凸面恒溫基底上固著液滴蒸發(fā)特性研究

張舒蕾，李冰杰，蔣健，董新宇，2，劉璐，2

（1 華北電力大學(xué)動力工程系，河北 保定 071003； 2華北電力大學(xué)，河北省低碳高效發(fā)電技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 保定 071003）

引 言

固體基底上固著液滴的蒸發(fā)廣泛應(yīng)用于化工[1-2]、噴淋冷卻[3-4]、電子器件散熱[5-6]等領(lǐng)域。液滴蒸發(fā)過程包含的傳熱傳質(zhì)機(jī)制有：基底內(nèi)部導(dǎo)熱、液滴內(nèi)部由于溫度梯度和表面張力梯度而產(chǎn)生的對流、液滴與基底間界面換熱、液滴周圍蒸氣的傳質(zhì)擴(kuò)散，以及蒸發(fā)引起的氣液界面演化[7]。其中，需要考慮的問題涉及三相接觸線動力學(xué)、界面演化、液滴內(nèi)部Marangoni流動等。

近年來，對固著液滴蒸發(fā)過程的研究多集中于工質(zhì)種類[8-9]、基底性質(zhì)[10-11]及外界環(huán)境[12-15]等因素對液滴蒸發(fā)特性的影響，主要分為實(shí)驗(yàn)研究和理論研究兩個方面。實(shí)驗(yàn)研究方面，Rowan等[8]實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，聚甲基丙烯酸甲酯表面上水滴和特氟龍表面上的醇類液滴蒸發(fā)過程的高度和接觸角均隨時間線性變化，當(dāng)初始接觸角小于90°時，蒸發(fā)初始階段為恒定接觸半徑蒸發(fā)模式。閆鑫等[9]研究了金納米流體液滴的蒸發(fā)模式，發(fā)現(xiàn)納米粒子在接觸線上的沉淀導(dǎo)致接觸線釘扎，蒸發(fā)過程中接觸角不斷減小。金艷艷等[10]選用單晶硅片和聚四氟乙烯膜作為基底，采用四種濃度的乙醇水溶液，研究了水-乙醇二元混合液滴在固體表面上的蒸發(fā)規(guī)律。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，添加乙醇縮短了液滴的蒸發(fā)時間，減弱了液滴的釘扎效應(yīng)，使得液滴更容易發(fā)生滑移。Gurrala等[11]實(shí)驗(yàn)研究了不同基底溫度下乙醇-水二元混合物固著液滴的蒸發(fā)特性，發(fā)現(xiàn)提高基底溫度會迅速降低液滴壽命。Liu 等[15]進(jìn)行了降壓過程中固著水滴蒸發(fā)的實(shí)驗(yàn)和理論研究，結(jié)果表明，由于基底的潤濕性不同，水滴在載玻片表面蒸發(fā)最快，在特氟龍表面蒸發(fā)最慢。理論研究方面，董佰揚(yáng)等[16]通過引入動態(tài)接觸角模型模擬液滴蒸發(fā)過程，分析了液滴體積和接觸角隨時間的變化。Nguyen等[17]采用分離變量法求解了液滴蒸發(fā)準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)傳熱擴(kuò)散與傳質(zhì)擴(kuò)散的雙向耦合模型，提出了固著液滴蒸發(fā)與界面蒸發(fā)冷卻效應(yīng)耦合的解析解。Zhu 等[18]建立了恒定接觸角蒸發(fā)模式下固著液滴的三維蒸發(fā)模型，該模型可直接通過局部蒸發(fā)通量計(jì)算液滴界面演化。Shen等[19]對固著液滴蒸發(fā)過程進(jìn)行了理論分析和數(shù)值模擬，研究了接觸角、蒸發(fā)冷卻效應(yīng)和基底過熱對液滴蒸發(fā)的影響。

盡管學(xué)者們對固著液滴蒸發(fā)過程開展了大量研究，但大多集中于水平剛性基底上的液滴蒸發(fā)現(xiàn)象，而對于固著液滴在曲面基底上的研究則較少涉及。液滴在曲面基底上的蒸發(fā)現(xiàn)象在工業(yè)生產(chǎn)中非常常見，例如：液滴撞擊加熱管壁的汽化過程、內(nèi)燃機(jī)燃料液滴撞擊彎曲壁面的汽化過程等[20]。對于曲面基底，基底導(dǎo)熱[21]、液滴周圍蒸氣擴(kuò)散[22-24]和界面演化[25-28]對液滴蒸發(fā)的影響與平面基底存在差異。Dhar等[21]研究了超疏水表面上的固著液滴蒸發(fā)過程中其內(nèi)部流動速度與基底表面曲率的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)增加基底曲率可以提高液滴內(nèi)部流速。Paul 等[24]研究了固著液滴在親水和超疏水彎曲表面上的蒸發(fā)過程，利用粒子圖像測速技術(shù)獲得了蒸發(fā)液滴內(nèi)部的流場，并分析了彎曲基底上液滴蒸發(fā)的形態(tài)變化。Petsi等[26]研究了在彎曲和水平恒溫基底上的二維固著液滴蒸發(fā)過程其內(nèi)部溫度分布，發(fā)現(xiàn)液滴在凸面基底上的溫度變化大于在水平和凹面基底上的溫度變化。Shen等[27]建立了固著液滴在彎曲基底上蒸發(fā)的傳熱傳質(zhì)理論模型，采用環(huán)形坐標(biāo)系將蒸發(fā)傳質(zhì)與氣/液界面?zhèn)鳠岷凸?液界面?zhèn)鳠崛唏詈?，分析了蒸發(fā)冷卻效應(yīng)、基底熱導(dǎo)率和液滴初始形狀對蒸發(fā)過程的影響。

針對曲面基底上液滴蒸發(fā)特性的研究還較少，且對于凸面恒溫基底上液滴蒸發(fā)傳熱傳質(zhì)理論模型缺乏實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。本文搭建凸面恒溫基底上蒸餾水液滴蒸發(fā)的可視化實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，研究液滴蒸發(fā)模式，采用紅外熱像儀捕獲液滴表面溫度分布。采用環(huán)形坐標(biāo)系建立凸面恒溫基底上固著液滴蒸發(fā)的傳熱傳質(zhì)模型，在Shen 等[27]研究的基礎(chǔ)上，理論推導(dǎo)液滴內(nèi)部溫度分布以及周圍蒸氣濃度分布的解析解。將模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比，驗(yàn)證模型的可靠性。

1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

本文搭建了凸面恒溫基底上固著液滴蒸發(fā)的可視化實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，如圖1所示。該系統(tǒng)由加熱模塊、溫度控制模塊以及圖像采集模塊組成。加熱模塊包括不同曲率直徑的銅圓柱（D0=20、30、40 mm）和加熱棒（額定功率80 W）；溫度控制模塊包括PID 溫度控制器和熱電偶，用于控制基底表面溫度，其中PID 溫度控制器精度為0.1℃，熱電偶的絕對測量誤差為±0.2℃；圖像采集模塊包括CMOS 相機(jī)、紅外熱成像儀和冷光源。

其中，CMOS 相機(jī)（Point Grey，分辨率1280×960，幀率90 幀/秒）記錄液滴蒸發(fā)過程中的形態(tài)演變，紅外熱成像儀（FLIR T620，絕對測量誤差±2℃，幀率60 幀/秒）記錄液滴表面溫度分布。為確保紅外熱像儀捕獲溫度的準(zhǔn)確性，在加熱銅柱表面貼一層厚度為10 μm 的親水性黑膜（Nitto UTD-10B），黑膜表面粗糙度Ra= 0.023 μm。實(shí)驗(yàn)中，在銅柱側(cè)面做好中心位置標(biāo)定，使用ImageJ 軟件對圖像進(jìn)行分析處理，測量誤差為0.026 mm。實(shí)驗(yàn)采用蒸餾水作為液滴工質(zhì)，初始體積為1、3 和5 μl，基底溫度分別為62.6、72.6、82.6℃，環(huán)境溫度為（26.3±0.2）℃，相對濕度為52%±3%。實(shí)驗(yàn)過程中，通過恒溫恒濕空調(diào)調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)室內(nèi)溫濕度恒定，盡可能減小環(huán)境因素變化對實(shí)驗(yàn)過程的影響。每組工況實(shí)驗(yàn)重復(fù)3 次，保證實(shí)驗(yàn)的可重復(fù)性。

2 理論模型

對于曲面基底，引入圓環(huán)坐標(biāo)系(α,β)以描述液滴蒸發(fā)過程的界面演化，如圖2 所示。液滴/基底界面和液滴/空氣界面分別由（0 ≤α＜∞,π -θsub）和（0 ≤α＜∞,π -θ）進(jìn)行描述。其中，θ和θsub分別為液滴球冠、基底球冠與水平面在接觸線上的夾角；R為液滴接觸半徑；T∞和C∞分別為無窮遠(yuǎn)處環(huán)境溫度和蒸氣濃度；Tw為基底表面溫度；iα和iβ分別為沿α軸和β軸方向的單位向量。

圖2 物理模型示意圖[27]Fig.2 Schematic diagram of physical model[27]

邊界條件為：

傳熱與傳質(zhì)耦合的邊界條件為：

式中，q為熱通量；L為液滴的汽化潛熱；J為液滴/空氣界面處的蒸發(fā)通量。

對上述方程進(jìn)行求解可得[27]：

式中，E0為蒸發(fā)冷卻數(shù)（E0=bLD/k），b= dCsat/dT，k為液滴熱導(dǎo)率，D為蒸氣在空氣中的擴(kuò)散系數(shù)[29]。當(dāng)E0= 0時，不考慮蒸發(fā)冷卻效應(yīng)。

液滴的質(zhì)量蒸發(fā)率為：

其中

3 結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.1.1 液滴形態(tài)變化 圖3 所示為基底溫度為72.6℃時5 μl 固著水滴在凸面基底上蒸發(fā)過程的形態(tài)變化，圖4 為凸面基底上不同初始體積的液滴接觸半徑隨蒸發(fā)時間的變化。

圖3 凸面基底上固著水滴蒸發(fā)過程的形態(tài)演化（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm）Fig.3 Morphological evolution of sessile water droplet evaporation on convex substrate(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm)

圖4 凸面基底上不同初始體積固著水滴蒸發(fā)過程接觸半徑隨時間的變化（Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm）Fig.4 Variation of contact radius with time during sessile water droplet evaporation with different initial volumes on convex substrate(Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm)

分析圖3、圖4 可得：水滴在凸面基底上蒸發(fā)分為三個階段，即鋪展階段、恒定接觸半徑蒸發(fā)階段和混合蒸發(fā)階段。鋪展階段指液滴在基底上鋪展直至最大接觸半徑，當(dāng)液滴體積分別為1、3、5 μl時，其最大鋪展半徑分別為0.71、1.46、2.05 mm，鋪展階段占總蒸發(fā)時間的比例為4.3%、3.2%、2.8%。恒定接觸半徑蒸發(fā)階段指液滴在蒸發(fā)過程中接觸半徑保持不變而接觸角不斷減小，當(dāng)液滴體積分別為1、3、5 μl 時，該階段占液滴總蒸發(fā)時間比例分別為89.3%、92.5%、93.7%。混合蒸發(fā)階段指液滴接觸半徑和接觸角均隨時間不斷減小，液滴接觸線開始“去釘扎”，當(dāng)液滴體積分別為1、3、5 μl時，混合蒸發(fā)階段占總蒸發(fā)時間的比例為6.4%、4.3%、3.5%。綜合來看，凸面恒溫基底上蒸餾水液滴的蒸發(fā)主要遵循恒定接觸半徑蒸發(fā)模式。

為對比凸面與平面基底上液滴蒸發(fā)的區(qū)別，進(jìn)行基底溫度為72.6℃時5 μl固著水滴在平面基底上的蒸發(fā)實(shí)驗(yàn)。圖5所示為液滴蒸發(fā)過程中的形態(tài)變化，圖6 為兩種不同基底表面上液滴蒸發(fā)過程的接觸半徑隨時間的變化?？梢钥闯?，平面基底上的水滴鋪展后，進(jìn)入恒定接觸半徑蒸發(fā)階段，其后接觸線緩慢收縮，蒸發(fā)后期接觸線快速收縮直至液滴完全蒸發(fā)。相較于凸面基底，平面基底上的液滴最大鋪展半徑較小，釘扎時間縮短，總蒸發(fā)時間較長。這是由于基底表面曲率的存在促進(jìn)了液滴的鋪展，同時延緩了接觸線收縮行為的發(fā)生。凸面基底上液滴的鋪展面積較大，增強(qiáng)了基底向氣液界面的傳熱，提高了液滴的蒸發(fā)速率。

圖5 平面基底上固著水滴蒸發(fā)過程的形態(tài)演化（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃）Fig.5 Morphological evolution of evaporation process of sessile water droplet on flat substrate(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃)

圖6 不同基底表面上固著水滴蒸發(fā)過程接觸半徑隨時間的變化（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃）Fig.6 Variation of contact radius with time during water droplet evaporation on different substrate surfaces(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃)

3.1.2 液滴表面溫度分布 圖7所示為凸面基底溫度72.6℃時，5 μl 蒸餾水液滴蒸發(fā)過程的紅外熱成像圖。蒸餾水在紅外熱像儀的工作波段下發(fā)射率為0.96，接近1[30]，故可認(rèn)為紅外熱像儀所測溫度為液滴表面溫度。從圖中可以看出，當(dāng)液滴鋪展到最大半徑后，液滴表面沿徑向有較大溫度梯度，沿液滴表面從中心到接觸線方向溫度單調(diào)遞增，液滴表面中心溫度最低。由于液滴蒸發(fā)冷卻作用，接觸線附近基底溫度明顯低于周圍基底溫度。隨后，液滴內(nèi)部整體溫度升高，徑向溫度梯度減小，接觸線附近基底溫度與周圍基底溫度差值減小。這是由于液滴接觸角減小，液滴氣液界面與基底表面之間的距離減小，從而促進(jìn)了從基底到氣液界面的傳熱，造成液滴溫度升高，表面整體溫度趨于均勻。當(dāng)進(jìn)行到蒸發(fā)后期，液滴整體表面溫度分布均勻，接觸線附近基底溫度接近周圍基底溫度。

圖7 凸面基底上固著水滴蒸發(fā)過程的紅外熱成像圖（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm）Fig.7 Infrared thermography of evaporation process of water droplets on convex substrate(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm)

3.2 模型計(jì)算結(jié)果

3.2.1 影響液滴蒸發(fā)速率的因素 使用Matlab 軟件對理論模型進(jìn)行計(jì)算，圖8對不同液滴初始體積、凸面基底溫度及凸面基底曲率下液滴蒸發(fā)體積變化的模型計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較。圖中，將液滴體積無量綱化處理，V為液滴剩余體積，V0為液滴初始體積。

圖8（a）比較了液滴初始體積對液滴蒸發(fā)過程的影響?？梢钥闯?，當(dāng)不考慮蒸發(fā)冷卻效應(yīng)即E0= 0時，液滴體積變化速率較實(shí)驗(yàn)結(jié)果更快，液滴蒸發(fā)時間更短，這與Xu 等[31]的理論分析結(jié)果相一致，表明模型考慮蒸發(fā)冷卻效應(yīng)可使計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。

圖8（b）比較了凸面基底溫度對液滴蒸發(fā)過程的影響。根據(jù)計(jì)算，當(dāng)基底溫度為62.6、72.6、82.6℃時，蒸發(fā)冷卻數(shù)E0的取值分別為0.52、0.72、0.95。如圖所示，隨著基底溫度的升高，液滴的蒸發(fā)速率加快。這是由于基底溫度越高，氣液界面溫度也越高，液滴蒸氣濃度越大，蒸發(fā)速率越快。

圖8 模型計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的比較Fig.8 Comparison between calculated results and experimental data

圖8（c）比較了凸面基底曲率對液滴蒸發(fā)過程的影響。可以看出，當(dāng)基底曲率直徑D0= 20 mm時，液滴蒸發(fā)速率最快。這是由于基底曲率直徑越小，液滴重力沿基底切向的分力越大，使得液滴在凸面上的鋪展半徑更大，基底向氣液界面的傳熱增強(qiáng)，加快了液滴的蒸發(fā)。

由圖8 可以看出，模型計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了本文模型的可靠性。

3.2.2 液滴內(nèi)部溫度分布 圖9所示為凸面基底上液滴蒸發(fā)過程的內(nèi)部溫度分布。由于本文模型不考慮液滴鋪展過程，故模型計(jì)算的初始時刻為液滴鋪展到最大接觸半徑的時刻。圖中t?為無量綱蒸發(fā)時間。可以看出，由于液滴/基底界面與液滴/空氣界面之間的距離沿徑向遞減，導(dǎo)致液滴徑向產(chǎn)生較大溫度梯度，且溫度從液滴中心向接觸線方向遞增。此外，由于液滴沿高度方向距離越大，氣液界面與基底間的熱阻就越大，基底熱量無法迅速傳遞至液滴頂部[27]，液滴內(nèi)部沿高度方向產(chǎn)生較大溫度梯度，從接觸線到液滴頂部溫度逐漸減小，最低溫度位于液滴頂部中心位置。隨著蒸發(fā)不斷進(jìn)行，液滴厚度減小，固液接觸角逐漸減小，加快了基底與液滴間的傳熱，使得液滴內(nèi)部溫度梯度減小，整體溫度分布趨于均勻，最終接近基底表面溫度。

圖9 模型計(jì)算液滴內(nèi)部溫度分布（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm）Fig.9 Temperature distribution of droplet evaporation calculated by the model(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃，D0 = 40 mm)

圖10 對比了不同曲率直徑基底表面上液滴氣液界面過余溫度的模型計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果?？梢钥闯?，當(dāng)凸面曲率直徑D0= 20 mm 時，液滴頂部中心溫度更高，且液滴的徑向溫度梯度更小。這是由于液滴鋪展半徑的增大縮短了液滴氣液界面到基底的距離，增強(qiáng)了基底向氣液界面的傳熱，使得氣液界面溫度分布更為均勻。此外，液滴氣液界面處的過余溫度沿液滴表面從中心到接觸線方向單調(diào)遞增。隨著蒸發(fā)過程的進(jìn)行，液滴體積逐漸減小，液滴內(nèi)部整體溫度趨于均勻。

圖10 不同曲率直徑基底上液滴氣液界面過余溫度計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的對比（V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃）Fig.10 Comparison between calculated and experimental values of excess temperature of liquid droplet gas-liquid interface on substrates with different curvature diameters(V0 = 5 μl，Tw = 72.6℃)

4 結(jié) 論

本文搭建了凸面恒溫基底上的蒸餾水液滴蒸發(fā)可視化實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，捕獲了液滴蒸發(fā)過程形態(tài)變化和液滴表面溫度分布?；诃h(huán)形坐標(biāo)系建立了凸面恒溫基底上固著液滴蒸發(fā)的傳熱傳質(zhì)模型，推導(dǎo)出液滴內(nèi)部溫度分布及其周圍蒸氣濃度分布的解析解。將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了模型計(jì)算的可靠性。分析了凸面恒溫基底上蒸餾水液滴的蒸發(fā)特性，得到如下結(jié)論。

（1）模型計(jì)算中，需考慮蒸發(fā)冷卻，使模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值吻合較好。同時，提高基底溫度和減小基底曲率直徑均可加快液滴蒸發(fā)速率。

（2）相較于平面基底，凸面基底上液滴的鋪展半徑更大，釘扎時間延長，總蒸發(fā)時間減小，液滴蒸發(fā)主要遵循恒定接觸半徑蒸發(fā)模式。

（3）凸面基底曲率直徑越小，液滴蒸發(fā)過程內(nèi)部徑向溫度梯度越小。這是由于液滴鋪展半徑的增大縮短了液滴氣液界面到基底的距離，增強(qiáng)了基底向氣液界面的傳熱，使得氣液界面溫度分布更為均勻。液滴氣液界面過余溫度從中心到接觸線方向單調(diào)遞增。隨著蒸發(fā)過程的進(jìn)行，液滴整體溫度分布趨于均勻。

符 號 說 明

Ce——接觸線處液滴的飽和蒸氣濃度，mol/L

C∞——無窮遠(yuǎn)處環(huán)境中的蒸氣濃度，mol/L

D——蒸氣在空氣中的擴(kuò)散系數(shù)，m2/s

D0——凸面基底曲率直徑，mm

E0——蒸發(fā)冷卻數(shù)

iα(iβ)——沿α(β)軸方向的單位向量

J——液滴/空氣界面處的蒸發(fā)通量，kg/(m2·s)

k——液滴熱導(dǎo)率，W/(m·K)

L——液滴汽化潛熱，kJ/kg

dm/dt——質(zhì)量蒸發(fā)率，kg/s

q——熱通量，W/m2

R——三相接觸線接觸半徑，mm

Tw——基底上表面溫度，K

T∞——無窮遠(yuǎn)處環(huán)境中的溫度，K

T(α,β)——液滴內(nèi)部溫度值，K

V——液滴體積，mm3

θ——液滴球冠與水平面在接觸線上的夾角，rad

θsub——基底球冠與水平面在接觸線上的夾角，rad

下角標(biāo)

sub——基底

w——壁面