基于事件觸發(fā)二階多智能體系統(tǒng)的固定時間比例一致性

陳世明 邵 賽 姜根蘭

近些年來,由于多智能體系統(tǒng)的分布式協(xié)同控制在編隊控制[1?2]、蜂擁[3?4]等多領(lǐng)域的應(yīng)用,現(xiàn)受到許多學(xué)者廣泛關(guān)注.目前為止,多智能體系統(tǒng)的一致性研究已經(jīng)由一階[5]、二階[6]逐步發(fā)展到高階[7?8].一致性的基本思想是每個智能體通過自身和鄰居信息來更新自身信息,從而使得所有個體最終收斂于同一狀態(tài).

在實際的工程應(yīng)用中,智能體自身能量和通訊信道帶寬往往都是有限的,因此,在設(shè)計控制協(xié)議時需要考慮智能體能量的損耗,讓其能有更長的運作時間.由此,將事件觸發(fā)機制引入到多智能體系統(tǒng)具有很大意義.文獻(xiàn)[9]將事件觸發(fā)策略引入多智能體系統(tǒng)的研究,控制器不再連續(xù)更新控制輸入,而是依賴于與測量誤差相關(guān)的事件觸發(fā)函數(shù),當(dāng)測量誤差達(dá)到某一臨界狀態(tài)才更新控制輸入.文獻(xiàn)[10]給出了一階多智能體系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制協(xié)議,設(shè)計了與智能體系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)的觸發(fā)條件.文獻(xiàn)[11]研究了在有向拓?fù)湎?帶有擾動多智能體系統(tǒng)的均方一致性問題,智能體最終收斂到系統(tǒng)初始狀態(tài)的平均值,并且進(jìn)一步分析了切換拓?fù)涞囊恢滦?在大多數(shù)已有的成果中,對于觸發(fā)條件的設(shè)計,不僅與自身的觸發(fā)時間有關(guān),還與其鄰居的觸發(fā)時間有關(guān).這樣將會增加通訊負(fù)擔(dān)和控制器的更新頻率.為了解決這個問題,文獻(xiàn)[12]提出了聯(lián)合測量誤差,能減少智能體之間的通信次數(shù).為了進(jìn)一步的減小通訊負(fù)擔(dān)和控制器的更新頻次,文獻(xiàn)[13]將事件觸發(fā)機制引入到間歇控制,給出了集中式和分布式兩種事件觸發(fā)控制策略.

值得注意的是,大部分已有的基于事件觸發(fā)控制策略只是基于漸近收斂.然而,在一些實際的工程應(yīng)用中,尤其在一些要求較高精度和較高收斂速度的控制問題中,經(jīng)常需要達(dá)到有限時間收斂.因此,基于事件觸發(fā)的有限時間一致性問題有很大研究價值.文獻(xiàn)[14]研究了在無向拓?fù)湎?針對有領(lǐng)導(dǎo)者和無領(lǐng)導(dǎo)者兩種情形,通過將有限時間一致性控制器與事件觸發(fā)相結(jié)合,設(shè)計了兩種控制協(xié)議,然而,并沒有排除Zeno 行為.文獻(xiàn)[15]在此基礎(chǔ)上,設(shè)計了新的事件觸發(fā)條件,給出了排除Zeno 行為的證明和數(shù)值仿真.文獻(xiàn)[16]在文獻(xiàn)[14]基礎(chǔ)上,研究了在有向拓?fù)湎碌挠邢迺r間一致性問題,給出了兩種事件觸發(fā)條件.盡管上述文獻(xiàn)很好地解決了基于事件觸發(fā)的有限時間一致性,但是設(shè)置的收斂時間都與智能體的初始狀態(tài)有關(guān),當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)很大時,系統(tǒng)收斂時間會受較大影響.為了排除這一影響,文獻(xiàn)[17]設(shè)計了兩種控制協(xié)議:1)通過引入符號函數(shù)來抑制外部擾動的固定時間一致性協(xié)議;2)為消除前者符號函數(shù)所帶來的抖振現(xiàn)象,引入飽和函數(shù),并給出事件觸發(fā)的條件.

上述文獻(xiàn)大部分都是關(guān)于普通一致性問題,文獻(xiàn)[18]研究了比例一致性問題,即各個智能體最終的狀態(tài)能夠趨于指定的比例,而不是同一定值.文獻(xiàn)[19]研究了切換拓?fù)湎聨в型ㄐ艜r延的比例一致性問題.文獻(xiàn)[20]研究了一階和二階分組比例一致性問題,設(shè)計了兩種分布式控制協(xié)議.文獻(xiàn)[21]研究了帶有外部擾動的比例一致性問題,給出了基于漸近收斂、有限時間收斂和固定時間收斂三種控制策略.

本文研究了基于事件觸發(fā)二階多智能體系統(tǒng)的固定時間比例一致性問題,提出了一種新的基于事件觸發(fā)的比例一致性控制協(xié)議,該控制協(xié)議包含基于狀態(tài)信息和速度信息的分段式觸發(fā)條件:當(dāng)智能體在追蹤虛擬速度時,采用與系統(tǒng)速度有關(guān)的觸發(fā)條件;當(dāng)完成虛擬速度追蹤后,切換為基于狀態(tài)信息的觸發(fā)條件,能有效的減小系統(tǒng)能量耗散及控制器更新頻次.基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論、線性矩陣不等式和代數(shù)圖論證明了所提事件觸發(fā)控制策略能有效地實現(xiàn)二階多智能體系統(tǒng)的固定時間比例一致性,并且不存在Zeno 行為.相較于文獻(xiàn)[14]、[16],本文所給出的收斂時間不再依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài).在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上,本文進(jìn)一步拓展,對二階多智能體系統(tǒng)進(jìn)行了研究,同時多智能體不再收斂于同一狀態(tài),而是按照既定的比例,收斂到不同狀態(tài).相較于文獻(xiàn)[18]、[20],本文采用事件觸發(fā)的策略來設(shè)計控制協(xié)議,能在達(dá)到比例一致性的同時有效節(jié)約系統(tǒng)資源.

1 預(yù)備知識及問題描述

1.1 圖論

N個智能體可視為N個節(jié)點,可以用無向圖G=(V,E,A)表示,V={v1,···,vN}表示節(jié)點集合,E ?V ×V表示邊集.A=[aij]∈Rn×n是具有元素aij的加權(quán)矩陣,其對角線元素aii=0.如果(vi,vj)∈/E,aij=0,否則aij >0.若(vi,vj)∈E=(vj,vi)∈E,eij=(vi,vj) 表示第i個智能體與第j個智能體之間互相傳輸信息,則圖G為無向圖;若(vi,vj)∈E(vj,vi)∈E,eij=(vi,vj) 表示第i個智能體向第j個智能體傳輸信息,則圖G為有向圖,從節(jié)點i到節(jié)點j的有向路徑被稱為有向邊.度矩陣D∈RN×N定義為D=diag{di},其中di=Laplacian 矩陣L∈∑RN×N被定義為L=[lij],L=D?A,其中,lii=

1.2 相關(guān)引理

引理1[22].

1)無向圖G的Laplacian 矩陣L為半正定,有一個特征值為0.如果無向圖G是連通的,則除0以外的特征值均正定;

2)無向圖G的Laplacian 矩陣L的第二小特征值λ2(L) 滿足:

3)對于任意x=(x1,x2,···,xN)T∈RN有:

引理2[23].如果存在一個連續(xù)的徑向無界函數(shù)V:RN →R+∪{0}滿足:

1)V(x)=0?x=0 ;

2)系統(tǒng)任意的解x(t) 滿足:

引理3[24].假設(shè)w1,w2,···,wN ≥0,0

1.3 問題陳述

考慮到二階多智能體系統(tǒng)由N個智能體組成,智能體i的動力學(xué)方程可寫為:

上式中,xi(t)∈R 表示為智能體i的狀態(tài)變量,vi(t)∈R表示為智能體i的速度變量,ui(t)∈R 表示為系統(tǒng)的控制輸入,x(t)=[x1(t),x2(t),···,xN(t)]T.

定義1[20].對于給定的控制器ui,i=1,2,···,N,如果對于給定的任何初始值xi(0),i=1,2,···,N,存在一個與初始值有關(guān)的正數(shù)T以及固定的常數(shù)Tmax>0,T

則稱閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到固定時間比例一致性,其中si,i=1,2,···,N,為比例系數(shù).

2 基于事件觸發(fā)的固定時間比例一致性

受文獻(xiàn)[7]、[25]的啟發(fā),采用反推法來設(shè)計控制器,引入虛擬速度:

定義sig[m]k=sign(m)|m|k,s ign(·) 為符號函數(shù).其中,i=1,2,···,N,c1>0,c2>0,α ∈(0,1),β >1.

定義速度跟蹤誤差:

為設(shè)計智能體的事件觸發(fā)策略,對于每一個智能體i定義,

經(jīng)過以上分析,給出基于事件觸發(fā)的控制協(xié)議如下:

其中,c3、c4為正常數(shù),且p ∈(0,1),q >1 .定義x=(x1,x2,···,xN)T.為書寫方便,令

當(dāng)t ∈[0,T1]時,定義測量誤差為:

令e=(e1,e2,···,eN)T.

定理1.假設(shè)多智能體系統(tǒng)的固定通信拓?fù)鋱D為無向圖,考慮到多智能體系統(tǒng)(1) 在控制器(10)的作用下,給出如下觸發(fā)函數(shù):G

其中,Ei定義為t ∈(T1,T] 時的測量誤差,T1表示智能體速度與虛擬速度達(dá)到一致的時間,T表示多智能體系統(tǒng)收斂所需時間.μi ∈(0,1),εi ∈(0,1) .多智能體系統(tǒng)(1)在任意初始條件下均能實現(xiàn)固定時間比例一致性,且收斂時間滿足:

T2表示智能體達(dá)到虛擬速度之后整個系統(tǒng)實現(xiàn)一致性的時間.

證明.由式(5)、(10)、(11)可得:

當(dāng)t ∈[0,T1] 時,選定Lyapunov 函數(shù)為:

求導(dǎo)得

上式中

結(jié)合式(14)、(15)有:

由引理2 得,事件觸發(fā)條件為:

結(jié)合式(16)、(17)得:

另一方面,當(dāng)t ∈[0,T1] 時,由式(18)及引理2知有界,再由式(1)、(3)、(4)得:

考慮到控制器ui是不連續(xù)更新控制輸入的,故有:

當(dāng)t ∈(T1,T]時,定義測量誤差:

選取Lyapunov 函數(shù)為:

其中,S=diag{sisign(si)},導(dǎo)有:

于是,可以得到事件觸發(fā)條件:

由引理3,式(24)可以寫成:

由引理1,

于是式子(26)可以寫成:

結(jié)合式(19)、(28),可得多智能體系統(tǒng)(1)在控制輸入(10)及觸發(fā)條件(12)的作用下,可以實現(xiàn)固定時間一致性,且收斂時間T滿足:

考慮到時間T1是不確定的,對兩個事件觸發(fā)條件進(jìn)行合并.由式(29)可以看出,當(dāng)t ∈[0,T1] 時,智能體處于追蹤虛擬速度的狀態(tài),1,此時事件觸發(fā)條件為式(17);當(dāng)t ∈(T1,T] 時,觸發(fā)條件為式(25).

定理2.假設(shè)固定通信拓?fù)鋱DG是無向連通的,考慮多智能體系統(tǒng)(1)在控制器(10)和觸發(fā)條件(12)的作用下,系統(tǒng)能實現(xiàn)一致且不存在Zeno 行為.

其中,U表示控制器(10)不采用事件觸發(fā)機制時的控制協(xié)議.定理1 中給出了事件觸發(fā)條件,并在其后證明了在控制器(10)的作用下多智能體系統(tǒng)的穩(wěn)定性.控制器U實時更新控制輸入,也就是說,控制器U比控制器(10)更為保守.不難證明,在控制器U的作用下,依然能實現(xiàn)多智能體系統(tǒng)的固定時間一致性,因此U′必定是有界的.假定U′絕對值的

結(jié)合等式(32)、(36),可得最小觸發(fā)時間間隔:

由引理1,

于是不難得到:

因此,式子

以下證明類似于t ∈[0,T1] 的情況,可得最小觸發(fā)時間間隔為:

其中,εmin=min{ε1,ε2,···,εN}.綜合上述論證,在兩個時間段內(nèi),事件觸發(fā)間隔都存在正下界.□

3 實例仿真

實例1.考慮到多智能體系統(tǒng)由5 個智能體組成,5 個智能體互連構(gòu)成的連通拓?fù)鋱D如圖1 所示.

圖1 拓?fù)鋱DFig.1 Topological graph

由通信拓?fù)鋱D不難得到Laplacian 矩陣L:

其中,λ2(L)=1.38.選定初始的狀態(tài)為x(0)=[?0.5,?0.3,0.1,0.2,?0.1],初始速度為v(0)=[?0.2,0.1,?0.3,0.2,?0.1].設(shè)定控制增益分別為:c1=0.22,c2=1.2,c3=0.85,c4=0.4 .比例參數(shù)設(shè)置為:s1=?1.3,s2=?1.3,s3=0.3,s4=0.3,s5=1.其他需要設(shè)定的參數(shù)分別為:α=0.6,β=1.8,p=0.8,q=1.1,μi=0.5,εi=0.95.由等式(19)不難得出T1max=26.9 s,由等式(26) 得T2max=20.9 s.系統(tǒng)總的收斂時間滿足:T=T1+T2≤T1max+T2max=47.8 s.

圖2 表明每個智能體最后收斂到不同狀態(tài).由圖2 和圖3 知,系統(tǒng)總體的收斂時間在10 s 左右,顯然小于47.8 s.由圖4 知,當(dāng)各個智能體追蹤虛擬速度的誤差趨近于零時,所需要的時間小于5 s,顯然小于T1max.

圖2 各智能體在控制策略(10)下的狀態(tài)軌跡Fig.2 Trajectories of agents under controller (10)

圖3 各智能體在控制策略(10)下的速度狀態(tài)Fig.3 Velocities of agents under controller (10)

圖4 追蹤虛擬速度的誤差Fig.4 Tracking the error of virtual speed

圖5 和圖6表示智能體1 在事件觸發(fā)控制協(xié)議(10)及事件觸發(fā)函數(shù)(12)下,其誤差范數(shù)的演化過程.圖5 表示的是在t ∈[0,T1],用基于速度信息的事件觸發(fā)條件時,智能體1誤差范數(shù)的演化過程.圖6 表示在t∈(T1,T],當(dāng)多智能體系統(tǒng)完成虛擬速度追蹤時,切換為基于狀態(tài)信息的事件觸發(fā)條件,智能體1 的誤差范數(shù)演化過程.

圖5 智能體1 在觸發(fā)條件(17)下的測量誤差及閾值變化趨勢Fig.5 The evolution of the error norm and the threshold of agent 1 with trigger function (17)

圖6 智能體1 在觸發(fā)條件(25)下的測量誤差及閾值變化趨勢Fig.6 The evolution of the error norm and the threshold of agent 1 with trigger function (25)

圖7 中i=1,2,···,5 為在控制策略(10)下,各個智能體觸發(fā)間隔;i=6 為在時間觸發(fā)下,每個智能體觸發(fā)間隔.圖7 表明本文所提出的事件觸發(fā)控制策略在減小系統(tǒng)的能量耗散和控制器的更新頻次的優(yōu)越性.

圖7 各智能體在控制策略(10)下的觸發(fā)間隔及在時間觸發(fā)控制策略下的觸發(fā)間隔Fig.7 The triggered interval of each agent under control scheme (10) and the trigger interval under the time trigger control strategy

圖8 給出了智能體1 在控制協(xié)議(10)下,與其它智能體之間的狀態(tài)誤差.當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時,各個智能體收斂于不同的值,且滿足既定的比例關(guān)系.

圖8 各智能體的狀態(tài)誤差Fig.8 State errors of agents

實例2.為了證明本文給出的結(jié)果能夠適應(yīng)更為復(fù)雜的多智能體系統(tǒng),選用12 個智能體組成的復(fù)雜多智能體系統(tǒng),12 個智能體互連構(gòu)成的連通拓?fù)鋱D如圖9 所示.其中,取多智能體系統(tǒng)的初始狀態(tài)、初始速度分別為x(0)=[?1,2,?3,4,?5,6,7,?8,9,10,?11,?7],v(0)=[?2,?1,3,4,?2,?6,7,8,9,?3,3.5].設(shè)定控制增益分別為:c1=0.2,c2=0.3,c3=1.2,c4=0.4.λ2(L)=0.558 .其他需要設(shè)定的參數(shù)分別為:α=0.4,β=1.8,p=0.8,q=1.1,μi=0.5,εi=0.66 .

圖9 拓?fù)鋱DFig.9 Topological graph

由等式(19) 不難得出T1max=32.7 s,由等式(26) 得T2max=26.2 s.系統(tǒng)總的收斂時間滿足:T=T1+T2≤T1max+T2max=58.9 s .圖10 表明在控制策略(10)下,多智能體系統(tǒng)能收斂至5 個不同的子群.圖11 表示各個智能體速度狀態(tài)軌跡圖.而圖12 則表明智能體追蹤虛擬速度的誤差.從圖中可以看出,智能體大約在4 s 左右實現(xiàn)虛擬速度的追蹤,系統(tǒng)總體的收斂時間在10 s 左右,顯然小于58.9 s.

圖10 各智能體在控制策略(10)下的狀態(tài)軌跡Fig.10 Trajectories of agents under controller (10)

圖11 各智能體在控制策略(10)下的速度狀態(tài)Fig.11 Velocities of agents under controller (10)

圖12 追蹤虛擬速度的誤差Fig.12 Tracking the error of virtual speed

4 結(jié)論

本文研究了基于事件觸發(fā)二階多智能體系統(tǒng)的固定時間比例一致性.為使得系統(tǒng)狀態(tài)收斂到不同狀態(tài),設(shè)計了一種基于事件觸發(fā)的固定時間非線性比例一致控制策略,該控制協(xié)議包含一種基于狀態(tài)信息和速度信息的分段式觸發(fā)條件:當(dāng)多智能體系統(tǒng)處于追蹤虛擬速度的狀態(tài)時,采用基于速度信息的事件觸發(fā)條件;當(dāng)完成虛擬速度的追蹤時,采用基于狀態(tài)信息的事件觸發(fā)條件,能有效的減小系統(tǒng)的能量耗散和控制器的更新頻次.利用Lyapunov 穩(wěn)定性理論、線性矩陣不等式和代數(shù)圖論,證明在該控制策略下,二階多智能體系統(tǒng)能實現(xiàn)固定時間比例一致性,且不存在Zeno 行為.