跳躍說謊者悖論與布爾悖論

熊 明， 陳樹源

(華南師范大學 哲學與社會發(fā)展學院，廣州 510631)

一、引 論

是否存在這樣的對象：它一方面類似于說謊者悖論，蘊含著矛盾，另一方面卻無法通過語句表達出來？這種對象的有趣之處在于，它具有不可言喻的矛盾。筆者在文章《相對化T-模式下的跳躍說謊者與茹爾丹卡片悖論》[1]中提出的當n大于1時的n-跳躍說謊者就是這類對象的候選者。這類對象的提出意味著不可言喻的矛盾不必是一種心理狀態(tài)，還可以是形而上學之物，是經得住邏輯分析的對象。

n-跳躍說謊者悖論其實是說謊者悖論的一種推廣。眾所周知，說謊者悖論可通過如下自指性語句進行表達：

語句(L)不為真。

(L)

這個語句之為悖論是因為：如果(L)為真，則根據(L)可知，(L)為假；如果(L)為假，則根據(L)可知，(L)為真。這就形成一個賦值循環(huán)。對此循環(huán)，筆者提出可按如下方式展開到關系框架(以下簡稱框架)，并由此提出說謊者語句具有如下語義特征：L在框架中一個點為真，則L在該點通達的任意點為假；反之，若它在一個點為假，則它在該點通達的任意點為假[1]。

遵循上述思想，進一步提出的悖論是：如果該悖論中每個語句在框架中的一個點為真，那么它在該點n次通達的任意點為假；反之，若它在一個點為假，則它在該點n次通達的任意點為真(嚴格定義見下一節(jié))。具有這種特征的語句集就是n-跳躍說謊者。注意，當n等于1時，n-跳躍說謊者退化為說謊者悖論。一般而言，每個n-跳躍說謊者都在一定的框架下導致悖論。因此，它們都屬于悖論之列。

鑒于1-跳躍說謊者悖論就是不可言喻說謊者悖論，而其他跳躍說謊者悖論僅通過特定語義條件被隱定義，因此有如下“顯定義”問題：當n大于1時，n-跳躍說謊者悖論是否與說謊者悖論一樣，也可以用自指性語句進行定義？[1]269這一問題的答案被猜測為否定的[2]145。

若果真如此，如本文一開始所指出的那樣，當n大于1時，n-跳躍說謊者悖論就是不可言喻的矛盾之物。

本文嘗試推進上述問題的解答。一方面，我們將證明當n大于1時，n-跳躍說謊者悖論不能納入到被稱為布爾悖論的語句集，這些跳躍說謊者無法通過布爾悖論的語句形式表達出來?？紤]到布爾悖論是最有代表性的有窮悖論，這在一定程度上支持上述猜測。另一方面，我們也發(fā)現某些布爾悖論能滿足n-跳躍說謊者的部分特征，在某種程度上可把跳躍說謊者作為一種參照去研究布爾悖論。

本文揭示了當n大于1時，n-跳躍說謊者與布爾悖論是完全不同的兩類悖論。這表明這些跳躍說謊者悖論與布爾悖論有本質區(qū)分。同時，這兩類悖論又有某些相似之處。這對于我們認識悖論的多樣性具有重要的參考價值。

本文第二節(jié)將給出關于前述問題及解答的基本概念。第三節(jié)討論為什么當n大于1時，n-跳躍說謊者不能使用布爾悖論進行定義。第四節(jié)將給出一些布爾悖論，它們在一定程度上滿足n-跳躍說謊者的部分特征。

二、悖論與框架

在當代邏輯與分析哲學的討論中，常用“T[…]”表示“是真的”，并稱之為真謂詞。例如，說謊者語句可表達為滿足等值式L?T[L]的語句L。下文將借助來自于可能世界語義的(關系)框架及賦值來分析悖論語句。為方便起見，以下提到的框架皆指K=(W,R)，τ為此框架上任意確定的一個賦值，不再一一聲明?？蚣躃上的賦值τ實現語句A指的是：在賦值τ下，對W中的任意兩點u、v，如果uRv，那么T[A]在v為真，當且僅當A在u為真。這是塔斯基T-模式在框架上的“相對化”，是我們分析悖論的基本工具[1]245。

不難驗證，τ實現說謊者語句L的充要條件是：在τ下，W中的任意滿足uRv的兩點u、v，L在v為真，當且僅當L在u為假。這正是之前提到的L的賦值條件。現在，對任意正整數n，規(guī)定uRnv，如果存在W中的點序列x0=u，x1，x2，…，xn=v，使得對小于n的任意i，xiRxi+1都成立?？紤]下面的問題：是否存在語句集，使得K上賦值τ實現它的充要條件是，在τ下，對滿足uRnv的任意兩點u、v，此語句集中的每一個語句在v上為真，當且僅當它在u上為假？[1]269

滿足上述條件的語句集為前面提到的n-跳躍說謊者?？梢园堰@個問題稱為n-跳躍說謊者的“顯定義”問題。當n等于1時，上述問題的答案是顯然的，因為1-跳躍說謊者可用說謊者語句L來表達。當n大于1時，上述問題該作何回答，則是本文需要分析探究的情形。除非特別申明，后文總假定n大于1。

我們把n-跳躍說謊者的“顯定義”問題中充要條件中的賦值稱為n-跳躍賦值。本文對此分為下述兩個問題進行探究。

問題1 給定任意n(大于1)，是否有語句集滿足：如果賦值τ在框架K上為n-跳躍賦值，那么賦值τ在框架K上實現語句集？

問題2 給定任意n，是否有語句集滿足：如果賦值τ在框架K上實現語句集，那么該賦值τ在K上為n-跳躍賦值？

顯然，上述兩個問題是n-跳躍說謊者的“顯定義”問題的弱化。本文主要考慮是否有布爾悖論分別滿足這兩個問題中的條件。布爾悖論是這樣一種語句集，其中每個語句都根據自指性條件等價于斷定這些語句為真之陳述的布爾組合[3]888。為避免過多的符號，這里僅指出布爾悖論的特有性質之一：布爾悖論的語句在修正序列的任意后繼階段上的真值都由前一階段上的這些語句的真值(按原先的布爾組合方式)決定[3]891。這個性質在框架上表現為：如果框架K的賦值τ實現一個布爾悖論，那么此布爾悖論中的每一個語句在此框架中任一點上的真值可由該悖論中所有語句在可通達該點的某個點上的真值完全確定。(1)相關定義出自本文參考文獻[3]，第903頁。前面提及的修正序列出自Gupta和Herzberger所創(chuàng)立的修正理論。后面的討論中會給出修正序列的具體實例，而這對于當前的研究已經足夠，故略去修正序列的定義，有興趣的讀者可參考本文參考文獻[5]和[6]。

本文把這一特性稱為布爾悖論的語義封閉性。布爾悖論是形式和語義都比較簡單且范圍廣大的一類悖論，幾乎囊括了已知的有窮悖論[3]。更重要的是，這類悖論具有明確的構造方法，我們可以按照一定的周期性特征構造出各種布爾悖論，這使得我們在一個足夠大的范圍內考慮跳躍說謊者的“顯定義”問題。

三、n-跳躍說謊者與布爾悖論

本節(jié)將建立的結論如下：

命題1 對任意n，沒有布爾悖論滿足：框架K上的n-跳躍賦值都會實現該布爾悖論。

這就否定性地回答了問題1。由此，立即可以推出(當n大于1時)n-跳躍說謊者悖論不能通過布爾悖論來進行定義。換言之，n-跳躍說謊者悖論都位于布爾悖論的范圍外。

作為準備，本節(jié)先介紹布爾悖論的構造方法[3]。如果把框架中的可能世界取為自然數，把每個自然數看作階段的序數，并把二元關系設定為后繼關系，則對說謊者語句而言，可得：說謊者語句在第0階段真值為1，則在第1階段其真值修正為0，第2階段為1……可稱之為說謊者語句的一個修正序列，注意該序列以2為周期。同理，對任意布爾悖論，都可以相應地給出一個修正序列，使得悖論中每個語句在每個階段的真值都由前一階段上該悖論中語句的真值來確定。

可見,如果明確布爾悖論的表達式(即“顯定義”)，就能確定該悖論的修正序列及其相應周期。布爾悖論的構造方法則反其道而行之，它通過確定修正序列及其周期來構造滿足該周期的布爾悖論。

以構造周期為3的布爾悖論為例，該悖論的修正序列需要3個不同的真值形成周期性變化，因此至少需要兩個語句才能構造這一悖論。我們只需將4個不同的真值形成周期為3的修正序列。如表1所示，第1階段與第4階段語句的真值相同。注意，如果任意兩個階段上兩個變元的真值對應相同，則這兩個階段的后繼階段上這兩個變元的真值也是對應相同的。

假設待求布爾悖論的表達式為p1? f(T[p1], T[p2])；p2? g(T[p1], T[p2])，其中f和g表示特定的真值函數，則可將問題轉化為求f和g的公式表示。根據修正序列的規(guī)定不難看出，如果知道p1、p2在某個階段的真值，則它們在下一階段的真值剛好為f(p1、p2)、g(p1、p2)[3]891。由此，根據表1，不難給出f和g作為真值函數對應的真值表，如表2所示。

表1 周期為3的真值修正序列

表2 與表1相應的真值表

最后，根據命題邏輯知識，可求出f和g的公式表達式，由此確定待求布爾悖論的表達式(即“顯定義”)為：p1?(T[p1]∧T[p2])∨(T[p1]∧T[p2])；p2? T[p1]∨T[p2]。

上述構造中使用了布爾悖論的如下語義特征:布爾悖論中的語句在一個階段的真值唯一地決定了它們在下一階段的真值，并且這些語句在后一階段的真值都可以通過它們的等價式中的布爾組合計算得到[3]903。

下面給出命題1的證明梗概(用反證法進行證明)。假設有布爾悖論滿足條件，則根據文章《相對化T-模式下的跳躍說謊者與茹爾丹卡片悖論》中[1]253的定理3.15，可取一個不含n-跳躍奇循環(huán)的框架K，從而此框架上存在n-跳躍賦值。當n大于1時，還可以進一步在此框架上取得兩個不同的n-跳躍賦值τ1和τ2，使得此框架上存在兩點u和v，滿足u通達v；并且在點u處，此布爾悖論中的每個語句在賦值τ1下的真值與在賦值τ2下的真值是相同的；但在點v處，此布爾悖論中有語句，它在賦值τ1下的真值與在賦值τ2下的真值不相同；然而，這恰恰是布爾悖論的語義封閉性所不容的，因而假設不成立。為避免過多的技術細節(jié)，我們通過一個例子來說明這個證明的所需框架及相關的兩個n-跳躍賦值的確定方法。

以2-跳躍說謊者為例。在如圖1所示的框架K中，給出了兩個不同的2-跳躍賦值。其中，用二元組(x1,x2)表示語句p1、p2在框架某點處的真值。如點u0中出現(0,1)，這表示在u0上，p1的真值為0，p2的真值為1。

如果語句p1、p2在u0的真值為(1,1)，在u2的真值為(0,0)，在u1的真值為(1,0)，在u3的真值為(0,1)，那么，此賦值是一個2-跳躍賦值。同理，保持這兩個語句在u0和u2的真值不變，但同時使得其在u1的真值為(0,1)，在u3的真值為(1,0)，則這也是一個2-跳躍賦值。

圖1 K上的兩個2-跳躍賦值

假設存在含兩個語句的布爾悖論，使得在K中上述兩個2-跳躍賦值都實現了此布爾悖論。根據語義封閉性，如果這兩個語句在u0上取值為(1,1)，那么這兩個語句在u1的取值是唯一確定的；但已知上述兩個2-跳躍賦值在u1的取值恰恰是不相同的，因此，上述兩個2-跳躍賦值不可能都實現此布爾悖論。

需要指出的是，在上述證明中，n大于1是一個關鍵條件。這是因為，當已知相關語句在一個n-跳躍賦值下在框架中某點的真值時，我們能確定每隔n個點處(筆者按：通達關系計間隔)相關語句的真值。當n大于1時，從已知真值的點到它能確定真值的點的間隔中尚存其余的點；但當n等于1時，這個間隔其實為空。此時，相關語句在每個點的真值都能唯一地確定這些語句在這個點可通達的點處的真值。因而，在前一情形下，通過特定的構造總可以找出兩個不同的n-跳躍賦值；而在n為1的情形下，1-跳躍賦值只能以唯一的方式得到確定。

四、弱n-跳躍說謊者

本節(jié)考慮，是否有語句集滿足：如果賦值T在框架K上實現語句集，那么該賦值T在K上為n-跳躍賦值(見第二節(jié)問題2)。即對問題2的回答是肯定的。為方便起見，我們把滿足此問題條件的悖論稱為弱n-跳躍說謊者。這里的“弱”主要體現在其與n-跳躍說謊者的比較上，我們只要求實現它的那些賦值包含在n-跳躍賦值中，并不要求前者也包含后者。

我們仍利用布爾悖論的構造方法給出符合條件的弱n-跳躍說謊者，基本思路如下：首先，構造符合n-跳躍賦值特征的修正序列；其次，構造與該序列對應的真值表；最后，給出所需的弱n-跳躍說謊者的表達式。

首先來澄清什么是“符合n-跳躍賦值特征的修正序列”？n-跳躍賦值實現一個語句的要求是：在n-跳躍賦值下，若uRnv，則該語句在u上為真，當且僅當它在v上為假。把點換做修正序列中的階段，上述要求變?yōu)椋阂粋€語句在階段i為真，當且僅當它在階段n+i為假，即語句的真值每隔n個階段會改變一次。我們把這樣的修正序列稱為符合n-跳躍賦值特征的修正序列。顯然，這樣的修正序列以2n作為周期。

如果能構造一個布爾悖論，使得它所有的修正序列都符合n-跳躍賦值特征，那么根據《布爾悖論與修正周期》[3]891一文中的引理2.5可知，凡是實現該布爾悖論的賦值都必然是n-跳躍賦值。因此，該布爾悖論就是待求的弱n-跳躍說謊者悖論。在這個意義上，問題發(fā)生了轉化，變成了去尋找具有并且只具有符合n-跳躍賦值特征的修正序列的布爾悖論。

命題2 令n=2k，則存在含有k+1個語句的布爾悖論，它即是弱n-跳躍說謊者悖論。

假設待求布爾悖論中含有m個語句：p1、…、pm，對這些語句的賦值表示為二進制有序組(x1，x2，…，xm)，即這樣一個賦值，語句p1、…、pm依次所取真值為x1，x2，…，xm。符合n-跳躍賦值特征的修正序列要求為：若這些語句在階段i上的賦值為(x1，x2，…，xm)，則它們在階段n+i上的賦值必為(1-x1，1-x2，…，1-xn)，即后者為前者的互補序列。為了使待求布爾悖論具有且只具有這種修正序列，需要把p1、…、pm所有的賦值(共2m個)按上述要求一個不漏地排列在一個或多個修正序列中。上述命題中已指出m為k+1時，這種構造一定是可行的。

下面按歸納法給出一個符合n-跳躍賦值特征的修正序列。

第0步，任選真值k+1元組(x1，x2，…，xm)作為初始階段(即階段0)的賦值，這決定了語句p1、…、pm在階段n上的賦值為此賦值的互補序列。同理又知，這些語句在階段2n的賦值為初始階段的賦值，如此等等。因此，歸納起始步確定了上述語句某個修正序列中階段0、n、2n、…上的賦值。

對任意i

需要注意的是，因m=k+1，故語句p1、…、pm的賦值共有2k+1個，而從階段0到階段2n，上述構造確保了所有這些賦值不重復不遺漏地出現在這些階段上。而在階段2n之后，各個階段上的賦值又剛好按照周期2n進行循環(huán)。因此，上述過程的確構造出了一個周期為2n的修正序列。

為明確起見，特以n=4的情形來再現上述構造過程。因4=(2×0+1)22，故我們將使用含3個語句(設為p1、p2、p3)的布爾悖論來完成構造。表3中給出一個符合4-跳躍賦值特征的修正序列。其中語句p1、p2、p3在初始階段的賦值取為(1,1,1)，這同時決定了這些語句在階段4上的賦值為(0,0,0)，在階段8的賦值為(1,1,1)，如此等等。這些語句在階段1的賦值取為(1,1,0)，由此，他們在階段5、9等的賦值為(0,0,1)、(1,1,0)。類似地，可確定這些語句在階段2、3上的賦值，并同時確定它們在與這些階段間隔為4的階段上的賦值。

表3 符合4-跳躍賦值特征的修正序列

接下來的工作，就是把前面構造的修正序列轉化為一個真值表，然后利用該真值表構造所需的布爾悖論。這個過程在前一節(jié)已作介紹，故略去。這里僅給出表3對應的布爾悖論的表達式如下：

p1?(T[p1]∧T[p2])∨(T[p1]∧T[p3])∨(T[p2]∧T[p3])；

p2?(T[p1]∧T[p2])∨(T[p1]∧T[p3])∨(T[p2]∧T[p3])；

p3?(T[p1]∧T[p2])∨(T[p1]∧T[p3])∨(T[p2]∧T[p3])。

任意自然數n都可寫作n=(2i+1)2k的形式，由此不難把命題1推廣到一般情形。在符合n-跳躍賦值特征的修正序列中，因其周期為2n，并且其任一階段i與階段i+n賦值是互補的，不難看出，一個符合n-跳躍賦值特征的修正序列也是符合(2i+1)n-跳躍賦值特征的修正序列。

命題3 如果一個悖論為弱n-跳躍說謊者悖論，那么它也為弱(2i+1)n-跳躍說謊者悖論。

綜合命題2和命題3可知，對任意n，弱n-跳躍說謊者悖論總是存在的，并總有對應的“顯定義”。事實上，令n=(2i+1)2k，則弱n-跳躍說謊者悖論總可由一個含k+1個語句的布爾悖論來表達?？梢钥闯觯鮪-跳躍說謊者只針對一種跳躍賦值，n-跳躍說謊者則需要參考各種可能的n-跳躍說謊者。從構造方法看，弱n-跳躍說謊者可以針對某一n-跳躍賦值進行構造，但是n-跳躍賦值存在多種可能。因而，在語句數限定的情況下，弱n-跳躍說謊者可能存在多種表達形式，但n-跳躍說謊者卻不然。n-跳躍說謊者只有一種表達形式，因為它總是滿足不同的n-跳躍賦值。

五、結 論

至此，我們對n-跳躍說謊者問題給出了部分解答。從問題1的結論來看，布爾悖論的語義封閉性說明不存在布爾形式的n-跳躍說謊者，這類悖論不具備這一特征。另一方面，可以利用n-跳躍賦值的特征來構造對應的修正序列，由此給出弱n-跳躍說謊者。

對問題1的否定性回答說明了n-跳躍說謊者悖論不能通過布爾悖論來表達。考慮到一切有窮悖論都可歸約為布爾悖論，我們可以認為n-跳躍說謊者悖論也不會通過有窮多個語句表達出來。因此，關于n-跳躍說謊者悖論的可定義性只有兩種可能：它要么需要無窮多個語句來進行顯定義，要么甚至無窮多個語句也無法定義出它。如果是前者，我們需要進一步利用無窮悖論的構造方法來構造n-跳躍說謊者悖論[4]。如果是后者，我們則需要尋找一個所有可顯定義的悖論的一個不變量，使得這個不變量不為n-跳躍說謊者悖論所有。不論是哪種情形，我們都需要更深入的研究。

在對問題2的回答中，我們構造出了一類特殊的布爾悖論，其基本特征是它們的修正序列都是符合n-跳躍賦值的，即要求該布爾悖論中語句在間隔為n的兩個階段上的賦值都是互補的。在修正序列這個層次上，這種布爾悖論具有一定的對稱性。從這個意義上講，n-跳躍說謊者悖論是一類具有特定對稱性的布爾悖論。至于這種對稱性究竟意味著什么，也許是值得進一步思考的問題。