帶有分數(shù)階導(dǎo)數(shù)邊值條件的分數(shù)階微分方程正解的存在性

趙 微， 高 揚

(大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 大慶 163712)

近幾十年來，分數(shù)階微分方程及其邊值問題受到了許多學(xué)者的關(guān)注，在很多科學(xué)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。目前，關(guān)于分數(shù)階微分方程邊值問題的研究已經(jīng)有很多成果[1-13]，但是關(guān)于邊值條件中帶不同分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的研究相對較少。

薛益民等[1]運用Guo-Krasnosel’skii’s不動點定理，得到如下分數(shù)階微分方程正解的存在性：

其中,Dα(2<α≤3)為Rimann-Liouvile分數(shù)階導(dǎo)數(shù)。

張凱斌和陳鵬玉[3]運用非緊性測度的估計技巧與凝聚映射的不動點指數(shù)理論，得到如下分數(shù)階微分方程正解的存在性：

受文獻[1]、[3]的啟發(fā)，本文考慮如下帶有分數(shù)階導(dǎo)數(shù)邊值條件的分數(shù)階微分方程

(1)

其中,ηi(0,1),0<η1<η2<…<ηm-2<1,βi[0,∞)。需要指出的是，這里的邊值條件中帶有不同階數(shù)的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)。

文中首先構(gòu)建其格林函數(shù)，得到相應(yīng)的相關(guān)性質(zhì)；其次,運用凸泛函上的不動點指數(shù)定理來計算不動點指數(shù)，從而得到了方程(1)至少存在一個正解的結(jié)論;最后,通過一個例子來說明定理的具體應(yīng)用。

1 預(yù)備知識

首先，給出一些必要的定義和引理，推導(dǎo)出相應(yīng)的帶有分數(shù)階導(dǎo)數(shù)邊值條件的分數(shù)階微分方程的格林函數(shù)，并給出格林函數(shù)的一些性質(zhì)；然后，將方程(1)轉(zhuǎn)化為一個等價的積分方程。

定義1[6]函數(shù)y:(0,+∞)→的v>0階Riemann-Liouville積分定義如下

其中,等式右邊是在(0,+∞)上逐點定義的。

定義2[6]函數(shù)y:(0,+∞)→的v>0階Riemann-Liouville微分定義如下

其中，等式右邊是在(0,+∞)上逐點定義的，n=[α]+1。

引理1[6]假設(shè)uC(0,1)∩L[0,1],有v>0階導(dǎo)數(shù)C(0,1)∩L[0,1],則

其中，Ci(i=1,2,…,N),N是大于或等于v的最小整數(shù)。

為下文敘述方便，現(xiàn)給出如下假設(shè)條件：

(H2)h:(0,1)→[0,∞)連續(xù),h(t)不恒等于0。允許h(t)在t=0,1處奇異，且

(2)

(H3)f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù)。

引理2給定yC[0,1],邊值問題

(3)

有唯一解

這里ηi(0,1),0<η1<η2<…<ηm-2<1,βi[0,∞),其中

證明應(yīng)用引理1，將微分方程(3)轉(zhuǎn)化為等價的積分方程

整理得

于是

證畢。

引理3函數(shù)p(s)在[0,1]上單調(diào)不減且恒正。

證明因為

(1-s)αi-v(1-s)α-αi((v-αi-1)(1-s)+

((v-αi-1)(1-s)-(v-αi-1)(ηi-s)+

故p(s)單調(diào)不減。

又根據(jù)假設(shè)(H1)知,

從而知p(s)≥p(0)>0。證畢。

引理4函數(shù)G(t,s)具有如下性質(zhì)：

(1)?t,s[0,1],有G(t,s)≥0;

(2)?t[0,1],有G(t,s)≤G(1,s);

證明(1)當(dāng)0

當(dāng)0

綜上可知，?t,s[0,1],有G(t,s)≥0。

(2)因為

所以，當(dāng)0

綜上可知，?t[0,1],有所以G(t,s)關(guān)于t單調(diào)不減。因此,?t[0,1],有G(t,s)≤G(1,s)。

(3)當(dāng)1/4≤t≤3/4且0≤s≤t時,有

當(dāng)1/4≤t≤3/4且0

證畢。

定義如下算子：

(4)

接下來證明算子A的全連續(xù)性。

引理5設(shè)條件(H1)～(H3)滿足,則算子A:P1→P1全連續(xù)。

證明由引理4可知

且

從而A:P1→P1,且A(P1)?P1。由Azela-Ascoli定理知, 算子A:P1→P1全連續(xù)。證畢。

下面介紹凸泛函的2個不動點指數(shù)引理。

定義3[14]對于錐P上的泛函ρ:P→,如果?x,yP,t[0,1]，滿足

ρ(tx+(1-t)y)≤tρ(x)+(1-t)ρ(y),

則稱ρ是錐P上的凸泛函。

引理6[14]設(shè)P是E中的錐，Ω是E中的有界開集，且θΩ。假設(shè)算子A:P∩→P全連續(xù)，ρ:P→[0,+∞)是凸泛函，且滿足ρ(θ)=0,并對?x≠θ,ρ(x)>0。 如果ρ(Ax)≤ρ(x),且當(dāng)xP∩?Ω時,Ax≠x,則不動點指數(shù)i(A,P∩Ω,P)=1。

(ii)ρ(Ax)≥ρ(x)且對?xP∩?Ω,Ax≠x,

則不動點指數(shù)i(A,P∩Ω,P)=0。

2 主要結(jié)論

令

顯然有h0≥hτ>0。

定理1假設(shè)條件(H1)～(H3)成立,s[0,1], 如果存在常數(shù)a和b, 使得當(dāng)a,b>0時,有

(i)b

則帶有分數(shù)階導(dǎo)數(shù)邊值條件的分數(shù)階微分方程(1)至少存在一個正解。

證明令

則ρ1:P1→[0,+∞)是一致連續(xù)的凸泛函，且ρ1(θ)=0。

?uP1{θ},有

設(shè)Ω1={uC[0,1]|ρ1(u)

如果uP1∩1, 則

如果uP1∩?Ω1,則ρ1(u)=b且因此

假設(shè)A在P1∩?Ω1上沒有不動點，則由引理6知

i(A,P1∩Ω1,P1)=1。

令

則ρ2:P1→[0,+∞)是一致連續(xù)的凸泛函，且ρ2(θ)=0，ρ2(u)>0(uP1θ)。

設(shè)Ω2={uC[0,1]|ρ2(u)

如果uP1∩2,則

如果uP1∩?Ω2,則ρ2(u)=a且由于

所以

假設(shè)A在P1∩?Ω2上沒有不動點，由引理7知

i(A,P1∩Ω2,P1)=0。

?uP1∩1,有

定理2假設(shè)條件(H1)～(H3)成立,s[0,1],如果存在常數(shù)a和b,使得當(dāng)0

則帶有分數(shù)階導(dǎo)數(shù)邊值條件的分數(shù)階微分方程(1)至少存在一個正解。

證明根據(jù)(i)有

設(shè)

顯然有ρi:P1→[0,+∞)是一致連續(xù)凸泛函，且ρi(θ)=0(i=1,2)。

?uP1{θ},有

令Ω1={uC[0,1]|ρ2(u)

如果uP1∩1,則

如果uP1∩2,則

a≥ρ1(u)≥l‖u‖,

于是‖u‖≤al-1,這意味著P1∩Ω2是有界的。

假設(shè)A在P1∩?Ω1和P1∩?Ω2上沒有不動點。如果uP1∩?Ω1,則b=ρ2(u)≤‖u‖hτ,且

則

所以,由引理7知

i(A,P1∩Ω1,P1)=0。

如果uP1∩?Ω2,則

由引理6知，

i(A,P1∩Ω2,P1)=1。

綜上可得

3 數(shù)值例子

為了說明定理的應(yīng)用性,下面給出一個具體的實例。

例1考慮如下的分數(shù)階微分方程

(5)

且

取

有

0.001 6≤h0≤0.006 6,0.000 8≤hτ≤0.003 2。

綜上可知，微分方程(5)滿足定理1的3個條件，則該方程至少存在一個正解。