高速列車精確停車的魯棒自觸發(fā)預(yù)測(cè)控制

劉曉宇 荀 徑 高士根 陰佳騰

高速鐵路作為一種大運(yùn)量、低能耗、高效率的綠色出行方式,在公共交通體系中占有重要地位.列車自動(dòng)運(yùn)行(Automatic train operation,ATO)系統(tǒng)是進(jìn)一步提升高速鐵路安全、高效、舒適、節(jié)能的技術(shù)手段之一[1?2].列車自動(dòng)停車控制是ATO 的一項(xiàng)核心功能,其目標(biāo)是保證列車能夠在預(yù)定位置安全、精確停車,同時(shí)保證停車過程中乘客的舒適度[3?4].隨著站臺(tái)屏蔽門在高速鐵路系統(tǒng)中的應(yīng)用(如:京張高速鐵路站臺(tái)屏蔽門),為保證乘客在裝有屏蔽門的站臺(tái)上下車不受影響,對(duì)高速列車停車精度提出了更高的要求.

與智能交通系統(tǒng)中“路徑速度規(guī)劃?路徑速度跟蹤”的兩級(jí)式控制結(jié)構(gòu)[5?6]相似,列車停車控制多采用“制動(dòng)曲線生成?制動(dòng)曲線跟蹤”的兩級(jí)式控制結(jié)構(gòu).ATO 系統(tǒng)首先根據(jù)當(dāng)前速度和停車點(diǎn)信息生成推薦速度曲線,進(jìn)而通過速度控制實(shí)時(shí)跟蹤該曲線實(shí)現(xiàn)精確停車.列車運(yùn)行過程中的沖擊率(加加速度)是影響舒適度的重要因素[7],在保證跟蹤精度的同時(shí)應(yīng)盡量減少控制輸出的變化,從而減少加速度的變化、降低沖擊率以提高舒適度.同時(shí),高速列車運(yùn)行環(huán)境復(fù)雜,停車控制過程還會(huì)受到運(yùn)行阻力等外部環(huán)境的干擾[8],控制方法設(shè)計(jì)過程中應(yīng)綜合考慮這些影響.

目前,工程實(shí)際中常采用比例?積分?微分(Proportional?integral?derivative,PID)控制器進(jìn)行跟蹤控制[2].實(shí)際控制器設(shè)計(jì)過程中需要針對(duì)不同的列車、線路等情況通過大量試驗(yàn)和反復(fù)調(diào)試獲得PID 參數(shù),工作強(qiáng)度大、經(jīng)濟(jì)成本高.同時(shí),控制輸出的頻繁切換還會(huì)影響制動(dòng)設(shè)備生命周期和乘客舒適度[8].

Yasunobu 等[9?10]最早對(duì)列車停車控制問題進(jìn)行研究,并綜合乘客舒適度、停車精度、運(yùn)行時(shí)間等因素,提出了一種模糊預(yù)測(cè)控制算法.Hou 等[3]基于終端迭代學(xué)習(xí)控制思想提出了三種控制算法,該算法能夠利用歷史數(shù)據(jù)提升當(dāng)前的控制效果.Jin等[4]在此基礎(chǔ)上提出了最優(yōu)終端迭代學(xué)習(xí)控制方法,并分析了終端跟蹤誤差的單調(diào)收斂性,但是上述方法的分析和設(shè)計(jì)過程中未考慮控制系統(tǒng)的時(shí)延等性質(zhì).Chen 等[11]分別用線性模型、廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和基于自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的模糊推理模型估計(jì)初始速度位置與列車停車誤差間的關(guān)系,但該方法沒有從控制策略本身的角度考慮提高控制效果.進(jìn)而,Chen 等[8]對(duì)比了基于專家經(jīng)驗(yàn)的啟發(fā)式在線學(xué)習(xí)算法、基于梯度下降的在線學(xué)習(xí)算法和基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的在線學(xué)習(xí)算法的控制效果,但該方法的效果依賴應(yīng)答器提供的定位信息.

于振宇等[12]分析了城軌列車制動(dòng)模型的特點(diǎn),將制動(dòng)過程用一階時(shí)延系統(tǒng)近似,確定了城軌列車制動(dòng)模型.基于此模型,Wu 等[13]將廣義預(yù)測(cè)控制應(yīng)用于停車控制器的設(shè)計(jì),并引入?yún)?shù)在線辨識(shí)提高算法對(duì)模型參數(shù)變化的自適應(yīng)能力.羅仁士等[14]設(shè)計(jì)了城軌列車自適應(yīng)停車控制方法,該控制方法可以根據(jù)模型參數(shù)變化的情況進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整.王青元等[15]引入滑模控制將列車運(yùn)行阻力作為擾動(dòng)進(jìn)行處理,并從減少控制輸出頻繁切換的角度考慮了舒適度,提出了自適應(yīng)終端滑?？刂品椒?使方法對(duì)模型參數(shù)和外部干擾都具備自適應(yīng)性.現(xiàn)有的列車停車控制研究多基于城軌列車進(jìn)行,然而高速列車的停車過程多在露天環(huán)境下完成,且不同停車車站間的空間跨度大,運(yùn)行環(huán)境更加復(fù)雜,迫切需要提出對(duì)外部干擾魯棒性更強(qiáng)的停車控制方法.

模型預(yù)測(cè)控制(Model predictive control,MPC)是處理有約束控制問題的有效方法,已經(jīng)在理論和應(yīng)用領(lǐng)域受到廣泛重視[16?17].MPC 在高速列車運(yùn)行控制[18]和城軌列車運(yùn)行控制[19?20]中也有相關(guān)應(yīng)用.Liu 等[21]將MPC 用于高速列車停車控制中,并通過仿真結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性.基于狀態(tài)空間模型的MPC 算法可以充分應(yīng)用現(xiàn)代控制理論的研究成果,是MPC 的重要方向[22?24].Tube MPC 作為一種魯棒模型預(yù)測(cè)控制方法能夠有效地處理外部附加干擾的影響,該方法能夠降低開環(huán)預(yù)測(cè)的保守性,同時(shí)不增加額外的在線計(jì)算量[25?26].

自觸發(fā)控制能夠自主確定當(dāng)前控制輸出和下次控制輸出變化的時(shí)間,降低對(duì)實(shí)際系統(tǒng)采樣和通信能力的要求[27].該方法能有效抑制控制輸出的頻繁變化,提升列車停車控制過程中的舒適度.Berglind 等[28]提出了線性約束二次型性能指標(biāo)的自觸發(fā)模型預(yù)測(cè)控制(Self-triggered model predictive control,SMPC)方法,并分析了方法的穩(wěn)定性.Xun等[29]將SMPC 用于高速列車協(xié)同控制中,取得了較好的效果.進(jìn)一步,有關(guān)學(xué)者提出了魯棒自觸發(fā)模型預(yù)測(cè)控制(Robust self-triggered model predictive control,RSMPC)方法以提高SMPC對(duì)外部附加干擾的魯棒性[30?32].

本文基于模型預(yù)測(cè)控制在精確停車問題中的研究思路[21],結(jié)合高速列車停車控制過程的特點(diǎn),考慮提高列車在復(fù)雜運(yùn)行環(huán)境下的停車精度和舒適度,設(shè)計(jì)了基于魯棒自觸發(fā)預(yù)測(cè)控制的精確停車控制器,并對(duì)控制器的性能進(jìn)行分析.該方法能夠綜合考慮跟蹤誤差和控制輸出切換頻率,且能保證外界阻力干擾下運(yùn)行狀態(tài)的可行性.同時(shí),該方法不需要在每個(gè)采樣時(shí)間都基于列車當(dāng)前狀態(tài)求解優(yōu)化問題,降低了對(duì)系統(tǒng)采樣和通信能力的要求,提高了工程實(shí)用性.

1 列車動(dòng)力學(xué)模型

目前很多高速列車運(yùn)行控制的理論研究圍繞多質(zhì)點(diǎn)模型進(jìn)行,以考慮高速條件下列車內(nèi)部各車廂之間的車鉤力以及控制的一致性[33].然而,在高速列車停車過程中,由于車站限速等因素,列車運(yùn)行速度較低(通常,v ≤80 km/h).實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)表明,單質(zhì)點(diǎn)模型能夠用于描述高速列車停車階段的動(dòng)態(tài).單質(zhì)點(diǎn)模型包含參數(shù)少,同類算法在應(yīng)用中計(jì)算效率更高、可調(diào)整參數(shù)更少,更容易用于工程實(shí)際中.

列車實(shí)際制動(dòng)過程(如圖1)中,由司機(jī)或ATO產(chǎn)生制動(dòng)指令,制動(dòng)控制單元(Braking control unit,BCU)接到制動(dòng)指令后,會(huì)自動(dòng)為列車內(nèi)部各車廂分配所需制動(dòng)力,各制動(dòng)裝置(制動(dòng)器)進(jìn)而做出響應(yīng)動(dòng)作,并通過列車動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生相應(yīng)的運(yùn)行狀態(tài)(速度、加速度等).因此,在現(xiàn)有列車運(yùn)行控制系統(tǒng)中,ATO 通常不能直接控制各車廂的制動(dòng)力,所以采用單質(zhì)點(diǎn)模型設(shè)計(jì)控制器更符合現(xiàn)階段的應(yīng)用條件.在此背景下,許多高速列車運(yùn)行控制模型的相關(guān)研究圍繞單質(zhì)點(diǎn)模型進(jìn)行[34?35].

圖1 列車制動(dòng)控制過程Fig.1 Diagram of train braking control process

高速列車停車過程中,列車制動(dòng)模型可以由一階時(shí)延系統(tǒng)表示:

在時(shí)域內(nèi)表示為:

其中,t為時(shí)間,ac(t) 是由制動(dòng)系統(tǒng)作用而使列車產(chǎn)生的加速度,at(t) 表示目標(biāo)加速度,τ是系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間常數(shù),Td是系統(tǒng)時(shí)延.

加速度at(t) 是制動(dòng)系統(tǒng)的目標(biāo)加速度,由司機(jī)或ATO 的制動(dòng)指令u(t) 產(chǎn)生:

式中,u(t) 是制動(dòng)指令,F(·)是 u(t)到at(t)的變換函數(shù),在列車停車控制過程中,F(·)可以近似作為線性函數(shù)處理:

其中,c為固定常數(shù)[12].

列車的實(shí)際加速度為:

其中,a(t) 為列車實(shí)際加速度,ac(t) 是制動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生的加速度,ar(t) 表示列車運(yùn)行阻力產(chǎn)生的加速度.

上述過程可以由圖2[12]表示.

圖2 列車制動(dòng)模型Fig.2 Train braking system model

列車運(yùn)行阻力根據(jù)產(chǎn)生原因可以分為附加阻力(包括坡道阻力、曲線阻力等)和基本阻力.列車運(yùn)行阻力產(chǎn)生的加速度可表示為:

式中,aw(v) 是基本阻力產(chǎn)生的加速度,ag(s) 是坡道阻力產(chǎn)生的加速度,v和s分別表示速度和位置.曲線阻力等附加阻力可以轉(zhuǎn)換為坡道阻力來表示.

列車基本阻力受多種因素的影響,常用Davis經(jīng)驗(yàn)公式[36]表示:

式中,β0和β1表示由線路條件、輪軌耦合等阻力的加速度參數(shù),β2表示空氣阻力的加速度參數(shù).

2 高速列車精確停車預(yù)測(cè)控制

列車停車初始速度為v0,初始位置為s0,推薦制動(dòng)曲線由預(yù)定停車時(shí)間和到停車點(diǎn)的距離反推得到,推薦加速度為a0.高速列車精確停車控制問題可表述為:在上述制動(dòng)系統(tǒng)模型和相關(guān)約束下,控制列車跟蹤推薦速度曲線,實(shí)現(xiàn)精確停車,使停車精度在±50 cm 以內(nèi),并保證停車過程中的舒適度.

2.1 基于狀態(tài)空間的預(yù)測(cè)控制

列車停車控制過程的動(dòng)態(tài)模型可以用如下狀態(tài)空間方程表示:

式中,v(t),s(t) 分別表示列車實(shí)際速度和位置.

將上述單輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型進(jìn)行離散化,并寫成控制增量 ?u的形式,以顯式描述控制輸出的變化:

其中

式中,T為采樣時(shí)間,是離散狀態(tài)空間方程中的時(shí)延項(xiàng),w(k) 為阻力干擾項(xiàng).沖擊率(加速度的變化率,加加速度)是影響舒適度的重要因素,抑制加速度的變化能從減少?zèng)_擊率的角度提高舒適度.制動(dòng)加速度與控制輸出成線性關(guān)系,因此抑制u(k)的變化可以改善舒適度.將 ?u(k) 顯式表示可以更好地處理控制量的頻繁切換.

坡道阻力等線路參數(shù)均為已知量,基本阻力可以根據(jù)惰行數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)[37],進(jìn)而將w(k) 作為前饋項(xiàng)進(jìn)行處理,得到線性化模型

定義在k時(shí)刻的預(yù)測(cè)值:xi|k=x(k+l+i),?ui|k=?u(k+i),ui|k=u(k+i),預(yù)測(cè)時(shí)域和控制時(shí)域均取為N,預(yù)測(cè)控制問題為在每一步求解如下線性約束二次型優(yōu)化問題PN(?u) :

PN(?u)的約束為:

式中,xk表示k時(shí)刻的實(shí)際值;X表示跟蹤誤差的可行集,可由預(yù)測(cè)狀態(tài)xi|k的可行集結(jié)合得到;N[0,N?1]表示從 0 到N ?1 的整數(shù);Xf為終端不變集.

PN(?u)為二次型性能指標(biāo)、線性約束的凸優(yōu)化問題,可以找到很多快速求解算法,求解PN(?u)可得最優(yōu)控制增量向量.

2.2 精確停車魯棒預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)

問題PN(?u) 為外部阻力完全已知情況下的預(yù)測(cè)控制,沒有考慮阻力干擾存在的情況下列車狀態(tài)是否仍然滿足約束X和Xf,因此不能保證MPC的可行性和穩(wěn)定性[25].此外,實(shí)際停車過程中,外部阻力干擾不可能完全已知.本文將外部阻力作為有界外部干擾w ∈W,設(shè)計(jì)基于Tube MPC[25?26]的列車停車控制方法.

Tube MPC 在每一步的優(yōu)化問題中仍假設(shè)N步以后采用反饋控制策略,并以此來計(jì)算終端集和終端代價(jià)函數(shù),以及預(yù)測(cè)干擾的影響:

其中,K ∈Rn且能保證Acl:=A+bK為H u rwitz 矩陣.停車控制過程中,初始位置和速度分別為s0,v0,推薦加速度為a0,推薦速度曲線滿足此時(shí)狀態(tài)跟蹤誤差為:

考慮干擾的條件下,式(12)中的約束變?yōu)閇25]:

式中

其中,?表示Pontryagin 集差,⊕表示Minkowski集和,表示從j=0到j(luò)=i的Minkowski 集和.Σ為保證N步之后遞推可行性的魯棒不變集.

干擾不變集為:

對(duì)于本文的停車控制問題,在反饋控制率下,Z為多面集,且可以用文獻(xiàn)[38]的方法經(jīng)過有限次計(jì)算得到合適的外部估計(jì).

可知:

Z為最小不變集,即魯棒不變集Σ應(yīng)滿足,

式中,Σ0為最大跟蹤誤差容許集,可由文獻(xiàn)[39]中的方法計(jì)算得到.

目標(biāo)函數(shù)仍為式(11),考慮時(shí)延、初始狀態(tài)均為已知量,則J(k) 為 ?u的函數(shù),記N步控制增量?U的可行集為

由上文,優(yōu)化問題中假設(shè)N步預(yù)測(cè)后系統(tǒng)采取反饋控制率 ?u=K(x ?xs),則k+1 時(shí)刻的一組可行控制策略為:

?Uk+1的可行性可由約束式(14)保證.此時(shí)對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)為:

因此,要使J(k+1)

應(yīng)用Schur 補(bǔ),可得求解P的線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI):

k+1時(shí)刻性能指標(biāo)的最優(yōu)值J?(k+1)

需要指出,對(duì)于k時(shí)刻的任一可行控制序列,在k+1 仍按上述方法設(shè)計(jì)可行控制序列,只要式(19)滿足,仍可得到穩(wěn)定的控制器設(shè)計(jì),即穩(wěn)定性不依賴最優(yōu)性,這有利于減少在線計(jì)算量[40].

由此,基于Tube 的魯棒預(yù)測(cè)控制(Robust model predictive control,RMPC) 即為將原始MPC 問題 式(11)中的約束直接換為式(14)得到.約束的變化可以離線進(jìn)行,不增加在線計(jì)算量[25?26].

3 精確停車魯棒自觸發(fā)預(yù)測(cè)控制

列車精確停車預(yù)測(cè)控制在滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化的每一步都要基于當(dāng)前運(yùn)行狀態(tài)求解線性二次型優(yōu)化問題,這對(duì)列車的采樣、通信能力等提出了極高的要求.每次求解獲得新的控制量還會(huì)使控制輸出頻繁切換,影響舒適度.自觸發(fā)控制[27]能夠自主確定當(dāng)前控制輸出和下次控制輸出變化的時(shí)間,是進(jìn)一步降低控制輸出的頻繁變化,提升舒適度的有效方法.Berglind 等[28]提出了線性約束二次型性能指標(biāo)的自觸發(fā)模型預(yù)測(cè)控制(Self-triggered model predictive control,SMPC)方法,并分析了方法的穩(wěn)定性.

為了更有效地處理外部干擾,Brunner 等[32]系統(tǒng)地研究了基于Tube 的魯棒自觸發(fā)模型預(yù)測(cè)控制(Robust self-triggered model predictive control,RSMPC)方法,該方法通過引入Tube 內(nèi)的附加變量保證了無限時(shí)域下狀態(tài)變量的閉環(huán)魯棒穩(wěn)定性,但是該方法使?jié)L動(dòng)優(yōu)化過程的變量數(shù)量增加了一倍.本文基于文獻(xiàn)[32]的思路,直接在RMPC 中引入自觸發(fā)機(jī)制,得到高速列車精確停車魯棒自觸發(fā)預(yù)測(cè)控制方法.

3.1 魯棒自觸發(fā)預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)

由式(18)可得:

進(jìn)一步有:

進(jìn)而可得精確停車預(yù)測(cè)控制器的次優(yōu)性,且性能指標(biāo)存在次優(yōu)性上界.同時(shí),隨著時(shí)域的不斷前移,次優(yōu)上界隨著滾動(dòng)優(yōu)化的過程不斷減小[22?23].

由式(21)可以得到[28]:

式中,β ≥1 為系統(tǒng)次優(yōu)性和自觸發(fā)控制計(jì)算次數(shù)的平衡參數(shù).

在自觸發(fā)預(yù)測(cè)控制的框架下,只需在采樣時(shí)間{tl|l ∈N}?N 獲取列車運(yùn)行狀態(tài),并計(jì)算在區(qū)間[tl,tl+1)的控制輸出,在區(qū)間內(nèi)控制輸出保持不變:

將式(23)寫成控制增量的形式:

對(duì)所有的l ∈N,在每個(gè)時(shí)間tl,自觸發(fā)預(yù)測(cè)控制的目標(biāo)是計(jì)算控制增量 ?utl和距更新時(shí)間tl+1的間隔M ∈N[1,N),使得在保證控制效果次優(yōu)性(式(22))的基礎(chǔ)上,M取盡量大,以減少控制輸出的頻繁切換.在時(shí)刻tl,tl+1,···,tl+1?1,控制器將采用同樣的控制量l,所以在時(shí)刻tl+1,···,tl+1?1系統(tǒng)不需要進(jìn)行采樣和計(jì)算.

在k時(shí)刻求解優(yōu)化問題,考慮假設(shè)k+N時(shí)刻以后采用反饋控制策略,則RSMPC 每一步的優(yōu)化問題可寫為:

式中,M ∈N[1,N?1]為控制輸出不變的步數(shù).

在i

式中,N≥M+1為大于等于M+1 的整數(shù).

式中

其中,Σ應(yīng)同時(shí)滿足式(16)及式(27).

目標(biāo)函數(shù)JM(k) 為?u的函數(shù),記M步RSMPC問題中,N步預(yù)測(cè)控制增量 ?U的可行集為

列車精確停車魯棒自觸發(fā)預(yù)測(cè)控制問題可寫為:

式中

當(dāng)β=1,M=1 時(shí),RSMPC 問題退化為原RMPC 問題.可以選擇適當(dāng)?shù)摩率瓜到y(tǒng)在保證控制效果前提下,盡量減少控制量的切換次數(shù),以提升舒適度.

3.2 魯棒自觸發(fā)預(yù)測(cè)控制器的穩(wěn)定性

原Tube MPC 問題N步預(yù)測(cè)控制的遞推可行性由約束式(14) 保證,這與M=1 時(shí)的RSMPC問題對(duì)應(yīng),RMPC 的遞推可行性能夠保證,可知保證RSMPC 遞推可行性的解存在.

根據(jù)式(22)有:

以t=∞表示停車控制完成,此時(shí)預(yù)測(cè)狀態(tài)的代價(jià)函數(shù)J?(∞) 趨近于零,于是上式累加可得:

由此可知RSMPC 性能指標(biāo)在滿足約束的條件下存在有限的上界和下界,預(yù)測(cè)狀態(tài)穩(wěn)定列車實(shí)際狀態(tài)可保持在魯棒不變集 Σ 內(nèi).

高速列車精確停車RSMPC 方法的步驟如下:

步驟1.確定列車制動(dòng)系統(tǒng)相關(guān)參數(shù),輸出參數(shù)A,b,確定K使得Acl為Hurwitz 矩陣,選擇合適的Q,R,由式(26)計(jì)算引入RSMPC 后的約束.初始化k=0,i=0,ti=k.

步驟2.采集列車當(dāng)前的速度、位置等狀態(tài)xk.

步驟3.求解優(yōu)化問題式(29),得到:

?uti=,和M?(xk) .

步驟4.將用于列車實(shí)際控制.由M?(xk)確定列車下一時(shí)刻的采樣和計(jì)算時(shí)間:

步驟5.判斷:若k

4 仿真研究

本節(jié)基于高速列車實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)對(duì)列車精確停車控制方法的有效性進(jìn)行仿真驗(yàn)證,ATO 的停準(zhǔn)停車窗為±50 cm.主要仿真參數(shù)設(shè)置如表1.

表1 仿真參數(shù)設(shè)置Table 1 The simulation parameters

坡度(‰)設(shè)置為:

為驗(yàn)證方法的有效性,本文將PID 算法、阻力完全已知的理想MPC 算法、基于Tube 的RMPC 算法、RSMPC 算法的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.

調(diào)整PID 參數(shù)使得控制器能達(dá)到規(guī)定的停車精度,PID 停車控制的曲線如圖3 所示.為更好地體現(xiàn)控制輸出變化情況,控制輸出百分率u(k) 以右側(cè)縱坐標(biāo)表示.PID 控制的停車誤差為28.98 cm.

圖3 PID 列車停車控制的速度?位置曲線Fig.3 PID speed-distance profile of train stopping

在MPC 中將阻力干擾作為已知項(xiàng)進(jìn)行前饋處理,得到停車控制曲線如圖4,控制輸出百分率u(k)以右側(cè)縱坐標(biāo)表示.理想MPC 的停車精度為5.95 cm,但此時(shí)將阻力作為已知項(xiàng)進(jìn)行前饋,實(shí)際應(yīng)用中很難實(shí)現(xiàn).

圖4 MPC 列車停車控制的速度?位置曲線Fig.4 MPC speed-distance profile of train stopping

為驗(yàn)證不同預(yù)測(cè)時(shí)域下的RMPC 和RSMPC的控制性能,分別選取了預(yù)測(cè)時(shí)域N=5 和N=10進(jìn)行停車控制,并得到仿真結(jié)果,對(duì)應(yīng)制動(dòng)控制命令輸出百分率u(k) 也分別在圖中給出.

由阻力已知的MPC 仿真結(jié)果(圖4)和RMPC 仿真結(jié)果(圖5、6)可以看出,相較于PID 控制,預(yù)測(cè)控制通過對(duì) ?u的懲罰和預(yù)測(cè)時(shí)域的設(shè)置明顯降低了控制輸出的變化幅度,提高了舒適度.同時(shí),MPC 在控制過程中引入對(duì)未來狀態(tài)的預(yù)測(cè),跟蹤效果更好.

圖5 RMPC 列車停車控制的速度?位置曲線 (N=5)Fig.5 RMPC speed-distance profile of train stopping(N=5)

圖7 給出了RMPC 在預(yù)測(cè)時(shí)域N=5 和N=10下的速度跟蹤誤差.仿真結(jié)果表明預(yù)測(cè)控制可以實(shí)現(xiàn)較高的跟蹤精度.隨著預(yù)測(cè)時(shí)域的增加,優(yōu)化過程中考慮的預(yù)測(cè)信息變多,控制器對(duì)外界環(huán)境未知變化的反應(yīng)變快,由此造成的速度跟蹤誤差也很快變小,然而,隨著預(yù)測(cè)時(shí)域和控制時(shí)域的增加,滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化過程中未知參數(shù)也越多,計(jì)算時(shí)間也會(huì)明顯增長.因此,使用RMPC 進(jìn)行停車控制時(shí),應(yīng)綜合考慮控制精度和求解速度的關(guān)系.

圖6 RMPC 列車停車控制的速度?位置曲線 (N=10)Fig.6 RMPC speed-distance profile of train stopping(N=10)

圖7 RMPC 不同預(yù)測(cè)時(shí)域下的速度跟蹤誤差Fig.7 RMPC speed tracking error of different horizons

圖5、6 表明,RMPC 在列車停車控制過程,尤其是在變坡點(diǎn)處控制輸出變化幅度較大,這會(huì)影響乘客舒適度,自觸發(fā)預(yù)測(cè)控制可以改善此問題.圖8、9 給出了預(yù)測(cè)時(shí)域N=5 和N=10 下的RSMPC停車控制曲線,可以看出,RSMPC 下控制量輸出的切換次數(shù)明顯減少.同時(shí),自觸發(fā)控制框架下,算法不需要在每個(gè)采樣時(shí)間都采集列車運(yùn)行狀態(tài)和求解優(yōu)化問題,降低了控制算法對(duì)系統(tǒng)采樣和通信能力的要求,提高了實(shí)用性.圖10 給出了N=5 和N=10的RSMPC 速度跟蹤誤差,預(yù)測(cè)時(shí)域越長,RSMPC 控制切換頻率越低,但是這也會(huì)使跟蹤誤差變大,算法設(shè)計(jì)過程中應(yīng)綜合考慮這些影響.

圖8 RSMPC 列車停車控制的速度?位置曲線 (N=5)Fig.8 RSMPC speed-distance profile of train stopping(N=5)

圖9 RSMPC 列車停車控制的速度?位置曲線 (N=10)Fig.9 RSMPC speed-distance profile of train stopping(N=10)

圖10 RSMPC 不同預(yù)測(cè)時(shí)域下的速度跟蹤誤差Fig.10 RSMPC speed tracking error of different horizons

對(duì)于高速列車,要求的停車精度是±50 cm,圖11 給出了預(yù)測(cè)時(shí)域變化時(shí)RMPC 和RSMPC的停車精度變化情況.仿真結(jié)果表明,RMPC 的停車誤差隨著預(yù)測(cè)時(shí)域的增加呈降低趨勢(shì),但由于列車運(yùn)行環(huán)境復(fù)雜,運(yùn)行過程中受到多種不確定性干擾,這使預(yù)測(cè)時(shí)域繼續(xù)增加,停車精度誤差不再有明顯提高.對(duì)于RSMPC,自觸發(fā)機(jī)制使控制輸出的變化頻率降低,這也對(duì)跟蹤精度造成一定的影響,在預(yù)測(cè)時(shí)域 3≤N ≤15 時(shí),仍能保證達(dá)到要求的停車精度,停車誤差在50 cm 以內(nèi).

圖11 不同預(yù)測(cè)時(shí)域下RMPC 和RSMPC 的停車精度Fig.11 Stopping error of different prediction horizons with RMPC and RSMPC

RMPC 和RSMPC 在列車精確停車控制問題上可以實(shí)現(xiàn)要求的停車精度.自觸發(fā)機(jī)制可以降低控制輸出的切換次數(shù),系統(tǒng)無需在每個(gè)采樣時(shí)間都獲取列車實(shí)時(shí)的位置和速度并輸出控制量,這降低了對(duì)系統(tǒng)采樣和通信能力的要求,但這也使速度跟蹤誤差變大,停車精度降低,算法設(shè)計(jì)中應(yīng)綜合考慮這些問題.同時(shí),高性能的ATO 系統(tǒng)也是該方法有效應(yīng)用的基礎(chǔ).

5 結(jié)論

高速列車運(yùn)行環(huán)境復(fù)雜,停車過程中外部阻力等不確定性干擾較大.本文將阻力作為干擾項(xiàng),使用魯棒模型預(yù)測(cè)控制處理未知阻力干擾下的停車控制問題,魯棒控制的引入不增加額外的在線計(jì)算量,并且能夠達(dá)到要求的停車精度.進(jìn)一步,結(jié)合高速列車自動(dòng)停車控制過程的特點(diǎn)和需求,采用自觸發(fā)模型預(yù)測(cè)控制方法有效減少控制輸出的切換次數(shù),在保證停車精度的同時(shí)提高了控制質(zhì)量.本文中列車停車控制的滾動(dòng)優(yōu)化過程被轉(zhuǎn)化成為線性約束二次規(guī)劃問題,該問題的高效求解方法可以為算法的工程應(yīng)用提供基礎(chǔ).同時(shí),自觸發(fā)機(jī)制下不需要在每個(gè)采樣時(shí)間都求解優(yōu)化問題,降低了對(duì)系統(tǒng)采樣和通信的要求,提高了算法的工程實(shí)用性.

致謝

本文的研究得到了城市軌道交通北京實(shí)驗(yàn)室、城市軌道交通自動(dòng)化與控制北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室的支持和幫助.