函數(shù)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究*

山東省濟(jì)南市濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(250022) 李欣悅 陳兆英

1 前言

1.1 研究背景

隨著社會發(fā)展和科技進(jìn)步,數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用到社會生產(chǎn)和人類日常生活的各個方面.著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變,日月之繁,無處不用數(shù)學(xué).”馬克思甚至說過,一個國家的科學(xué)水平可以用它消耗的數(shù)學(xué)來度量.總之,人類社會的發(fā)展離不開數(shù)學(xué),這不僅指數(shù)學(xué)知識具有廣泛的應(yīng)用性,而且指精妙絕倫的數(shù)學(xué)思維和科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法,對解決各種現(xiàn)實(shí)問題都具有無與倫比的意義[1].

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》明確提出:“學(xué)生通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),掌握適應(yīng)現(xiàn)代生活及進(jìn)一步學(xué)習(xí)必備的基礎(chǔ)知識和基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)[2].”教師在實(shí)施促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的教學(xué)活動中要促進(jìn)學(xué)生體會和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想與方法.

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,學(xué)生不僅要掌握基礎(chǔ)的知識和技能,還要學(xué)會數(shù)學(xué)思想方法,提高自己的思維能力.函數(shù)在初中數(shù)學(xué)起著承上啟下的作用,是初中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)主線.將函數(shù)思想滲透到初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,能更好的培養(yǎng)學(xué)生的解決問題的能力,提升其創(chuàng)新思維.

1.2 研究目的

在新課改后,教師不僅要傳授學(xué)生知識與技能,更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維素質(zhì).尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、推理能力等思維素質(zhì)更為重要.函數(shù)在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中尤為重要,比如學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等,因此研究函數(shù)思想方法如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透應(yīng)用便十分重要.

研究“函數(shù)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用”目的是闡述函數(shù)思想方法的作用,并具體列舉其應(yīng)用范例,來深刻體會函數(shù)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透與應(yīng)用,希望本研究能對初中教師及學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想方法來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供一些幫助.

1.3 研究意義

本文介紹函數(shù)思想方法,并結(jié)合實(shí)際生活,將函數(shù)思想方法應(yīng)用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中.能夠幫助學(xué)生及老師更進(jìn)一步認(rèn)識到函數(shù)思想方法的重要性,有利于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建,提高學(xué)生的創(chuàng)新能力、邏輯思維能力、歸納能力和總結(jié)能力.對于老師而言,加強(qiáng)老師將函數(shù)思想方法應(yīng)用于教學(xué)的意識,老師根據(jù)學(xué)生的心理特點(diǎn),采用有效的教學(xué)手段,總體提升教學(xué)效果.因此具有一定的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義.

1.4 研究內(nèi)容

函數(shù)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中所發(fā)揮的作用是十分關(guān)鍵的,尤其是對于初中生而言,學(xué)會運(yùn)用函數(shù)思想方法解決數(shù)學(xué)問題,提高學(xué)生的邏輯思維能力及其重要.本文首先介紹了函數(shù)思想方法的具體概念及其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性,闡明了本研究的重要性,然后具體將函數(shù)思想方法應(yīng)用到解決數(shù)學(xué)問題中,最后總結(jié)出在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透函數(shù)思想方法的教學(xué)策略,為今后的初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計提供參考.

2 函數(shù)思想方法概述

2.1 函數(shù)思想方法的內(nèi)涵

函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界中變量之間的數(shù)學(xué)語言,是探究變量變化規(guī)律的工具.初中所學(xué)的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)都是最簡單的初等函數(shù),學(xué)習(xí)函數(shù)的同時要更注重滲透函數(shù)思想.

函數(shù)思想是客觀世界中事物運(yùn)動變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學(xué)中的反映,它的本質(zhì)是變量之間的對應(yīng).函數(shù)思想方法,主要是用函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象,全面分析和解決數(shù)學(xué)問題,用運(yùn)動的觀點(diǎn)針對兩變量之間的關(guān)系進(jìn)行全面研究[3].

徐利治先生提出的RMI 原則為我們用函數(shù)思想方法提供了理論依據(jù).RMI 原則就是關(guān)系映射反演方法,基本步驟為: 關(guān)系→映射→定映→反演→得解[4].

利用函數(shù)思想解決問題途徑如圖1 所示.

圖1 解決問題途徑

2.2 函數(shù)思想方法的重要作用

函數(shù)與我們的生活息息相關(guān),比如水費(fèi)、電費(fèi)都是時間的函數(shù).在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中處處存在函數(shù)思想方法,比如學(xué)習(xí)有理數(shù)的混合運(yùn)算、代數(shù)運(yùn)算等都是為了學(xué)習(xí)函數(shù)打下良好的基礎(chǔ).

函數(shù)思想方法滲透在數(shù)學(xué)理論和實(shí)際問題中,是探索事物發(fā)展規(guī)律、預(yù)測事物發(fā)展方向的重要手段.一些非函數(shù)問題如不等式問題、方程問題和幾何問題等都可以用函數(shù)思想方法轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進(jìn)而解出答案.在教學(xué)中教師要抓好函數(shù)這一主線,將函數(shù)思想方法滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)中,有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和樂趣,提高學(xué)生的邏輯思維的能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識[5].

3 函數(shù)思想方法在具體數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用分析

3.1 巧用函數(shù)思想解決方程問題

例1解方程(x+6)1999+x1999+2x+6=0

分析這是一個一元高次方程,最高次數(shù)為1999,我們無法用常規(guī)的方法解決問題.觀察方程系數(shù)的特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)它們具有對稱性,因此可以嘗試構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)思想求解.

解將方程移向變式得(x+6)1999+(x+6)=(-x)1999+(-x),利用等號兩邊的對稱性,可構(gòu)造函數(shù)f(t)=t1999+t,故方程轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)值相等,即f(x+6)=f(-x),根據(jù)函數(shù)f(x) 在R 上是遞增函數(shù),將函數(shù)值相等轉(zhuǎn)化為自變量相等,即x+6=-x,解得x=-3,所以原方程的解為x=-3.

總結(jié)本題把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,利用函數(shù)的性質(zhì),把函數(shù)值相等轉(zhuǎn)化為自變量相等,從而把一元高次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程,把問題簡化了,大大提高了做題的效率.

3.2 運(yùn)用函數(shù)思想解決不等式問題

例2對任意的a ∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值總大于0,求x的取值范圍.

分析這是一道用函數(shù)處理不等式恒成立的問題,處理依據(jù)是:a ＞f(x) 恒成立?a ＞f(x)max;a ＜f(x)恒成立?a ＜f(x)min,解題時常用到“分離參數(shù)法”.對于此題,首先將a分離出來,將函數(shù)看作關(guān)于a的函數(shù)?(a)=a(x-2)+(x-2)2,并且?(a)＞0,a ∈[-1,1],只需?(-1)＞0,?(1)＞0.

總結(jié)本題的關(guān)鍵是變換參數(shù),構(gòu)造a為自變量的函數(shù),從而不等式問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)在閉區(qū)間求值域的問題.一般地,在一個含有多個變量的問題中,確定合適的變量和參數(shù),從而揭示函數(shù)關(guān)系,使問題更加明朗化,更能巧妙的解決問題[6].

3.3 利用函數(shù)思想解決最大利潤問題

例3有一種螃蟹,從海上捕捉后不放養(yǎng),最多成活2 天,如果放養(yǎng)在塘內(nèi),雖然可以延長成活時間,且螃蟹的個體重量能保持不變,但有一部分仍會死去,現(xiàn)一經(jīng)銷商按市場價收購了這種活蟹1000 千克,放養(yǎng)在塘內(nèi),此時的市場價為每千克30 元,據(jù)測算,此后每千克活蟹的市場價每天可上升1元,但每放養(yǎng)1 天得開支各種費(fèi)用400 元,且平均每天還有10 千克螃蟹死去.假定死蟹均可當(dāng)天售完,售價都是每千克20 元.

(1)經(jīng)銷商為了確保利潤不少于5000 元,應(yīng)放養(yǎng)多少天?

(2)為了利潤盡可能豐厚,經(jīng)銷商應(yīng)如何經(jīng)營這批螃蟹?

分析根據(jù)題意,利潤與放養(yǎng)天數(shù)有關(guān),利潤是放養(yǎng)天數(shù)的函數(shù).利潤是總收入與總支出的差,總收入包括銷售活蟹的收入和銷售死蟹的收入,總支出包括收購成本和放養(yǎng)成本,就能很方便地得到這個函數(shù)的解析式,然后可以回答所有問題.

解設(shè)將這批螃蟹放養(yǎng)x天后出售,利潤為y元,那么x天后的價格為每千克(30+x) 元,出售活蟹(1000-10x) 千克,收入(30+x)(1000-10x) 元,出售死蟹的收入為20×10x=200x元,這批螃蟹的收購成本為30×1000=30000 元,放養(yǎng)成本為400x元,因此y=(30+x)(1000-10x)+200x-30000-400x=500x-10x2.

(1)經(jīng)銷商為了確保利潤不少于5000 元,即y≥5000,解不等式500x-10x2≥5000,將不等式變形得(x-25)2-125 ≤0,即2.24,近似計算精確到1,得(x-14)(x-36) ≤ 0,即14 ≤x≤36,所以,經(jīng)銷商為了確保利潤不少于5000 元,放養(yǎng)天數(shù)應(yīng)該14 天到16 天之間.

(2) 要使利潤盡可能豐厚,即求二次函數(shù)y=500x-10x2的最大值,將函數(shù)變形為y=-(x-25)2+6250,當(dāng)x=25 時,y取到最大值6250,所以,經(jīng)銷商將這批螃蟹放養(yǎng)25 天后在出售,利潤最大可達(dá)到6250 元.

總結(jié)本題的關(guān)鍵是明白利潤=總收入-總支出,并用代數(shù)式表示出來.實(shí)際問題的敘述一般比較復(fù)雜,要理清關(guān)系,把一個個相關(guān)的量用自變量的代數(shù)式表示出來,最后才寫出所求的函數(shù)解析式,再利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,更方便解題.

3.4 應(yīng)用函數(shù)思想解決幾何問題

例4RtΔABC的斜邊AB=a,∠A=30°,點(diǎn)E,F分別在AB,AC上,EF把RtΔABC的面積二等分,求線段EF的長的最小值.

分析線段EF的長與AE,AF的長有關(guān),但AE,AF缺乏聯(lián)系,暫時讓EF受這兩個變量制約,然后分析當(dāng)EF的長最小時AE,AF之間的關(guān)系,根據(jù)題目作出圖像,更清晰明了.

圖2 RtΔABC

總結(jié)本題為一道幾何題目,求線段的最小值,關(guān)鍵是尋找線段關(guān)系,構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,將抽象問題具體化,清晰地解決問題.

4 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透函數(shù)思想方法的途徑

(1)創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)思想方法的興趣.問題是數(shù)學(xué)的心臟.我們在教學(xué)中.要積極創(chuàng)設(shè)問題情境,充分發(fā)揮問題在函數(shù)思想方法教學(xué)中的重要性,激發(fā)學(xué)生的思維,將隱含在數(shù)學(xué)問題中的函數(shù)思想方法轉(zhuǎn)化為可觸摸的教學(xué)內(nèi)容.

(2)歸納總結(jié)知識,概括函數(shù)思想方法.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段,學(xué)到很多數(shù)學(xué)思想方法,比如函數(shù)思想方法、數(shù)形結(jié)合思想和化歸思想等.然而將這些思想方法應(yīng)用到做題中卻是使學(xué)生困惑的一點(diǎn),我們可以在單元總結(jié)或期末復(fù)習(xí)中,歸納相關(guān)的知識,將統(tǒng)領(lǐng)的函數(shù)思想方法總結(jié)出來,增強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)思想方法的應(yīng)用意識.

(3)關(guān)注知識的生成,滲透函數(shù)思想方法.教師在教授這些知識的過程中,要注重知識的生成,要將知識的教授轉(zhuǎn)化為知識生成的教學(xué),有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,教師要設(shè)計利于學(xué)生參與認(rèn)知的教學(xué)過程,將函數(shù)思想滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)中,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

(4)注重解決問題,增強(qiáng)應(yīng)用函數(shù)思想方法的意識.函數(shù)思想方法存在于問題的解決中,在教學(xué)中,教師應(yīng)該注重開放性問題的設(shè)計,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,通過問題的解決,教師要展現(xiàn)出函數(shù)思想方法的應(yīng)用,使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的本質(zhì),發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美.

5 結(jié)論

在推進(jìn)素質(zhì)教育和終身教育的今天,知識本身固然重要,但知識背后的思想方法更為重要.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,教師要重視對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的引導(dǎo),教會學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想方法解決方程問題、不等式問題、最大利潤問題和幾何問題,提升學(xué)生解決問題的能力.在后續(xù)的學(xué)習(xí)中,還可以利用函數(shù)思想方法解決數(shù)列問題、極限問題等.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要重視將函數(shù)思想方法滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)中,增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想方法解決問題的意識,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,從而提升人才培養(yǎng)質(zhì)量.