數(shù)（i≤x觀測值的數(shù)目，i=1，2…，n。n為樣本總數(shù)）。檢驗(yàn)樣本S（x）是否來自總體的分布函數(shù)F（x），構(gòu)造其統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算公式如下：

D=max|S（x）-F（x）| ? （2）

從公式（2）可以看出，對每個(gè)x值來說，若S（x）與F（x）差值較小，說明S（x）與F（x）擬合程度很高，則認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)是來自其理論分布的總體。如，抽取某市初三所有男生的身高數(shù)據(jù)，利用樣本數(shù)據(jù)信息推斷初三男生的總體身高是否服從正態(tài)分布。

2.2 兩獨(dú)立的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

2.2.1 ？字2檢驗(yàn)

單樣本的？字2檢驗(yàn)可以推廣到兩個(gè)獨(dú)立樣本的總體差異性的檢驗(yàn)[3]。隨機(jī)變量n1和n2是分別從分布函數(shù)F1（x）和F2（x）的總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)，利用樣本觀測值推斷兩個(gè)總體是否有顯著性差異。其統(tǒng)計(jì)量的選擇與計(jì)算及最后統(tǒng)計(jì)決策都與兩個(gè)獨(dú)立樣本檢驗(yàn)相似。同時(shí)，兩個(gè)獨(dú)立樣本的？字2檢驗(yàn)可以推廣到對k個(gè)樣本之間差異的顯著性檢驗(yàn)。例如，隨機(jī)從初一和初二年級分別抽取x人和y人（其中男女比例是一樣的），調(diào)查學(xué)生是否喜歡上體育課，發(fā)現(xiàn)初中一年級學(xué)生喜歡上體育課的人數(shù)是n1人，初二喜歡上體育課的人數(shù)是n2人，那么初一和初二學(xué)生喜歡上體育課的比例是否有差異。首先我們建立原假設(shè)：兩個(gè)年級的學(xué)生喜歡上體育課的比例相同。其次構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量？字2并計(jì)算得出數(shù)據(jù)，確定顯著水平a。若原假設(shè)成立，？字2服從自由度為k-1的？字2分布，其否定域?yàn)閧？字2|？字2>？字a2（k-1）}.如果？字2值落入拒絕域則是拒絕原假設(shè)，即兩個(gè)年級的學(xué)生喜歡上體育課的比例是有差異，否則，是接受原假設(shè)，即兩個(gè)年級的學(xué)生喜歡上體育課的比例無差異。

同時(shí)，？字2檢驗(yàn)還用于檢驗(yàn)兩個(gè)屬性之間是否獨(dú)立的？字2獨(dú)立性檢驗(yàn)。？字2檢驗(yàn)可用來推斷多個(gè)構(gòu)成比之間有無顯著差異即檢驗(yàn)兩個(gè)因素是否獨(dú)立，在應(yīng)用中，可先列出R×C聯(lián)系然后采用？字2檢驗(yàn)，若結(jié)果差異顯著，則說明多個(gè)率在整體上有差異但并不說明任意兩個(gè)率之間都有差異。2×2聯(lián)系檢驗(yàn)是R×C聯(lián)表的特例，可檢驗(yàn)兩個(gè)總體率之間是否有差異。

在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，各種檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量都有其應(yīng)用條件，在選擇時(shí)根據(jù)研究目的、設(shè)計(jì)的類型、分布的特點(diǎn)及統(tǒng)計(jì)推斷的目的要求選取適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)方法。

2.2.2 K-S檢驗(yàn)

無論是兩個(gè)獨(dú)立樣本K-S檢驗(yàn)還是單樣本K-S檢驗(yàn)，其思路基本一致。通過兩個(gè)獨(dú)立總體的樣本觀測值去分析判斷是否來自同一個(gè)總體。

在對比兩個(gè)樣本進(jìn)行分析時(shí)，K-S檢驗(yàn)對經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)的位置和形狀差異有一定的敏感性。通過分析兩獨(dú)立總體樣本的累計(jì)頻數(shù)之差值，確定是否有差異性。如從總體X和Y中，選取兩組樣本數(shù)據(jù)（X1，X2，…，Xn）和（Y1，Y2，…，Yn），SX（x）和SY（x）是累計(jì)頻數(shù)。若要檢驗(yàn)總體X與Y分布是否相同，則構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，設(shè)定顯著水平a和確定否定域，最后得出結(jié)論，做出決策。如檢驗(yàn)東部地區(qū)與西部地區(qū)的青少年發(fā)育狀況是否存在差異。

K–S檢驗(yàn)通過修改以后可作擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，在檢驗(yàn)正態(tài)性分布的特殊情況下，先將樣本進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，再與標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布進(jìn)行比較分析。使用這些值和方差去定義特定的參考分布將會更改其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的零分布。有研究發(fā)現(xiàn)，即使采用了這種校正的形式，其測試也不像Shapiro-Wilk檢驗(yàn)或Anderson-Darling檢驗(yàn)?zāi)菢佑行У貦z驗(yàn)其正態(tài)性。當(dāng)然，這些其他測試也有其自身的缺點(diǎn)。如Shapiro–Wilk檢驗(yàn)中，樣本的選取時(shí)會有許多相同值其效果并不好。

3 對非參數(shù)檢驗(yàn)中的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的認(rèn)知

3.1 分布情況

非參數(shù)檢驗(yàn)是在總體分布未知的情況下的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法。在實(shí)際問題處理時(shí)，有時(shí)提取的信息量很少，在總體分布未知時(shí)只能應(yīng)用非參數(shù)檢驗(yàn)。非參數(shù)檢驗(yàn)比參數(shù)檢驗(yàn)的應(yīng)用范圍廣泛。？字2檢驗(yàn)與K-S檢驗(yàn)都可用于檢驗(yàn)樣本是否來自某一理論分布的總體。

3.2 測量數(shù)據(jù)類型

？字2檢驗(yàn)常用于定類尺度測量的數(shù)據(jù)，適應(yīng)于分類資料的統(tǒng)計(jì)推斷。K-S檢驗(yàn)還用于對定序尺度測量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合檢驗(yàn)。

3.3 特殊情況處理

？字2檢驗(yàn)一般要求的是大樣本，對于特別小的樣本量，？字2檢驗(yàn)則不能應(yīng)用，若應(yīng)用？字2檢驗(yàn)可能會導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論，而K-S檢驗(yàn)則不受限制。因此，K-S檢驗(yàn)的功效比？字2檢驗(yàn)要強(qiáng)。根據(jù)樣本量的不同在最后處理時(shí)臨界值的確定也是有區(qū)別的。在實(shí)際問題處理時(shí)，如需要檢驗(yàn)正態(tài)性，應(yīng)該避免使用？字2檢驗(yàn)和K-S檢驗(yàn)。這一問題在數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論中已被證明的。同時(shí)，在運(yùn)用中注意減少第二類錯(cuò)誤的發(fā)生。

4 總結(jié)

雖然非參數(shù)檢驗(yàn)方法較粗略，其擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的實(shí)際運(yùn)用比較廣泛，但其統(tǒng)計(jì)思想比較直觀。對于非正態(tài)的數(shù)據(jù)或未知分布的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)的效率較高。在某特殊分布情況下，非參數(shù)檢驗(yàn)方法的效率可超過t檢驗(yàn)。

但是如果當(dāng)條件充分時(shí)，則選擇參數(shù)檢驗(yàn)的方法，一方面可以充分利用給定的信息，距答案更進(jìn)一步;另一方面可以減少誤差。預(yù)期頻數(shù)較小時(shí)，？字2檢驗(yàn)需要合并鄰近的類別才可以計(jì)算，K-S檢驗(yàn)則不需要。因此K-S檢驗(yàn)比？字2檢驗(yàn)保留更多的信息。？字2檢驗(yàn)和K-S檢驗(yàn)的樣本量相等時(shí)，K-S檢驗(yàn)對于原假設(shè)為假時(shí)可提供一個(gè)更高的拒絕率，因此，與？字2檢驗(yàn)相比K-S檢驗(yàn)具有更強(qiáng)的檢出率。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)要擇取更合適的統(tǒng)計(jì)方法，才能讓統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)更具有說服力。

參考文獻(xiàn)：

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