微探究活動中的預設與生成
——以一道習題教學為例

廣東省廣州市第二中學(510040) 鄒 芬

數(shù)學探究教學一般是指學生圍繞某個數(shù)學問題,進行自主學習,探究結論,提出數(shù)學問題,使用數(shù)學解決問題的過程.數(shù)學探究對學生學習態(tài)度,學習能力有著較高的要求,對于八年級的普通學生來說,完全自主的探究活動往往流于形式,收效甚微[1].基于學生的實際情況在課堂教學中教師往往針對課堂的某個環(huán)節(jié)開展教師主導下的微探究活動.微探究注重的是組織學生開展數(shù)學問題探究,在這個探究過程中,以教師為主導,學生為主體,數(shù)學是載體,思維是形式,以此培養(yǎng)學生的主動性、創(chuàng)造性、應用意識和實踐意識[2].在教學微探究中,教師的問題設計既是教師主導課堂的體現(xiàn),也是推動學生進行探究活動的催化劑,但是課堂教學往往不會完全遵循教師預設的問題設計開展,教學過程中教師要善于發(fā)現(xiàn)學生閃現(xiàn)的新想法,呈現(xiàn)的新思路,捕捉學習探究活動中的瞬間生成,并及時調(diào)整問題設計,才能激發(fā)學生的探究欲望,激發(fā)學生主動思考數(shù)學,內(nèi)化數(shù)學思想方法,提升數(shù)學素養(yǎng)[3].

以下通過筆者在兩個班先后講評同一道課本習題的課堂實踐為例,談談微探究課堂問題設計的預設與生成.

1 課堂實踐一與反思

習題如圖1 所示,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC的中點,∠AEF=90°.EF交正方形外角的平分線CF于F,求證:AE=EF.

圖1

教材和學情分析本題來自于人教版數(shù)學八年級下冊第69 頁“四邊形”復習題18 拓廣探索第14 題.課程實施對象為數(shù)學成績中等班級,學生基礎知識扎實,學習積極性較高.在本章之前學生已學習了“全等三角形”,“軸對稱”、“勾股定理”、“四邊形”等章節(jié),在“四邊形”這一章的學習過程中,大部分學生對條件齊全的全等三角形的證明能熟練掌握,并能利用全等三角形對應邊相等,等角對等邊及勾股定理等來求證線段相等,但對如何添加輔助線存在一定的困難.

案例實錄:

師: 由已知條件“點E是邊BC的中點,EF交正方形外角的平分線CF于F”,我們能找到哪些相等的線段和相等的角?

生1:BE=EC,∠DCF=∠FCG.

師: 非常正確,能將題目中的條件轉化為具體的邊角關系將有助我們進一步探索.

反思: 當題目出現(xiàn)在屏幕上時,教師自己將問題朗讀了一遍,優(yōu)點是加快課堂節(jié)奏,明確問題導向,有助于教師順利實現(xiàn)課堂預設.但是,教師以自己的行為代替了學生對問題的自主理解,教師對問題的理解并不意味著學生已經(jīng)把握好問題的條件和目標以及問題所涉及的相關概念,而理解問題、明確任務恰恰是解決問題的第一步! 這一步的不足,直接影響學生解題能力的提高.

師: 題目要求證明線段相等,我們證明線段相等最常用的方法是什么?

生2: 利用全等三角形來證明線段相等.

(學生3 在座位上喊出:“等腰三角形也可以”.)

師: 非常好! 我們常常利用全等三角形來證明線段相等,圖中以AE、EF為邊的三角形全等嗎?

反思: 利用全等三角形證明線段相等是學生非常熟悉且比較直觀的一種方法.但是,就題講題,拘泥于把問題講清楚,是遠遠不夠的.由于在特殊的平行四邊形里由對角線分割出等腰三角形,直角三角形也是本章的相關教學內(nèi)容,教師需要通過講題加強知識橫向聯(lián)系,有助于學生建構知識體系.以本題為例,還可以通過構造直角三角形、等腰三角形等其它方法予以證明.特別是學生3 說到利用等腰三角形證明線段相等時,教師需要關注到學生不同的思維方向,有效的課堂要有精心的課前預設,更要重視課堂的生成,在教學過程中因勢利導,引導學生擬訂求解計劃,不僅可以加深對知識體系的認識,還可鼓勵學生參與課堂探究,提高學習積極性.

師: 嗯,同學們對圖形的識別能力很強,ΔABE與ΔECF不全等,那我們嘗試構造一對全等三角形從而得到AE=EF吧!

生4: 作FH⊥BC交BC的延長線于H,ΔABE與ΔEFH看上去挺全等的.

師: 很多同學想到作FH⊥BC交BC的延長線于H(如圖2 所示),接下來我們看看能否找齊全等所需要的條件?

圖2

生5: 由題目可知: ∠B=∠EHF=90°,由∠AEF=90°,∴∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°,∴∠BAE=∠CEF.

師: 很好,我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)證明全等所需的3 個條件中的兩個,勝利在望了.

反思: 教師在教學過程中能對學生的思考給予正向的回應,并在解答過程中不斷給予肯定,刺激學生繼續(xù)積極思考,樹立學生解決問題的信心,從而自主找出全等所需的兩對對應角,這個過程學生經(jīng)歷了自主探索知識的過程,體現(xiàn)了學生的主體地位.

師: 接下來,我們還需要什么條件?

生5: 要是能有AB=EH就好了.

生6:E是BC的中點,如果C是EH中點也可以證的.

師: 但本題中有這個條件嗎? 證明AB=EH難度較大,我們需要換一種思路.

反思: 在教學實踐中發(fā)現(xiàn),圖2 是學生最常想到的作輔助線的方法,但常常沒能“此路不同,另辟蹊徑”地尋找另外的解題策略,從而導致解題失敗.在此處,換種思路是克服實現(xiàn)求解計劃中遇到的困難的一種方法.而尋求AB=EH的求解計劃則是本題中再一次激發(fā)學生拓廣思維寬度的契機.因此,教師在課前預設時需要準備更充分,尊重學生的理解和方法,順應學生的需要,引導學生尋求有效的解題計劃的策略與方法.

師: 既然得不到ΔABE與ΔEFH全等,我們再構造一個與ΔECF全等的三角形吧! 如圖3 所示,取AB中點M,連ME,得到ΔAME.

圖3

生7: ∵M、E為正方形ABCD邊的中點,∴AM=EC,……∴ΔAME∽=ΔECF,∴AE=EF.

師: 太棒了,我們常常通過構造全等三角形來證明線段相等.課后同學們可以繼續(xù)思考如圖4,若將點E變?yōu)锽C邊上的任意一點,其它條件不變,是否仍然有AE=EF成立?

圖4

反思: 教師的講題到此就結束,問題看似完整解決,但是從課后練習發(fā)現(xiàn)大部分學生依然選擇與圖2 類似的輔助線,不能順利解決問題.課堂探究的效率高低不取決于教師打算教給學生什么,而取決于學生實際學到什么,思維獲得什么發(fā)展.問題探究是學生經(jīng)歷數(shù)學再創(chuàng)造的過程,是數(shù)學思維過程的展現(xiàn).數(shù)學微探究評價的重點是課堂的教學效果.教師在問題設計時要總結自己的思維過程,更要站在學生的視角審視學生在解決問題過程中會遇到哪些困難,問題設計要重在幫助學生突破自己思維上的障礙,進行數(shù)學思考,使用數(shù)學思想方法解決問題.

2 課堂實踐二

基于課堂實踐一的反思和對微探究課堂問題設計的思考,筆者在第二個班講評這道習題時,對理解問題與明確任務、提出假設與設計解決方案、檢驗和回顧等三個環(huán)節(jié)加以改進.

2.1 理解問題與明確任務

對該環(huán)節(jié)的改進如表1 所示.

表1 理解問題與明確任務

這一階段限時5 分鐘.通過巡堂發(fā)現(xiàn)學生有如下幾種表現(xiàn):

情況1: 找出正方形中四條邊相等,四個角是直角.

情況2: 標記線段BE=EC,∠FCG=∠DCF.

情況3: 標記線段BE=EC、∠FCG=∠DCF,且連線段AF,在努力求證∠EAF=∠AFE,試圖通過等角對等邊從而得到AE=EF.

情況4: 標記線段BE=EC、∠FCG=∠DCF,標記直角∠AEF,作FH⊥BG,試圖證明ΔABE∽=ΔEFH.

情況5: 連AF,標記BE=x,AB=2x,并運用勾股定理算出AE=

情況6: 作AB中點M,構造ΔAME,思維流暢清晰.

可見學生從題目獲取信息的能力有較大區(qū)別,思維方向比較發(fā)散,意味著學生在理解問題、理解探究對象這一步驟存在較大差異,提出假設和設計解決方案也具有一定的差異性.

2.2 提出假設與設計解決方案

對該環(huán)節(jié)的改進如表2 所示.

表2 提出假設與設計解決方案

生1: 設BE=EC=x,則AB=2x,只需證明CH=EC=x即可.

師: 將要證AB=EC+CH,轉為證明CH=EC=x,形式更加簡潔,更容易入手.如何證明呢? 繼續(xù)用全等三角形嗎?

生2: 不能用全等三角形了,那兩個三角形看上去就不全等.

生3: 不用全等三角形還能證線段相等嗎?

師: 再想一想,你還用過哪些方法證明線段相等?

生2: 哦! 勾股定理.

生4: 還有等腰三角形呢!

師: 這些都是我們常用的方法,現(xiàn)在你們想嘗試用哪種方法證明CH=EC呢?

生2: 等腰三角形肯定不行,CH、EC都構不成三角形.

生1: 那就用勾股定理試試吧!

師: 在哪些圖形中可以運用勾股定理呢?

生5: 直角三角形中,有

學生經(jīng)過小組討論、交流、合作整理出如下解法(如圖5 所示):

圖5

解法一設CH=FH=a,在RtΔEFH中,有EF2=(x+a)2+a2=x2+2a2+2xa,在RtΔABE中,有AE2=(2x)2+x2=5x2,在RtΔACF中,有AF2=AC2+CF2=(AB2+BC2)+(CH2+FH2)=8x2+2a2,在RtΔAFE中,有AE2+EF2=AF2,即5x2+x2+2a2+2xa=8x2+2a2,所 以a=x,即CH=FH=x,可得AB=EH,證得ΔABE∽=ΔEFH,即AE=EF.

解法二同解法一證得a=x,代入勾股定理等式中EF2=(x+a)2+a2=x2+2a2+2xa=5x2=AE2,即AE=EF.

如果在問題設計中過于偏重預設,只有教師的表演,學生僅僅被動接受,課堂的生成被壓制忽視,學生的主體性沒有得到重視,其有效性必然降低.開展微探究活動需要從學生的個體差異、思維特點出發(fā),關注學生的思維動向,從而激發(fā)學生繼續(xù)探究的欲望,自主參與到探究過程.微探究課堂中教師是主導,在捕捉探究活動的瞬間生成的同時,也要在探究中發(fā)揮教師的主導作用,促進完善學生的數(shù)學認知結構,提高學生問題解決的能力.在課例2 中教師繼續(xù)通過問題設計引導學生進一步探究構造全等三角形證明AE=EF,學生通過對比兩種解法,整理歸納思想方法,為后續(xù)的探究活動打下基礎.

2.3 檢驗和回顧

對該環(huán)節(jié)的改進如表3 所示.

表3 檢驗和回顧

通過問題設計引導學生思考: (1)如果這個條件不滿足,又如何? (2)交換條件和結論得到的命題是真命題嗎? (3)你還能得到哪些結論? (4)這個結論你能推廣到其它圖形中嗎?由此,學生的思維不再局限于解決單個題目本身,而是放眼探索解決一類問題的方法,體會數(shù)學思想在解題中的運用.

從課后作業(yè)中,發(fā)現(xiàn)學生通過思考探究提出了很多想法,例如:

(1)若AE=EF,那么AE⊥EF成立嗎?

(2)E為直線BC上一點,結論還成立嗎?

(3)將正方形ABCD變?yōu)檎噙呅?情況又如何:

①如圖6 所示,等邊ΔABC,CF為ΔABC外角平分線,E為BC邊上一點,∠AEF=60°,結論AE=EF成立嗎?

圖6

②如圖7 所示,正五邊形ABCDM,CF為其外角平分線,E為BC邊上一點,∠AEF=108°,結論AE=EF成立嗎?

圖7

③如圖8 所示,E為正n邊形邊BC上一點,CF為正n邊形外角平分線,當∠AEF為多少度時,AE=EF成立?

圖8

3 總結

在數(shù)學微探究活動中,教師的參與至關重要,教師需要對學生在發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題等環(huán)節(jié)進行有效指導.基于課堂生成的問題串的設計更能提高學生對課堂的參與度,激發(fā)學生探究的積極性,使學生獲得成功感.與此同時,教師也要關注探究活動的主體—學生.問題設計不是指導學生如何探究,而是引導學生參與探究活動.問題既要圍繞問題解決進行預設,也要及時捕捉課堂生成,關注學生瞬時的學習狀態(tài),順勢而為: 學生當下想到什么? 學生的假設是否成立? 學生在解決問題中遇到什么困難? 如何才能調(diào)整學生的思考過程和方向? 引導學生開展自然生成的探究活動,才能達到生態(tài)互動,激活課堂.

數(shù)學微探究活動根據(jù)課堂的實際需要設計啟發(fā)性的問題,引導探究活動圍繞既定目標開展,并關注、尊重學生的思維差異,讓學生參與課堂探究,經(jīng)歷數(shù)學的產(chǎn)生過程,積累數(shù)學活動經(jīng)驗,使不同類型不用層次的學生都能獲得發(fā)展,提高學生思考和解決問題的能力,數(shù)學微探究課堂問題設計中預設與生成的和諧統(tǒng)一既保留了原生態(tài)的課堂,也是課堂中“看不見的手”引導學生主動思考,自主探究,從而實現(xiàn)課堂在知識縱橫發(fā)展的廣度和數(shù)學思想拓展延申的厚度上的提升.