以終為始,錨定靶心
——談中考隱形圓問(wèn)題的教學(xué)突破

廣東省東莞市東華初級(jí)中學(xué) 周健鴻

遠(yuǎn)洋途中,我們往往會(huì)遇到各種不確定的挑戰(zhàn),或迂回航行,或停泊駐留.但只要教師這位船長(zhǎng)始終能把好舵盤,乘勢(shì)掛好船帆,教學(xué)航船依然可以一往直前,迎風(fēng)擊浪,直達(dá)素養(yǎng)的海洋.目標(biāo)引領(lǐng)航向,把脈中考動(dòng)向,教學(xué)航船才有方向.廣東中考數(shù)學(xué)卷從2020 年開始改革,隱形圓成為了中考卷上的熱門,2020 年填空壓軸題第17 題,2021 年選擇壓軸題第10 題和填空壓軸題第17 題都考察了隱形圓的構(gòu)造,學(xué)生需要從題干中尋找出構(gòu)造圓的關(guān)鍵信息,發(fā)掘出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是一段圓弧.

1 點(diǎn)亮錨燈,聚焦概念

一位好老師,應(yīng)該要厘清培養(yǎng)目標(biāo)、學(xué)科目標(biāo)、單元目標(biāo)、課時(shí)目標(biāo)的關(guān)系,把準(zhǔn)目的地、中間站、臨時(shí)停靠點(diǎn),航線才能更加清晰和科學(xué).要想突破隱形圓的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,第一個(gè)核心就是要讓學(xué)生掌握好圓的定義.圓的靜態(tài)定義是:“到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓.”圓的動(dòng)態(tài)定義是:“一條長(zhǎng)度固定的線段繞著自己的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周,另一個(gè)端點(diǎn)經(jīng)過(guò)的軌跡叫圓.”準(zhǔn)確掌握?qǐng)A的概念是發(fā)掘出動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓的核心關(guān)鍵.

2 錨定靶心,拆解模型

根據(jù)圓的定義,提取出關(guān)鍵詞,我們不難發(fā)現(xiàn)“定點(diǎn)+定長(zhǎng)→圓”.例如,如圖1,OA⊥OB,P、Q分別是射線OA,OB上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且PQ=4,點(diǎn)C是線段PQ的中點(diǎn),求動(dòng)點(diǎn)C形成的軌跡.因?yàn)镺為定點(diǎn),C為動(dòng)點(diǎn),OC為定長(zhǎng),根據(jù)圓的定義,C點(diǎn)在以O(shè)為圓心,OC長(zhǎng)為半徑的圓弧上,則動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的路徑是一段圓弧.

圖1

例1(2020 年廣東第17 題)有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑,一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠,等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn),模型如圖2,∠ABC=90°,點(diǎn)M,N分別在射線BA,BC上,MN長(zhǎng)度始終保持不變,MN=4,E為MN的中點(diǎn),點(diǎn)D到BA,BC的距離分別為4 和2.在此滑動(dòng)過(guò)程中,貓與老鼠的距離DE的最小值為____.

圖2

解析由題意BD==90°,MN=4,EM=NE,∴BE=MN=2,∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以B為圓心,2 為半徑的弧,∴當(dāng)點(diǎn)E落在線段BD上時(shí),DE的值最小,∴DE的最小值為-2.(也可以用DE≥BD-BE確定最小值)

在例1 的突破中,除了需要發(fā)現(xiàn)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧之外,還需要掌握“一線穿”的點(diǎn)圓最值模型.

1.點(diǎn)圓最值——“一線穿”模型

如圖3,點(diǎn)P在⊙O內(nèi)時(shí),點(diǎn)P到⊙O上的最近距離為AP,最遠(yuǎn)距離為BP,即最遠(yuǎn)距離+最近距離=直徑;如圖4,點(diǎn)P在⊙O外時(shí),點(diǎn)P到⊙O上的最近距離為AP,最遠(yuǎn)距離為BP,即最遠(yuǎn)距離-最近距離=直徑.

圖3

圖4

2.線圓最值——“摩天輪”模型

如圖5,點(diǎn)P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn),直線AB為定直線,當(dāng)點(diǎn)P與P1重合時(shí),點(diǎn)P到直線AB的距離最小,當(dāng)點(diǎn)P與P2重合時(shí),點(diǎn)P到直線AB的距離最大,即圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離-最近距離=直徑.2021 年廣東中考選擇壓軸第10 題就考察了運(yùn)動(dòng)軌跡為圓的動(dòng)點(diǎn)C到定直線y軸的最大值問(wèn)題,借助“摩天輪”模型可以快速求解.

圖5

例2(2021 廣東第17 題) 在ΔABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.點(diǎn)D為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠ADB=45°,則線段CD長(zhǎng)度的最小值為____.

圖6

通過(guò)例2,可以發(fā)現(xiàn)除了通過(guò)“定點(diǎn)+定長(zhǎng)→圓”之外,還可以通過(guò)“定長(zhǎng)+定角→圓”,題中AB為定長(zhǎng),∠ADB=45°為定角,可以利用圓周角的相關(guān)知識(shí),根據(jù)圓的性質(zhì)可知D在以AB為直徑的圓上.最后借助點(diǎn)圓最值問(wèn)題“一線穿”模型可以快速求解.

3 拔錨起航,駛向素養(yǎng)

根據(jù)例2 我們可以進(jìn)行模型的歸納和總結(jié),如圖7,當(dāng)AB為定長(zhǎng),且∠ACB為定角時(shí),點(diǎn)C的軌跡就是圓.該模型就是通過(guò)“定長(zhǎng)+定角→圓”.圓的構(gòu)造還以通過(guò)“四點(diǎn)共圓”模型實(shí)現(xiàn),如圖8,已知∠BAD+∠BCD=180°,點(diǎn)A、C、D固定,點(diǎn)B是動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)B的軌跡是圓,其中圓心點(diǎn)O是AD與CD垂直平分線的交點(diǎn).對(duì)于隱形圓,我們除了可以通過(guò)求線段最值的方式考察外,還可以結(jié)合坐標(biāo)系和面積來(lái)命題.

圖7

圖8

例3(2021 河南)如圖9,在平面直角坐標(biāo)系中,半徑為4 的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn),直線y=-6 與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E,若ΔCDE面積為S,則S的范圍是____.

圖9

圖10

突破例3 需要先通過(guò)垂徑定理發(fā)現(xiàn)∠OCA為定角90°,利用“定長(zhǎng)+定角-→圓”得到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為以O(shè)A為直徑的圓,要求ΔCDE的面積最值問(wèn)題,根據(jù)三角形面積公式,利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,就轉(zhuǎn)化為求CH最值的問(wèn)題,利用線圓最值“摩天輪”模型最終可以快速求解.

4 以終為始,雙線并行

2022 年4 月21 日新課標(biāo)發(fā)布,從“新課標(biāo)”的這條線上,提出數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng),要求會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察;會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考;會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá).意味著在數(shù)學(xué)課程中我們要著重培養(yǎng)學(xué)生現(xiàn)實(shí)關(guān)聯(lián)能力,需要從復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象中基本的數(shù)學(xué)模型.而從近兩年“新中考”的這條線上,越來(lái)越多的題目靈活性更強(qiáng),對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題提煉核心的能力要求越來(lái)越高,這就需要我們:

4.1 定位目標(biāo)基點(diǎn),戴好航行指向的探照燈

核心素養(yǎng)作為培養(yǎng)學(xué)生的基點(diǎn),我們需要明確知識(shí)教育的重心應(yīng)該要向素養(yǎng)教育為核心的目標(biāo)轉(zhuǎn)型.這就需要我們定好每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),明確中考的命題趨勢(shì),有意識(shí)的設(shè)置好重難點(diǎn)和突破點(diǎn),實(shí)時(shí)對(duì)接中考方向.避開教學(xué)目標(biāo)設(shè)置的暗礁,厘清各層級(jí)的含義和關(guān)系,進(jìn)行目標(biāo)拆解,讓課堂的每個(gè)環(huán)節(jié)依托每個(gè)小目標(biāo)逐一落地.做好目標(biāo)“點(diǎn)線面體”設(shè)置工作,這里的點(diǎn)指的是每節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)小目標(biāo),線指的是每堂課的教學(xué)目標(biāo),面指的是本章節(jié)的課程目標(biāo),體指的是核心素養(yǎng)要求的總體育人目標(biāo).

4.2 任務(wù)層層拆解,用好信息技術(shù)的工具箱

教師在教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)上往往缺乏結(jié)果導(dǎo)向思維,只重視內(nèi)容和方法;忽略“教”與“學(xué)”的雙向互動(dòng),只重視教師輸出效果;停留于平面思維,忽視學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)該與學(xué)生的情感互融,最終把培養(yǎng)學(xué)生的過(guò)程切割成一個(gè)個(gè)互不關(guān)聯(lián)的“孤島”.而“互聯(lián)網(wǎng)+教育”時(shí)代的到來(lái),物聯(lián)網(wǎng)實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)互聯(lián),虛實(shí)融合、智能適應(yīng)的均衡化課堂生態(tài)登上舞臺(tái).這就需要我們新時(shí)代的教師借助網(wǎng)絡(luò)等信息化手段,開創(chuàng)信息化融合的教育教學(xué)的新方式,加強(qiáng)課堂的互動(dòng),例如借助“希沃白板”等軟件,設(shè)置課堂游戲環(huán)節(jié),把學(xué)生的主動(dòng)性、積極性、創(chuàng)造性充分地發(fā)揮出來(lái),讓信息技術(shù)走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂,實(shí)現(xiàn)我們的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)結(jié)構(gòu)發(fā)生根本性革新.

4.3 內(nèi)容共識(shí)共創(chuàng),用好集體智慧的發(fā)動(dòng)機(jī)

“互聯(lián)網(wǎng)+教育”時(shí)代讓合作在整個(gè)教育系統(tǒng)的重要性日益提升.教師的主要工作形態(tài)將從個(gè)體轉(zhuǎn)變?yōu)槿后w協(xié)作.每個(gè)學(xué)校都有集備的活動(dòng).高效的和有質(zhì)量的集備會(huì)縮短教師的個(gè)體勞動(dòng)時(shí)間從而提升工作效率.學(xué)習(xí)共同體概念的提出,讓教師能利用數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)組成各類共同體.在這些共同體中,集體智慧的結(jié)晶將是教師課堂設(shè)計(jì)的永動(dòng)機(jī).

時(shí)代在蛻變,但教師的育人功能與學(xué)習(xí)陪同效果無(wú)可替代.教師不僅僅是知識(shí)的傳授者,更要設(shè)計(jì)多樣化的教學(xué)活動(dòng),開發(fā)數(shù)字學(xué)習(xí)資源和相關(guān)的評(píng)估工具.為每個(gè)學(xué)生創(chuàng)設(shè)多樣化的學(xué)習(xí)環(huán)境.給予學(xué)生學(xué)習(xí)方法指導(dǎo),落實(shí)分層教學(xué),實(shí)現(xiàn)因材施教.在革新時(shí)代的背景下,我們要做的就是“以終為始,錨定靶心”,關(guān)注時(shí)代變化的動(dòng)態(tài)之下,時(shí)刻謹(jǐn)記我們教師的天職,貫徹“立德樹人”的育人目標(biāo),讓學(xué)生能夠得到真正意義的全人格成長(zhǎng).