基于均勻化方法的砂礫巖儲層水力裂縫三維延伸模擬研究

徐康泰

(河北石油職業(yè)技術(shù)大學(xué) 教務(wù)處,河北 承德 067000)

由于礫石存在,低滲透砂礫巖儲層具有較強的非均質(zhì)性,水力壓裂儲層改造難度大,裂縫形態(tài)難以控制,裂縫三維擴展形態(tài)認識不清[1-3]。同時,礫石與研究區(qū)域間尺度差異大,在數(shù)值模擬過程中存在計算量大的弊端。本文利用均勻化方法[4-6],有效解決巖體的宏觀、細觀、微觀等多重尺度問題,分析得到砂礫巖儲層的宏觀彈性本構(gòu)關(guān)系,明顯加快計算速度[7-8]。水力壓裂裂縫三維幾何參數(shù)的計算水力壓裂的難點和重點,是成功開展壓裂施工和產(chǎn)能預(yù)測的基礎(chǔ)。針對砂礫巖儲層,在Palmer 擬三維模型的基礎(chǔ)[9-11]上,筆者結(jié)合均勻化方法計算的彈性本構(gòu)關(guān)系,得到基于均勻化方法的砂礫巖儲層水力裂縫三維延伸數(shù)學(xué)模型和計算方法。最終,根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型,完成數(shù)值模擬研究,研究了若干儲層地層參數(shù)與施工參數(shù)對三維裂縫擴展幾何形態(tài)的影響[12-14]。

1 均勻化理論

均勻化理論是一種以材料的微觀單胞結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的多尺度攝動求解方法,研究的材料具備宏觀均執(zhí)行和微觀多尺度非均質(zhì)的周期性特征,引入宏觀尺度與細觀尺度,將宏觀結(jié)構(gòu)中的多尺度的變量轉(zhuǎn)換為攝動量的漸近級數(shù)[7-8]。在此基礎(chǔ)上,進一步根據(jù)虛功原理得到單胞的平衡方程,結(jié)合有限元基本原理,由多尺度材料的控制方程得到其宏觀力學(xué)特征。

本文研究對象為低滲透砂礫巖儲層水力壓裂裂縫擴展三維延伸形態(tài),在進行三維幾何尺寸的計算前,需要解決由礫石存在帶來的多尺度問題,計算砂礫巖儲層的巖石彈性本構(gòu)關(guān)系。研究區(qū)域內(nèi)處于宏觀尺度下的某點的結(jié)構(gòu)場變量在其鄰域ε內(nèi)也存在高度非均勻特性,在砂礫巖中取宏觀坐標上一點x,在細觀尺度y上將其放大為研究基礎(chǔ)單胞Y,且滿足:

式中,1/ε為放大因子。

在細觀尺度坐標內(nèi),將滿足以下數(shù)學(xué)關(guān)系。

平衡方程:

式中,n為邊界Ψ上的單位法向量;為施加在邊界上的外載荷。

位移邊界條件:

式中,為位移張量。

基于虛位移原理,利用漸近展開技術(shù),得到雙尺度漸進展開的材料等效積分弱形式:

其中,uε(x)為Ψ域上任一點位移,vi為滿足邊界條件的虛位移。

通過分析,可得宏觀平衡方程、細觀平衡方程,分別為式(8)與式(9):

因此,單胞宏觀等效彈性張量為:

式中,為單胞域上的位移場;k、l和p為相應(yīng)的張量指標符號。

2 砂礫巖儲層多尺度數(shù)學(xué)表征

在均勻化理論的基礎(chǔ)上,結(jié)合砂礫巖儲層特征,按照式(10),完成砂礫巖儲層巖石彈性系數(shù)矩陣的均勻化處理。

砂礫巖儲層多尺度問題主要表現(xiàn)在儲層礫石的存在,故將儲層表征為“基質(zhì)-交界面-礫石”復(fù)合態(tài)[15-17]。二維平面內(nèi),可用粒徑與圓心位置表示確定一個礫石。在多礫石情況下,礫石粒徑與位置滿足隨機分布規(guī)律,并可采用Monte-Carlo 進行隨機抽樣,任意生成砂礫巖儲層。

礫石粒徑l滿足正態(tài)分布,概率密度函數(shù)為:

式中,μ為l的均值;σ為l的均方差。

礫石圓心位置(x0,y0) 滿足均勻分布,有:

式中,W為研究區(qū)域長,m;H為區(qū)域?qū)?m;rand(0,1)為(0,1)內(nèi)的偽隨機數(shù)。

3 水力壓裂三維延伸模型

水力壓裂裂縫延伸方程主要包括連續(xù)方程、壓降方程、裂縫寬度方程、裂縫高度方程;在擬三維模型的假設(shè)下,以Palmer 模型為基礎(chǔ),具體有:

1)連續(xù)性方程假設(shè)壓裂液為不可壓縮流體,壓裂液進入裂縫的速度與縫長方向一致,根據(jù)流量平衡原理,得到壓裂液連續(xù)性方程:

式中,q(x,t)是t時刻縫內(nèi)x處的流體流量,m3/s;λ(x,t)為單位裂縫長度上濾失速度,m2/s;C為地層綜合濾失系數(shù);τ為初濾失時間,s;A(x,t)為t時刻裂縫內(nèi)x處裂縫的橫截面積,m2。

2)壓降方程根據(jù)冪律流體平行板流,考慮截面為橢圓,壓降方程寫作:

式中,p為產(chǎn)層中部凈壓力,MPa;x為縫長方向,m;k為壓裂液稠度系數(shù);n為流動指數(shù);L為半縫高,m;w為半縫寬,m;q為裂縫內(nèi)流量,m3/s;ζ為裂縫截面系數(shù)。

3)裂縫寬度方程根據(jù)England-Green 方程,本文僅考慮在產(chǎn)層中部,上下隔層最小水平應(yīng)力相等時,且裂縫未達到隔層時,裂縫寬度方程:

式中,S1為產(chǎn)層應(yīng)力,MPa;S2為隔層應(yīng)力,MPa;H為產(chǎn)層厚度,m;Pf為縫內(nèi)流壓,MPa。

4)裂縫高度方程水力裂縫內(nèi)的流體壓力沿縫高方向呈現(xiàn)非均勻分布,依據(jù)強度因子,考慮在擬三維模型中,與前文假設(shè)一致,裂縫在儲層中部,且不穿透隔層,得到裂縫尖端應(yīng)力強度因子。

裂縫斷面上端點強度因子:

下端應(yīng)力強度因子:

式中,L為裂縫半高,m;y1=y2=,m。

4 參數(shù)敏感性分析

利用上文的建立模型,取國內(nèi)某典型低滲透砂礫巖油藏儲層參數(shù),利用砂礫巖儲層多尺度數(shù)學(xué)表征,結(jié)合均勻化理論,模擬得到巖石力學(xué)參數(shù)等效彈性張量;在裂縫擴展擬三維模型的基礎(chǔ)上,分析地層參數(shù)與施工參數(shù)對砂礫巖儲層裂縫擴展幾何形態(tài)影響。數(shù)值模擬所需參數(shù)有:孔隙度0.05;滲透率1 ×10-3μm2;水平最大主應(yīng)力45 MPa;水平最小主應(yīng)力38 MPa;隔層應(yīng)力差7 MPa;原始地層壓力50 MPa;巖石抗張強度5 MPa;基質(zhì)彈性模量3 200 MPa;基質(zhì)泊松比0.25;礫石彈性模量5 000 MPa;礫石泊松比0.2;礫石-基質(zhì)交界面彈性模量2 000 MPa;礫石-基質(zhì)交界面泊松比0.3;注入排量5 m3/min;壓裂液黏度160 mPa·s。

設(shè)定砂礫巖儲層中礫石粒徑為15 mm,礫石含量為70%,采用本文均勻化方法,根據(jù)式(10),得到整體宏觀砂礫巖等效彈性系數(shù)組合彈性模量和泊松比,分別為3 600 MPa、0.22。將得到的等效彈性參數(shù)作為后續(xù)擬三維水力壓裂裂縫延伸計算中,最終輸入的砂礫巖儲層巖石力學(xué)參數(shù),并進行參數(shù)敏感性分析,分析不同地應(yīng)力差、壓裂排量與壓裂液黏度下的裂縫擴展情況。

不同地層應(yīng)力差下的水力裂縫三維擴展情況如圖1 所示。從圖1 可以看出:1)隨著應(yīng)力差的增大,水力裂縫高度明顯呈現(xiàn)下降趨勢,且裂縫長度和寬度均隨之增加;進一步分析,在研究值域內(nèi)應(yīng)力差繼續(xù)增大,裂縫高度、長度與寬度的變化越明顯;2)分析其原因,地層應(yīng)力差的增大,導(dǎo)致裂縫在高度上擴展的難度加大,考慮流量平衡原理,將產(chǎn)生更長的裂縫,并使得裂縫寬度有所增加,裂縫內(nèi)凈壓力增大。

不同施工排量下的水力裂縫三維擴展情況如圖2所示。從圖2 可以看出:1)隨著施工排量的增大,水力裂縫高度、裂縫長度和寬度均隨之增加;進一步分析,在研究值域內(nèi)排量的增大與裂縫長度、高度、寬度增大程度類似;2)分析其原因,施工排量的增大,導(dǎo)致縫內(nèi)壓力增大,同時裂縫短時間內(nèi)的濾失少,裂縫長度、高度與寬度均有增大。

不同壓裂液黏度下的水力裂縫三維擴展情況如圖3所示。從圖3 可以看出:1)隨著壓裂液黏度的增大,水力裂縫高度與寬度呈現(xiàn)明顯下降趨勢,裂縫長度反而隨之增加;進一步分析,在研究值域內(nèi)壓裂液黏度繼續(xù)增大,裂縫高度、長度與寬度的變化趨勢減弱;2)分析其原因,壓裂液黏度的增大,導(dǎo)致壓裂液在裂縫內(nèi)的憋壓,凈壓力增大,導(dǎo)致裂縫在寬度和高度上擴展明顯,而限制了裂縫在長度的延伸。

5 結(jié)論

1)均勻化方法是一種多尺度攝動求解方法,通過建立的平衡方程、本構(gòu)方程、幾何方程、邊界條件等,結(jié)合有限元原理,利用虛位移原理,最終求解得到單胞宏觀等效彈性張量,解決材料帶來的多尺度問題,有效降低計算過程中的計算量。

2)將儲層表征為“基質(zhì)-交界面-礫石”復(fù)合態(tài),儲層礫石粒徑與位置滿足隨機分布規(guī)律,采用Monte-Carlo 進行隨機抽樣,任意生成砂礫巖儲層,完成砂礫巖儲層表征。

3)在擬三維模型的假設(shè)下,以Palmer 模型為基礎(chǔ),完成水力壓裂裂縫延伸方程,主要包括連續(xù)方程、壓降方程、裂縫寬度方程、裂縫高度方程。

4)完成砂礫巖儲層水力壓裂裂縫三維擴展數(shù)值模擬研究,利用本文均勻化方法,得到整體宏觀砂礫巖等效彈性系數(shù)組合彈性模量和泊松比,分別為3 600 MPa、0.29;利用擬三維裂縫擴展模型,分析表明:地層應(yīng)力差、施工排量與壓裂液黏度均影響裂縫三維擴展。