軌道角動量算符與矢量算符及標(biāo)量算符對易關(guān)系的嚴格證明

秦緒明，康東彪,2，郝紅軍，趙冬秋，張希威

(1. 安陽師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院，河南 安陽 455000；2. 浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)大學(xué) 智能制造學(xué)院，浙江 金華 322100)

兩個力學(xué)量算符之間的對易關(guān)系決定了這兩個力學(xué)量能否同時取確定值，以及它們不確定度之間的關(guān)系，因此計算對易關(guān)系是量子力學(xué)的重要課題之一[1]. 角動量算符是量子力學(xué)中的一個重要算符[2]，人們經(jīng)常要計算角動量算符與其它算符之間的對易關(guān)系. 楊秀德等人[3]對常見的坐標(biāo)算符、動量算符、角動量算符與角動量算符之間的對易關(guān)系進行了計算，并由此總結(jié)出了角動量算符與矢量算符的一個普遍的對易關(guān)系. 該對易關(guān)系是十分重要的，但通常的教材中并沒有給出嚴格的證明. 由于角動量算符與空間旋轉(zhuǎn)有關(guān)，本文利用矢量算符的旋轉(zhuǎn)特性，嚴格的證明了角動量算符與矢量算符的對易關(guān)系；同時，也論證了角動量算符與標(biāo)量算符的對易關(guān)系；然后，我們列舉了幾個矢量算符和標(biāo)量算符，驗證了它們與角動量算符的對易關(guān)系；最后，我們討論了矢量算符和標(biāo)量算符的定義問題. 本工作有益于深入理解角動量算符、矢量算符和標(biāo)量算符. 本文只討論軌道角動量算符，所提角動量算符皆指軌道角動量算符.

1 空間旋轉(zhuǎn)下矢量算符和標(biāo)量算符的性質(zhì)

1.1 矢量算符在空間旋轉(zhuǎn)下的性質(zhì)

(1)

(2)

(3)

Rβ(θ)eα=eα′

(4)

圖1 空間旋轉(zhuǎn)下矢量算符的性質(zhì)示意圖

(5)

最后，將Ψ′順時針旋轉(zhuǎn)θ角就可得

(6)

根據(jù)式(2)和式(6)，再由Φ是任意波函數(shù)，可得

(7)

式(7)給出了矢量算符在空間旋轉(zhuǎn)變換下的性質(zhì).

1.2 標(biāo)量算符在空間旋轉(zhuǎn)下的性質(zhì)

(8)

(9)

最后，將Ψ′順時針旋轉(zhuǎn)θ角就可得

(10)

比較式(8)和式(10)可得

(11)

式(11)給出了標(biāo)量算符在空間旋轉(zhuǎn)下的性質(zhì).

2 角動量算符與矢量算符和標(biāo)量算符的對易關(guān)系

2.1 角動量算符與矢量算符的對易關(guān)系

先由式(7)推導(dǎo)角動量算符與矢量算符的對易關(guān)系.假設(shè)空間以eβ為軸逆時針旋轉(zhuǎn)無窮小角度Δφ，則eα變?yōu)閑α′，即

eα′=eα+Δφeβ×eα

(12)

所以

(13)

(14)

由于ψ(r,θ,φ)是任意波函數(shù)，所以

(15)

相應(yīng)地，對于順時針旋轉(zhuǎn)算符將上面的Δφ改變符號就可以了.式(14)和式(15)的推導(dǎo)可以從通常的量子力學(xué)的教材中找到，比如曾謹言先生的《量子力學(xué)教程》中就有類似的推導(dǎo)[4].

把式(13)和式(15)代入式(7)得

(16)

整理并忽略Δφ的高階無窮小可得

(17)

式(17)給出了角動量算符與矢量算符的一般的對易關(guān)系.由此對易關(guān)系可以給出在直角坐標(biāo)系下，角動量算符各分量與矢量算符各分量的對易關(guān)系.比如令eβ為z軸方向的單位矢量，eα為x軸方向的單位矢量，則式(17)變?yōu)?/p>

(18)

對于角動量算符各分量與矢量算符各分量的對易關(guān)系的一般表達式可以寫為

(19)

其中，σ、δ和λ表示直角坐標(biāo)系中的3個分量x、y和z，εσδλ為三階反對稱單位張量符號.這樣，楊秀德等人[3]通過歸納得到的式(19)，這里通過嚴格的論證得到了，它給出了角動量算符與任意矢量算符的對易關(guān)系.

2.2 角動量算符與標(biāo)量算符的對易關(guān)系

下面由式(11)推導(dǎo)角動量算符與標(biāo)量算符的對易關(guān)系.這里仍然假設(shè)空間以eβ為軸逆時針旋轉(zhuǎn)無窮小角度Δφ，則把式(15)代入式(11)得

(20)

整理后得

(21)

式(21)給出了角動量算符與標(biāo)量算符的一般的對易關(guān)系，即角動量算符向著任意方向的投影都與標(biāo)量算符對易.由式(21)可以給出在直角坐標(biāo)系下，角動量各分量算符與標(biāo)量算符的對易關(guān)系

(22)

所以，楊秀德等人[3]通過歸納得到的式(22)，這里通過嚴格的論證也得到了，它給出了角動量算符與任意標(biāo)量算符的對易關(guān)系.

3 角動量算符與標(biāo)量算符和矢量算符對易關(guān)系的驗證

下面對角動量算符與標(biāo)量算符和矢量算符的對易關(guān)系進行驗證.楊秀德等人[3]已經(jīng)把比較常見的標(biāo)量算符(像動量的平方算符、坐標(biāo)的平方算符)和矢量算符(像坐標(biāo)算符、動量算符和角動量算符)與角動量算符的對易關(guān)系進行了驗證，是符合式(22)和式(19)的.下面再構(gòu)造幾個標(biāo)量算符和矢量算符進行驗證.

(23)

(24)

(25)

不難驗證這3個算符都與角動量算符的所有分量對易，滿足式(22).

(26)

(27)

4 標(biāo)量算符和矢量算符定義的討論

4.1 從空間旋轉(zhuǎn)不變的角度定義矢量和標(biāo)量算符

(28)

(29)

首先由式(29)導(dǎo)出式(7).式(29)的兩端同時點乘eα，得

(30)

這樣就得到了式(7).

(31)

(32)

其中

(33)

其中，i′表示將空間旋轉(zhuǎn)后，i轉(zhuǎn)成了i′，第3個等號是根據(jù)式(7)得到.式(32)的其它幾項也可以做類似的推導(dǎo)，所以

(34)

得到了式(29).

現(xiàn)在，我們可以對矢量算符的定義用文字表述為：當(dāng)一個算符作用到一個波函數(shù)上得到一個矢量函數(shù)，并且該算符是空間各向同性的，則該算符稱作矢量算符.式(7)或式(29)是空間各向同性的具體含義.

(35)

4.2 從與角動量算符的對易關(guān)系來定義矢量算符和標(biāo)量算符

本文把式(7)和式(11)分別作為矢量算符和標(biāo)量算符的定義，然后據(jù)此推導(dǎo)出了角動量算符和矢量算符的對易關(guān)系即式(19)，和角動量算符與標(biāo)量算符的對易關(guān)系即式(22).其實也可以反過來，把式(19)和式(22)分別作為矢量算符和標(biāo)量算符的定義.這是因為式(7)和式(19)是等價的，式(11)和式(22)是等價的.

下面我們對此進行證明.由于有限的空間旋轉(zhuǎn)可以由連續(xù)進行無窮小空間旋轉(zhuǎn)得到，所以只需要證明無窮小旋轉(zhuǎn)下上面的命題成立即可.由前面的論證，在無窮小旋轉(zhuǎn)下，式(7)與式(17)是等價的，式(11)與式(21)是等價的，所以現(xiàn)在只需要證明式(17)與式(19)等價，式(21)與式(22)等價.前面已經(jīng)證明可以由式(17)得到式(19)，由式(21)得到式(22)，所以現(xiàn)在只要證明反過來也成立即可.設(shè)任意單位矢量：

eβ=β1i+β2j+β3k

(36)

eα=α1i+α2j+α3k

(37)

則

(38)

(39)

代入式(17)得

(40)

由式(19)可以證明式(40)是成立的，所以對于矢量算符的情況證明完畢.

對于標(biāo)量情況，將式(38)代入式(21)得

(41)

由式(22)容易證明式(41)是成立的，所以對于標(biāo)量算符情況的證明也完畢了.

從上面的證明可以看出，式(7)與式(19)是等價的，式(11)與式(22)是等價的.所以我們既可以用式(7)和式(11)作為矢量算符和標(biāo)量算符的定義，也可以用式(19)和式(22)作為矢量算符和標(biāo)量算符的定義，這反映了角動量算符與空間旋轉(zhuǎn)之間的關(guān)系.兩種定義各有優(yōu)點：式(7)[或式(29)] 與式(11)從空間旋轉(zhuǎn)的角度定義矢量算符和標(biāo)量算符，比較直觀和易于接受，也有利于加深對矢量算符和標(biāo)量算符的理解；式(19)與式(22)從角動量算符與矢量算符或標(biāo)量算符的對易關(guān)系進行定義，可以使人們更方便的利用對易關(guān)系，也有利于人們加深對角動量算符的理解.所以在教學(xué)中，應(yīng)該對這兩種定義都進行討論，這樣有利于學(xué)生深刻的理解矢量算符、標(biāo)量算符和角動量算符，以及角動量算符與空間旋轉(zhuǎn)的關(guān)系.

5 結(jié)論

本文從空間旋轉(zhuǎn)的角度給出了矢量算符和標(biāo)量算符的性質(zhì)，并據(jù)此作為矢量算符和標(biāo)量算符的定義，以此證明了角動量算符與矢量算符和標(biāo)量算符的對易關(guān)系，并列舉了幾個例子進行驗證.最后又討論了矢量算符和標(biāo)量算符可以從空間旋轉(zhuǎn)的角度進行定義，實際上是要求這兩個算符具有空間旋轉(zhuǎn)不變性，也可以從它們與角動量算符的對易關(guān)系進行定義，兩種定義各有優(yōu)點，所以在教學(xué)中，對兩種定義都進行討論，對學(xué)生理解矢量算符、標(biāo)量算符和角動量算符是非常有利的.