平面運(yùn)動學(xué)的歐拉公式描述和分析

鄭拯宇

(重慶理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，重慶 400054)

平面運(yùn)動學(xué)是通過定義各運(yùn)動要素之間的關(guān)系來描述研究對象的機(jī)械運(yùn)動規(guī)律.由于相對性是機(jī)械運(yùn)動的重要特征之一，因此在不同參考系下對同一研究對象所表現(xiàn)出的運(yùn)動特征(或規(guī)律)是不同的；并且，用以描述機(jī)械運(yùn)動規(guī)律的相關(guān)運(yùn)動特征參數(shù)(角速度、角加速度等)是帶有方向性的，具有矢量形式.這就需要在各參考系下對這些運(yùn)動特征參數(shù)進(jìn)行繁瑣的矢量描述和分析，并確定不同參考系下各矢量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.研究表明：國內(nèi)外現(xiàn)代理論力學(xué)教材普遍系統(tǒng)地采用了矢量記號[1]，尤其在平面運(yùn)動學(xué)問題的描述和分析上主要是采用矢量分析法進(jìn)行的[2-4].但現(xiàn)有教材中的矢量分析法的推導(dǎo)過程較為繁瑣，不易理解.并且，由于理論力學(xué)教材中相關(guān)概念并不十分準(zhǔn)確和完整，尤其是對于點(diǎn)的運(yùn)動合成定理中相對位移、相對速度、相對加速度等概念的描述存在一定的歧義[5,6]，從而使得平面運(yùn)動學(xué)長期以來一直成為理論力學(xué)教學(xué)實(shí)踐活動中的難點(diǎn)和探討熱點(diǎn)[7-10].鑒于此，一些學(xué)者試圖利用復(fù)變函數(shù)的某些性質(zhì)來解決平面運(yùn)動學(xué)的部分問題，并進(jìn)行了有益的探索[11-13]，但其推衍過程仍顯繁瑣和不足.

本文將復(fù)變函數(shù)領(lǐng)域中的歐拉公式引入平面運(yùn)動學(xué)中，全面描述并分析了平面運(yùn)動學(xué)中的相關(guān)問題.由于復(fù)平面概念將復(fù)數(shù)與矢量緊密聯(lián)系起來，其中的復(fù)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)則為確定不同參考系下各矢量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系提供了方法與規(guī)則，而歐拉公式的引入則為復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算帶來了簡潔和規(guī)范.

1 平面動點(diǎn)的復(fù)平面描述

1.1 歐拉公式

萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)所建立的歐拉公式將復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系了起來，從而使得三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)平面領(lǐng)域[14]：

eiφ=cosφ+isinφ

(1)

其中：e是自然常數(shù)，i是虛數(shù)單位，φ是以弧度為單位的參數(shù)，這里取逆時(shí)針為正值.

eξ是沿徑矢方向的單位矢量，橫向單位矢量垂直徑矢方向且與φ增大方向一致，易知eξ與eη之間的關(guān)系可用下式表示：

(2)

eη垂直于eξ，即方向沿eξ逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2度.

利用數(shù)學(xué)變換，可知

(3)

可見，復(fù)指數(shù)形式的歐拉公式的引入為復(fù)平面領(lǐng)域的矢量計(jì)算提供了一套簡潔規(guī)范的運(yùn)算規(guī)則.同時(shí)，由于復(fù)數(shù)對于四則運(yùn)算是封閉的，這為利用歐拉公式研究矢量在復(fù)平面的旋轉(zhuǎn)變換和平移條件下的變換帶來可能.

1.2 平面點(diǎn)的描述

平面上任一動點(diǎn)M的運(yùn)動均可建立相應(yīng)的復(fù)平面并引入歐拉公式對其徑矢的變化進(jìn)行描述(如圖1所示).則動點(diǎn)M的運(yùn)動方程可用如下形式描述：

圖1 復(fù)數(shù)平面中的歐拉公式

rM(t)=|rOM(t)|[cosφ(t)+isinφ(t)]=rOMeiφ

(4)

2 平面運(yùn)動學(xué)分析

2.1 點(diǎn)的運(yùn)動描述

現(xiàn)假設(shè)復(fù)平面上動點(diǎn)M的矢徑r末端描繪出一條連續(xù)的矢端曲線(即動點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡)，動點(diǎn)在Δt時(shí)間段從M點(diǎn)沿軌跡移動至M′點(diǎn)，如圖2所示.

圖2 動點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡

動點(diǎn)M的速度可表示為

(5)

將式(5)對時(shí)間求二次導(dǎo)數(shù)，則可得到動點(diǎn)M的加速度：

(6)

可見，動點(diǎn)M的運(yùn)動參數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律體現(xiàn)在矢徑方向eξ以及垂直矢徑的方向eη上.由于上式包含了矢徑的模rOM(t)對時(shí)間的一階和二階導(dǎo)數(shù)，這將對于諸如點(diǎn)的螺旋運(yùn)動等變徑矢運(yùn)動狀態(tài)的理解和分析帶來便利.

若動點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡已知，則可以在復(fù)平面上采用瞬時(shí)坐標(biāo)系的概念：即選取動點(diǎn)軌跡上任意瞬時(shí)M點(diǎn)處的曲率中心為瞬時(shí)復(fù)平面的原點(diǎn)O.則動點(diǎn)M的矢徑可表示為

r(t)=ρeiφ′(t)

(7)

這里，ρ為動點(diǎn)軌跡上該瞬時(shí)M點(diǎn)處的曲率半徑，為常量；φ′(t)是軌跡上該瞬時(shí)點(diǎn)的曲率中心方向與水平軸的夾角.

將上式代入式(5)和式(6)，則可輕易地推導(dǎo)出動點(diǎn)M的經(jīng)典弧坐標(biāo)形式：

(8)

其中，eτ=ieiφ′(t)是動點(diǎn)軌跡上t時(shí)刻M點(diǎn)處的切向單位矢量；en=eiφ′(t)是其法向單位矢量(如圖2所示).

2.2 點(diǎn)的合成運(yùn)動

由于相對性是機(jī)械運(yùn)動的重要特征之一，因此對于平面上點(diǎn)的復(fù)雜運(yùn)動，一般需要建立定系和動系以便直觀描述動點(diǎn)的運(yùn)動.為了研究動點(diǎn)M的合成運(yùn)動，分別以點(diǎn)O和點(diǎn)O′為原點(diǎn)建立定復(fù)平面(定系)和動復(fù)平面(動系)，如圖3所示.其中，單位向量：eξ=ei(θ+φ)，eη=iei(θ+φ).

圖3 點(diǎn)的合成運(yùn)動

則動點(diǎn)M的矢徑可描述為

rM=rO′+rO′M=rO′+rO′Mei(θ+φ)

(9)

將式(9)兩端對時(shí)間求導(dǎo)，可得動點(diǎn)M的絕對速度和絕對加速度：

(10)

若動復(fù)平面上動點(diǎn)相對運(yùn)動軌跡已知，則可采用瞬時(shí)坐標(biāo)系概念，并結(jié)合式(5)、式(6)和式(8)，則可得到所熟悉的經(jīng)典相對速度和相對加速度的表示形式[16,17]：

(11)

2.3 剛體的運(yùn)動分析

剛體是各質(zhì)點(diǎn)間的相對位置保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)系，同樣需要建立定系和固結(jié)于剛體的動系來直觀描述剛體上點(diǎn)的運(yùn)動.因此，剛體運(yùn)動的分析可歸屬于特殊情況下點(diǎn)的合成運(yùn)動分析，其核心仍是本文所推導(dǎo)出的式(10).所不同的是：需根據(jù)剛體運(yùn)動情況(平行移動、定軸轉(zhuǎn)動和平面運(yùn)動)對公式中所出現(xiàn)的各參數(shù)(rO′、rO′M、φ、θ)是否為變量進(jìn)行必要的設(shè)定和說明.

1) 剛體的平行移動

若剛體在平面上作平行移動，則選取剛體上某點(diǎn)O′為動復(fù)平面的原點(diǎn)，建立隨剛體平移的動復(fù)平面，如圖4所示.

圖4 剛體的平行移動

剛體上任一點(diǎn)M的矢徑rM均可表示如下：

rM=rO′+rO′M=rO′+rO′Meiφ

(12)

這里，rO′M=常量；φ=常量；rO′=矢變量.

現(xiàn)將式(12)代入式(10)(此時(shí)剛體作平移，θ=0，可得到點(diǎn)動點(diǎn)M的速度及加速度：

(13)

上式表明：對于平行移動剛體，其上所有點(diǎn)的速度以及加速度均是相同的，故可以用剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動代表整個剛體的運(yùn)動.

2) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動

設(shè)平面上某剛體繞其通過轉(zhuǎn)動中心O′的軸進(jìn)行定軸轉(zhuǎn)動，則選取轉(zhuǎn)動中心O′為原點(diǎn)建立隨剛體定軸轉(zhuǎn)動的動復(fù)平面，M為剛體上任一點(diǎn)，如圖5所示.

圖5 剛體的定軸轉(zhuǎn)動

動點(diǎn)M的徑矢可表示為

rM=rO′+rO′M=rO′+rO′Mei(θ+φ)

(14)

這里，rO′=常矢量；rO′M=常量；φ=常量；θ=變量；法向和切向單位矢分別為：en=ei(θ+φ)，et=iei(θ+φ).

將式(14)代入式(10)，則得到點(diǎn)M的絕對速度和絕對加速度：

(15)

3) 剛體的平面運(yùn)動

若剛體作平面運(yùn)動，則在剛體上選取一點(diǎn)O′作為原點(diǎn)(基點(diǎn))建立動復(fù)平面，M為剛體上任意點(diǎn)，如圖6所示.

圖6 剛體的一般平面運(yùn)動

動點(diǎn)M的矢徑可描述為

rM=rO′+rO′M=rO′+rO′Mei(θ+φ)

(16)

這里，rO′=變矢量；rO′M=常量；φ=常量；θ=變量.

將式(16)代入式(10).可知：

(17)

3 結(jié)論

本文采用復(fù)函數(shù)平面以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的Ox、Oy軸實(shí)數(shù)平面，利用復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系，并引入以復(fù)指數(shù)形式表達(dá)的歐拉公式，其封閉的四則運(yùn)算公式為理論力學(xué)中的平面運(yùn)動學(xué)問題的矢量分析與計(jì)算提供了一套規(guī)范的運(yùn)算規(guī)則，避免了實(shí)數(shù)平面矢量分析中的點(diǎn)積和叉積運(yùn)算規(guī)則所帶來的困惑，從而使得平面運(yùn)動學(xué)的分析與計(jì)算變得簡潔和規(guī)范.由于整個平面運(yùn)動學(xué)分析是建立在復(fù)函數(shù)平面上的，因此只需要關(guān)注動點(diǎn)、基點(diǎn)(參考點(diǎn))在復(fù)平面(含定、動復(fù)平面)的矢量表達(dá)，并轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的歐拉公式復(fù)指數(shù)形式，利用速度和加速度的定義并結(jié)合復(fù)指數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，可快速地獲得動點(diǎn)完整的速度和加速度.在已知動點(diǎn)軌跡的前提下，引入瞬時(shí)坐標(biāo)系的概念，則所得到的平面運(yùn)動學(xué)問題(剛體的運(yùn)動、點(diǎn)的合成運(yùn)動)中的速度和加速度與經(jīng)典理論完全一致.