例談模式識別在高考題中的應(yīng)用
——以2021年新高考I卷壓軸題為例

揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(225009) 華加婷

1 問題的提出

對于中學(xué)生而言,大多數(shù)同學(xué)都有這樣一個窘境: 面對一道數(shù)學(xué)題,自己只能按照傳統(tǒng)的解題步驟去解決,老師卻能給出一個巧妙的解法.這時,大多數(shù)同學(xué)會在想:“為什么自己想不出來呢? ”

這個問題并不難回答,大多數(shù)學(xué)生的解題思路被先前的習(xí)慣所影響,導(dǎo)致在面對類似的數(shù)學(xué)問題時,傾向于用固有的解法去解決這類數(shù)學(xué)問題.而正是由于這一消極的“思維定勢”,妨礙了學(xué)生采用新的解法去解題,同時也束縛了學(xué)生的創(chuàng)造性.因而,在面對非常規(guī)、更深刻的問題時,無從下筆.

關(guān)于這個現(xiàn)象,數(shù)學(xué)家喬治·波利亞[1]創(chuàng)作了《怎樣解題》一書,并在書中提出了“怎樣解題”表,按照正常解題時的思維,把思維的自然過程分成四個階段——弄清問題、擬定計劃、實(shí)現(xiàn)計劃、回顧,其中“擬定計劃”是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容;被問及如何尋找解題方案時,原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家雅諾夫斯卡婭也發(fā)表了《什么叫解題》的演講,在報告中中她這樣說:歸結(jié)為我們已經(jīng)解過的問題[2].為了深入挖掘解題思路,本文在“怎樣解題”表的基礎(chǔ)上,提出中學(xué)數(shù)學(xué)解題的一種策略——模式識別,借此幫助學(xué)生提升解題能力.

2 “模式識別”在高考題中的應(yīng)用

縱觀歷年高考,不等式的證明往往與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容綜合,有一定的難度和綜合性.而壓軸題是整張數(shù)學(xué)試題中最難的題目,要想解決這個問題,學(xué)生需弄清題目的本質(zhì),運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法來分析問題、解決問題.下面通過對一道高考壓軸題的探討說明“模式識別”在新高考題中的應(yīng)用.

例1(2021 年全國卷I,22)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)略;

(2)設(shè)a,b為兩個不相等的正數(shù),且blna-alnb=a-b,證明: 2＜

2.1 構(gòu)建模式

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容之一,與其他知識點(diǎn)有著密切的聯(lián)系.而在高考中,常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)綜合,以綜合題的形式呈現(xiàn),因此,不等式的證明問題往往是高考的難點(diǎn),也是歷屆考生關(guān)注的熱點(diǎn)之一.關(guān)于雙變量不等式證明的方法,常見的解題方法有: 變更主元、指定主元、化歸為函數(shù)單調(diào)性、化歸為值域問題或最值問題.不管使用哪種方法,其目的是“消元”和“構(gòu)造函數(shù)”,先利用題目所給條件,消去一個變量,再構(gòu)造一元函數(shù),將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,再求導(dǎo),利用函數(shù)的性質(zhì)來解決問題.可見,消元和構(gòu)造函數(shù)是雙變量證明不等式的關(guān)鍵,那么證明問題(2)該如何消元和構(gòu)造函數(shù)?

2.2 搜索模式

例2(2010 天津理21)函數(shù)f(x)=xe-x(x ∈R),

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(答案: 單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1),單調(diào)遞減區(qū)間(1,+∞),極大值f(1)=)

(2)假設(shè)x12,且f(x1)=f(x2),求證x1+x2＞2.

搜索模式1: 化歸為函數(shù)單調(diào)性法這類是明顯的一元函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題.首先,對于雙變量問題且“1”恰為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),可以將不同點(diǎn)轉(zhuǎn)化在同一區(qū)間內(nèi);然后,作差構(gòu)造一元函數(shù),求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可證明.

分析要證x1+x2＞2,即證x2＞2-x1,討論x2和2-x1所屬區(qū)間,利用f(x2)=f(x1)＜f(2-x1)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f(2-x),再求導(dǎo),判斷函數(shù)的單調(diào)性,比較f(x1)和f(2-x1)的大小.

搜索模式2: 比值法顯然,這題是類似函數(shù)極值點(diǎn)偏移的問題.對于此類問題,常運(yùn)用的方法: 萬能的“t”字比值法——對于雙變量,作商使其等于t.首先,題目中沒有雙變量和無關(guān)變量的直接關(guān)系,因此,第一步的關(guān)鍵步驟在于找出它們之間的關(guān)系,根據(jù)題目條件,得到它們之間的關(guān)系;其次,觀察到無關(guān)變量與所研究的目標(biāo)無關(guān),因此,第二步的關(guān)鍵在于消去無關(guān)變量,可采用對稱的變形方式,兩式子相加或相減來構(gòu)造只含有兩變量的關(guān)系式;接著,令兩變量的比值等于新元t,用t表示出所研究的目標(biāo),通過變形,構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;最后,求導(dǎo),根據(jù)單調(diào)性求解.在這個過程中,可以體會到比值法在證明雙變量不等式中的便捷性,也可以感受到運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解題的魅力所在.

分析先根據(jù)題意,得到關(guān)于x1、x2和a的方程,消去無關(guān)變量a;再利用合分比性質(zhì)將式子轉(zhuǎn)化,令t=;接著構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù),求導(dǎo),得出該函數(shù)的最大值;最后,利用均值不等式得證.

例4(2020 年全國卷I,21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范圍.

搜索模式3: 切線放縮法此題中含參,解決的方法有兩種: 一是分類討論,二是分離參數(shù).這兩種方法都是常規(guī)的方法,計算繁雜但思維量小.而有些時候,在求導(dǎo)過程中,很多時候需要求二次導(dǎo),甚至是三次或者多次,計算量尤其大,不易進(jìn)行到底;若是很好地利用放縮的技巧,最多只需求二次導(dǎo).當(dāng)然,放縮的方法有很多種,這邊介紹一種最常見的方法——“拆和之函數(shù)方法”,即這個函數(shù)由兩個最常見的切線放縮公式演變而來的.在高考中最常用的切線放縮公式有三種: ex≥x+1(取等點(diǎn)x=0);lnx≤x-1(取等點(diǎn)x=1);+1(取等點(diǎn)x=0).尤其注意,在使用切線放縮式時需證明此式.若要解決此題,首先,觀察所給式子是否含有切線放縮式;其次,若有切線放縮式,則先證明切線放縮式,再將其應(yīng)用在原題中.而難點(diǎn)在于找到切線放縮式,首先,判斷原函數(shù)是凸函數(shù)還是凹函數(shù);其次,找到切線放縮的方向和取等點(diǎn),這時尋找的切線上所有點(diǎn)(除了切點(diǎn))在定義域內(nèi)要么全在原函數(shù)的下面,要么全在上面;最后,需證明切線放縮式,而證明的關(guān)鍵在于“構(gòu)造函數(shù)”.利用切線放縮法,將曲線向直線進(jìn)行放縮,化繁為簡,巧妙地解決問題.

分析觀察到題目中有ex-1和lnx,聯(lián)想到切線放縮式:ex≥x+1(x=0 時取“=”)和lnx≤x-1(x=1 時取“=”);先證明兩個式子,再分別放縮,將aex-1≥lnx-lna+1 轉(zhuǎn)化成ax≥-lna+x;最后,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì),分類討論,求得a值.

證明aex-1-lnx+lna≥1,即證aex-1≥lnx-lna+1;證明ex≥x+1(x=0 時取等號) 和lnx≤x-1(x=1時取等號),先證明ex≥x+1,令g(x)=ex -x -1,g′(x)=ex-1,可知g(x)在(-∞,0)上遞減,在(0,+∞)上遞增,故g(x)min=g(0)=0,故得證;同理可證lnx≤x-1.應(yīng)用兩式得ax≥-lna+x,(a-1)x≥-lna,當(dāng)0＜a ＜1,顯然矛盾;當(dāng)a≥1 時,(a-1)x≥0,-lna≤0,故不等式恒成立;綜上,a≥1.

2.3 應(yīng)用模式

通過上述例題的解法,可以體會到導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的基本要領(lǐng)和簡捷.證明雙變量不等式問題時,消元、構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵步驟,這一方法在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用的非常廣泛.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一題多變,一題多解和多題一解的理論基礎(chǔ)正是模式識別[3],將模式識別應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題中,可以極大地提高學(xué)生的解題效率和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.下面,將上述模式升華后應(yīng)用在例1 中“x1+x2＜e”的證明,感悟“一題多解”和“題多一解”的魅力.

證x1+x2＞2(略).下面證x1+x2＜e.

法一采用化為函數(shù)單調(diào)性法.使用這種方法的關(guān)鍵在于找到“極值點(diǎn)”,顯然,并不是極值點(diǎn),但仍然可以用極值點(diǎn)偏移問題的解題方法來思考此題.要證x1+x2＜e,根據(jù)模式1 提供的思路,構(gòu)造一元函數(shù)h(x)=f(x)-f(e-x),接著,對其進(jìn)行求導(dǎo),判斷其單調(diào)區(qū)間,找出其在定義域內(nèi)的最小值,即可得證.

法三聯(lián)想到切線放縮式的由來,得到本題的關(guān)鍵式子:f(x)≤e-2(取等號x=e),構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-e+x,求導(dǎo),判斷最值即可證明此式.利用此放縮式,通過轉(zhuǎn)化,即可得證.

證明x1+x2＜e,等價于x1＜e-x2,函數(shù)f(x)在(e,0)處的切線恰好為y=e-x,先證明f(x)≤e-2(取等號x=e),構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-e+x,h′(x)=-lnx+1,故h(x)在(0,e)上遞增,在(e,+∞)上遞增,故h(x)≤h(e)=0得證;所以f(x2) ≤e-x2,故只需證x1≤f(x2)=f(x1),即證lnx1＜0,又因?yàn)?＜x ＜1,故得證.

不難看出,上面三個解法各有各的特色.法一是需要學(xué)生通過積累,整理得到通式,才可以在特定條件下的題目中應(yīng)用;法二是萬能的方法,適用于所有的雙變量問題;法三是巧妙的方法,但前提是找到并證明切線放縮式,當(dāng)然,常見的切線放縮式是需要學(xué)生收集和整理的.相比較而言,法二是大多數(shù)學(xué)生都能想到的方法,但耗時耗力,計算繁雜;運(yùn)用法三需要的思維量最大,最難的在于“構(gòu)造”,也就是創(chuàng)造出新的式子,這對于絕大多數(shù)同學(xué)來說是很難想到的;法一相對來說,是“性價比”比較高的一種方法,將二元問題轉(zhuǎn)化成熟悉的一元問題,減少了不必要的討論,化難為易,輕松地解決問題,但難點(diǎn)在于想到“設(shè)而不求”和求端點(diǎn)的極限值,因而法一需要一定的思維量,但計算不繁雜.當(dāng)然,要具體到選擇哪一種方法,只能說根據(jù)自身的心理特點(diǎn)和解題的習(xí)慣,選擇自己更擅長的方法去解題.學(xué)習(xí)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題,學(xué)會創(chuàng)新,深入探究和拓展,培養(yǎng)創(chuàng)新性思維.

3 結(jié)語

隨著新高考的推行,高三學(xué)生該如何應(yīng)對? 其實(shí),由于考試時間有限,不可能每道題都花很長的時間去思考,因此,要想在高考中取得優(yōu)異的成績,考卷中至少有15 題不占更多思考時間[4].通過對比往年的高考卷,可以發(fā)現(xiàn)每一份高考試卷都至少會有80%的基礎(chǔ)題是可以通過模式識別來進(jìn)行求解的[5],那么在此情形下,模式識別在高考解題中就顯得尤為重要.

面對一道“似曾相識”的題目,首先是辨別出它屬于哪個模式,即它屬于哪個章節(jié)? 與哪個知識點(diǎn)有關(guān)? 與我們做過的哪些題類似? 解決這個問題的方法有哪些? 然后,選擇一種自己比較擅長的方法,相對而言,選擇比較省時省力的方法去解題,換言之,哪個方法對于解決此題更高效? 因此,為了更好地將“模式識別”應(yīng)用在高考解題中,在平常的學(xué)習(xí)過程中,要注意分門別類地總結(jié)題型和基本方法;對于“一題多解”的問題,總結(jié)更多的解法,找出更高效的方法,拓寬自身的思維;在解題時,要有把模式識別當(dāng)作思維訓(xùn)練場地的意識.同時也需注意,“模式識別”只是給學(xué)生提供了一種解題思路,并非萬能的,也不是一層不變的,面對非常規(guī)、更深刻的新問題時,往往需要將舊模式拆分,重組,轉(zhuǎn)化成新的模式.因此,在解題的過程中,要靈活地運(yùn)用模式識別策略,注重思維提升的訓(xùn)練.