精彩源于充分探究追問凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)*
——一節(jié)數(shù)學(xué)實驗探究課的研究與實施

中國教育科學(xué)研究院朝陽實驗學(xué)校(100029) 邵勝林 劉明成

人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)》在實踐與綜合應(yīng)用板塊主要設(shè)置了閱讀與思考、信息技術(shù)應(yīng)用、數(shù)學(xué)活動、課題學(xué)習(xí)、觀察與猜想、實驗與探索等課程內(nèi)容.而在實際的教學(xué)過程中,一些教師會因為教學(xué)任務(wù)重、時間緊張、考試壓力大等原因,不重視這部分內(nèi)容的教學(xué).在教學(xué)實踐中,主要有以下三種表現(xiàn): 忽視,讓學(xué)生不用管這些內(nèi)容,看也不看;輕視,讓學(xué)生課下看書,了解大體意思;平視,與常規(guī)內(nèi)容教學(xué)相同處理,重點(diǎn)在知識的掌握上,忽視了實踐與綜合應(yīng)用的學(xué)習(xí)特點(diǎn).為探討這部分內(nèi)容的教學(xué),我們選擇了“三角形中邊與角之間的不等關(guān)系”這節(jié)課作為研究對象來進(jìn)行教學(xué)研究,以期嘗試探討實驗與探究課的設(shè)置目的、特點(diǎn)及如何對其進(jìn)行高質(zhì)量教學(xué).

“三角形中邊與角之間的不等關(guān)系”是人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第十三章軸對稱的實驗與探究課,安排在“13.3 等腰三角形”后面.教研組的教師們主要提出了這樣幾個問題: 這節(jié)課有上的必要嗎? 有必要浪費(fèi)寶貴的45 分鐘嗎? 如果上,這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)到底是什么? 是大邊對大角這一知識嗎? 這樣的實驗探究課到底應(yīng)該怎么上? 如果放開了讓學(xué)生探究,肯定講不完,那么到底需不需要充分探究? 上這樣的實驗探究課我們要達(dá)到什么目的? 帶著這些問題筆者進(jìn)行了深入思考,并執(zhí)教了研究課,試圖來解答上面的問題.

1 教材編者的設(shè)計意圖

這節(jié)課有上的必要嗎? 有必要浪費(fèi)寶貴的45 分鐘嗎?有些教師之所以產(chǎn)生這個疑問,很大原因是大邊對大角、大角對大邊這一知識在考試中基本不考,在以后的幾何學(xué)習(xí)和證明中幾乎用不到這兩個定理,簡單來說不考且無用,所以很多教師對待這種實驗探究課的態(tài)度就是沒必要上,浪費(fèi)時間和精力.其實,回答有沒有上實驗探究課的必要性問題,我們應(yīng)該從教育的根本目的去思考.“培養(yǎng)什么樣的人、如何培養(yǎng)人以及為誰培養(yǎng)人”的問題,是習(xí)近平總書記反復(fù)強(qiáng)調(diào)也是需要我們教育工作者思考的首要問題.我們培養(yǎng)的人不應(yīng)該是僅僅會考試的人,也不應(yīng)該僅僅是有知識的人,我們應(yīng)該培養(yǎng)的是會學(xué)習(xí)、會思考、會探究、會創(chuàng)新、會實踐的社會主義建設(shè)者和接班人.

《中共中央國務(wù)院關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》明確指出: 樹立科學(xué)的教育質(zhì)量觀,著力在堅定理想信念、厚植愛國主義情懷、加強(qiáng)品德修養(yǎng)、增長知識見識、培養(yǎng)奮斗精神、增強(qiáng)綜合素質(zhì)上下功夫.為了全面貫徹黨的教育方針,人教版教材在編寫的時候,特別注重了從內(nèi)容方面呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思維規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生積極探索、使他們經(jīng)歷“觀察、實驗、比較、歸納、猜想、推理、反思”等理性思維活動的基本過程,優(yōu)化思維品質(zhì),提高數(shù)學(xué)思維能力,培養(yǎng)創(chuàng)新精神與實踐能力.“三角形中邊與角的不等關(guān)系”這部分內(nèi)容特別適合學(xué)生探究.學(xué)生在探究的過程中,其猜想的多樣性、驗證的豐富性、抽象的典型性、證明的嚴(yán)謹(jǐn)性,體現(xiàn)得一覽無余.教材把這節(jié)實驗與探究課放在軸對稱一章,更是為了通過學(xué)生的探究,讓學(xué)生體會軸對稱能夠讓圖形改變位置但不改變數(shù)量關(guān)系,解決我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活中的實際問題,這也是教材編者設(shè)計這節(jié)課的根本目的所在.由我們對“三角形中邊與角之間的不等關(guān)系”這節(jié)課的設(shè)計意圖可見,實驗與探究課必須要開設(shè)并且要上好、讓學(xué)生深刻體會軸對稱的這一特性(探究思維的美妙之處),從而增長知識見識、積累活動經(jīng)驗、增強(qiáng)探究意識、增強(qiáng)綜合素質(zhì).

2 重點(diǎn)難點(diǎn)的確定

部分教師在確定這節(jié)課的重點(diǎn)時,往往認(rèn)為教學(xué)重點(diǎn)是大邊對大角和大角對大邊及其應(yīng)用.筆者以為不然.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)明確指出,“綜合與實踐”是積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的重要載體.在經(jīng)歷具體的“綜合與實踐”問題的過程中,引導(dǎo)學(xué)生體驗如何發(fā)現(xiàn)問題,如何選擇適合自己完成的問題,如何把實際問題變成數(shù)學(xué)問題,如何設(shè)計解決問題的方案,如何選擇合作的伙伴,如何有效地呈現(xiàn)實踐的成果,讓別人體會自己成果的價值.通過這樣的教學(xué)活動,學(xué)生會逐步積累運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的經(jīng)驗.通過對《標(biāo)準(zhǔn)》的解讀和編者設(shè)計意圖的分析,筆者以為實驗與探究課屬于教材的拓展內(nèi)容,它不同于常規(guī)的教學(xué)內(nèi)容,常規(guī)的數(shù)學(xué)課重點(diǎn)是某一個或多個數(shù)學(xué)知識(定義、定理、公式、法則及其應(yīng)用等)及思想方法的滲透.而實驗探究課的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該淡化數(shù)學(xué)知識本身,強(qiáng)化探究的過程,在探究活動過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想和方法,體驗發(fā)現(xiàn)科學(xué)規(guī)律的一個完整過程,即在實驗(或?qū)嵺`)中產(chǎn)生猜想(規(guī)律)——驗證猜想的正確性——證明猜想的正確性——產(chǎn)生定理和公式(科學(xué)事實)——實際應(yīng)用.學(xué)會如何選擇合作的伙伴,學(xué)會如何讓別人體會自己成果的價值,產(chǎn)生積極地情感體驗.因此,筆者確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為在探究大邊對大角的過程中積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗、體驗科學(xué)發(fā)現(xiàn)的完整過程,加深對軸對稱的理解.當(dāng)然一節(jié)課可能達(dá)不到這些教學(xué)目標(biāo),但是在這類課中,如果我們一直沿襲這一思路,學(xué)生慢慢也就達(dá)到了這一目標(biāo),從而培養(yǎng)了學(xué)生的核心素養(yǎng),提升了學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解.

在實際教學(xué)中,部分教師能非常好地注重了數(shù)學(xué)的抽象,通過動手為動腦提供思路,卻往往忽視了在證明時的嚴(yán)謹(jǐn)表述,甚至都沒有用到大邊這一條件,就完成證明,在證明中還是存在依據(jù)直觀感知缺乏理性思考的情況.在大邊對大角的證明環(huán)節(jié),往往就存在這一現(xiàn)象,因此我注重了教學(xué)中的追問,不斷引起學(xué)生的反思.同時,在研究本節(jié)課時,筆者把本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確定為理解從折疊到證明的數(shù)學(xué)抽象和培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

3 課堂實施與反思

根據(jù)對教材編者設(shè)計意圖的分析和教學(xué)重難點(diǎn)的確定,筆者設(shè)計并執(zhí)教了研究課,下面是這節(jié)課的教學(xué)實錄和反思.

3.1 以舊引新 動畫中產(chǎn)生猜想

師: 同學(xué)們,前面我們學(xué)習(xí)了等腰三角形,哪位同學(xué)來說一下等腰三角形有哪些性質(zhì)呢?

生1: 等邊對等角、三線合一、等腰三角形是個軸對稱圖形.

師: 非常好! 這位同學(xué)回答的非常完整,那么我們是怎樣發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)的呢?

生2: 老師,我們通過動手折紙發(fā)現(xiàn)能夠重合,想到了全等,從而得出了等邊對等角等.

師: 很好! 其實,科學(xué)家們常常也是在動手實踐的過程發(fā)現(xiàn)了科學(xué)的規(guī)律,動手實踐常常能夠給我們提供發(fā)現(xiàn)的機(jī)會和證明問題的思路,我們來看一下動畫展示.(教師邊說邊用幾何畫板展示等腰三角形的折疊,讓學(xué)生重溫等邊對等角發(fā)現(xiàn)的過程.)

師: 我們知道等腰三角形是特殊的三角形,我們研究問題的思路常常是從特殊到一般,以便能把我們發(fā)現(xiàn)的公式、定理應(yīng)用到更一般的生活中.那么,如果老師改變一下等腰三角形的頂點(diǎn),它還有兩個角相等的性質(zhì)嗎? 你產(chǎn)生了什么猜想? (老師動畫展示,如圖1,改變等腰三角形的頂點(diǎn),并不斷拖動等腰三角形的頂點(diǎn).)

圖1

生3: 老師,我發(fā)現(xiàn)邊不相等時,這兩個角不相等了.

師: 很好,在一個三角形中,邊不相等,所對的角也不相等.(板書: 在一個三角形中,邊不等,則所對的角也不等)

生4: 我發(fā)現(xiàn)邊越來越大,角也越來越大.

師: 嗯,在一個三角形中角隨著邊的變化而變化,很好,這個同學(xué)發(fā)現(xiàn)了兩個變量之間的關(guān)系.(板書: 邊越大,角越大)

生5: 老師,我發(fā)現(xiàn)長的那條邊對的角大.

師: 類比等邊對等角,你認(rèn)為應(yīng)該怎么說?

生5: 大邊對大角.(師板書: 大邊對大角)

生6: 老師,我發(fā)現(xiàn)大角對大邊.(師板書)

師: 非常好! 同學(xué)們,還有什么猜想嗎?

(一個學(xué)生猶猶豫豫的站了起來!)

生7: 老師,這個三角形中,一條邊是另一條邊的兩倍,它所對的角是不是另一條邊所對角的兩倍呢?

師: 這個問題我不能回答你,老師要告訴你的是,你的猜想非常好,很獨(dú)特,老師希望你自己去驗證你的猜想,即使不對,可能又會產(chǎn)生新的猜想,每一個科學(xué)發(fā)現(xiàn)都源于獨(dú)特的猜想.(師板書: 邊2 倍則角2 倍)

師: 同學(xué)們,剛才大家的猜想都非常好,如果給大家更多的時間,可能會產(chǎn)生更多的猜想,但是因為時間關(guān)系和知識基礎(chǔ)等問題,我們今天重點(diǎn)來探究大邊對大角這一猜想吧!

反思在課后研討時,有教師產(chǎn)生了疑問,為什么不直接類比等邊對等角得出猜想,為什么發(fā)現(xiàn)猜想要用這么長的時間? 在本節(jié)課的設(shè)計中,若采用類比直接引入,而不是動畫展示,確實能節(jié)省不少時間.但筆者以為: 發(fā)現(xiàn)一個問題永遠(yuǎn)比解決一個問題更重要.在這個動畫的過程中,學(xué)生發(fā)現(xiàn)的猜想是一種思維的提升,其實也是后面知識的發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ),比如邊越大角越大,這里面就是一種函數(shù)思想,后面學(xué)習(xí)到了函數(shù)和三角函數(shù)后學(xué)生的感悟會更加透徹,再比如邊兩倍角兩倍的猜想,雖然不對,但是可以為高中學(xué)習(xí)的正弦定理、余弦定理的發(fā)現(xiàn)設(shè)下鋪墊,同時讓學(xué)生感受到邊與角的“親密關(guān)系”.

3.2 動手實驗 驗證中抽象方法

師: 大邊對大角這個猜想是否正確呢? 請同學(xué)們想辦法驗證一下,可以自己畫三角形,也可以利用老師發(fā)的三角形紙片,先獨(dú)立思考3 分鐘,然后小組內(nèi)交流,6 分鐘后每個小組選派代表上臺展示自己的驗證方法.

學(xué)生先獨(dú)立思考,然后小組合作,教師巡視各組的情況,發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的創(chuàng)新點(diǎn).8 分鐘后.

師: 請各組同學(xué)選派代表上臺展示本組的成果.

組1: 我們小組采用了測量的方法,首先畫了一個不等邊三角形,量的三邊長分別是5 厘米、8 厘米、10 厘米,我們又測量了三個角,最長邊所對的角是97.90°,最短邊所對的角是29.70o,第三個角是52.40o,我們可以看出最大的邊對最大的角,最小的邊對最小的角.我們組一共畫了5 個三角形,測量后發(fā)現(xiàn)猜想是對的.

師: 非常好! 在我們?nèi)粘５膶W(xué)習(xí)和生活中,測量是一種非常常用的方法.

組2: 我們小組既用了測量法,又用了折疊的方法.我們是這樣折的(如圖2).讓這兩個角的頂點(diǎn)重合,一條邊也重合,我們可以看到小邊對的角落在了大邊所對角的內(nèi)部.(一個學(xué)生拿著三角形紙片,另一名學(xué)生邊折疊邊解說)

圖2

師(追問): 你們是怎么想到折疊的呢? 這條折痕其實是一條什么線? 這種比較兩個角大小的方法我們叫什么方法呢?

組2: 老師,等腰三角形兩底角相等,我們是通過折疊驗證的,所以我們想著類比等腰的方法,這條折痕應(yīng)該是BC邊的中垂線,這種比較角大小的方法叫疊合法.

師(繼續(xù)追問): 折疊其實是我們學(xué)過的那個數(shù)學(xué)知識,折疊的目的是什么呢?

組2: 折疊其實就是軸對稱,雖然不等邊三角形不是軸對稱圖形,可是我們通過折疊把兩個角放在了一起,并且沒有改變它們的大小,這樣方便我們比較兩個角的大小.

師: 這位同學(xué)說的非常好,我們要想用疊合法比較兩角的大小,需要將兩個角放在一起,如何才能在不改變數(shù)量的情況下,改變角的位置呢? 軸對稱無疑是一種非常好的方法,這也是軸對稱的神奇之處,改變位置但不改變數(shù)量,為我們解決了不少生活中的小難題噢!

反思本來學(xué)生說的已經(jīng)非常清楚了,為什么教師一直在追問呢? 數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生知道是什么,怎么做,更重要的是為什么? 為什么這樣做? 它的數(shù)學(xué)原理是什么? 我是怎么想到的? 突破它的關(guān)鍵在哪里? 驗證大邊對大角,想到折疊很容易,難在怎么折疊,為什么這樣折疊? 疊合法的要素就是頂點(diǎn)重合、角的一條邊重合,那么要實現(xiàn)這兩個條件,必然要沿這兩個角的頂點(diǎn)連線的中垂線折疊.此處,通過追問就是要讓學(xué)生們不斷反思,不斷抓住問題的關(guān)鍵所在.

組3: 我們組也是采用了折疊的方法,但是和2 組的不太一樣(如圖3).我們是沿著頂角的角平分線折疊的,大家看,我把這個短邊折過來,讓它落在這條長邊上,我們會發(fā)現(xiàn)正好形成了三角形的外角,我們知道三角形的外角大于任意一個不相鄰的內(nèi)角,所以就說明了大邊對大角.

圖3

師: ∠A叫頂角嗎?

組3(急忙): 不是,老師,我是口誤.

師: 你們組是怎么想到的沿∠A的角平分線折疊的呢?老師怎么沒想到呢?

組3: 因為等腰三角形就是沿角平分線折疊的啊,另外,沿角平分線折疊,有角相等,還有公共邊,特別容易造全等.

(這時,一生猶豫的舉起手來)

師(笑著說): 剛才3 組說的非常好,看來沿角平分線翻折好處多啊! 那位同學(xué)你有什么補(bǔ)充.

生8: 我認(rèn)為這樣最大的好處就是把∠C變成了∠B的外角了,因為外角是一邊和另一邊的反向延長線組成的,所以應(yīng)該通過折疊讓∠C落在∠B的一條邊上.

師: 這個同學(xué)補(bǔ)充的非常好,闡明了外角的特征,好,我們繼續(xù),下一個組.

組4: 老師我們也用了測量和折疊的方法,折疊的方法和他們都不一樣.我們是沿高線折疊的,如圖4,大家看,我們這樣折疊∠C也變成了∠B所在三角形的外角了.

圖4

師(追問): 非常好! 那么,你們是怎么想到沿著高線折疊的呢?

組4: 等腰三角形也是沿著底邊上的高線折疊的啊?

師: 剛才幾個小組都想到了類比等腰三角形探究的方法,非常好! 類比是一種重要的數(shù)學(xué)方法.等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線、底邊上的中線三線合一,而我們也采用了沿三角形的角平分線、高線、一邊的中垂線進(jìn)行折疊的方法,這就是類比.

師(繼續(xù)追問): 我想問問同學(xué)們,為什么是沿著中垂線折疊,而不是沿著中線折疊呢?

(教師追問后,學(xué)生沉默了,馬上就有學(xué)生開始動手實驗,3 分鐘后)

生(亂哄哄地回答): 老師,不行,這樣找不到角的關(guān)系(如圖5).

圖5

師: 我們發(fā)現(xiàn)沿中線折疊不容易找到角之間的關(guān)系,那么還有其他方法嗎?

學(xué)生再次陷入沉默狀態(tài),2 分鐘后,一個學(xué)生站起來.

生9: 老師,我是這樣折疊的,不是中線,也不是角平分線,好像有點(diǎn)關(guān)系,但又想不明白(如圖6).

圖6

生8(猛拍桌子): 可以啊! 這是我們探究過的飛鏢模型啊! (學(xué)生們恍然大悟,集體鼓起掌來!)

注: 飛鏢模型,如圖7,∠D=∠A+∠B+∠C

圖7

師(追問): 那你是怎么想到這樣折疊的呢?

生9(扭扭捏捏): 老師,我沒有多想,剛才沿中線不行,我就胡亂的折紙玩,發(fā)現(xiàn)好像能行.

師: 同學(xué)們,其實數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)有時在動手中無意發(fā)現(xiàn)的,所以我們要敢于動手、敢于嘗試,既要多動手,又要善觀察,還要多動腦,有些看似無用的東西也許就是一種創(chuàng)新! 數(shù)學(xué)其實挺好玩的!

反思在驗證的環(huán)節(jié),我預(yù)設(shè)到學(xué)生能夠想到測量和沿角平分線折疊這兩種方法,沒想到學(xué)生想到了這么多的折疊方法,特別是折成飛鏢模型,雖然麻煩,確是驚喜! 這也是學(xué)生思維的一種創(chuàng)新,之所以能產(chǎn)生這么多的折疊方法,源于教師沒有急于進(jìn)入下一個環(huán)節(jié),沒有為了完成教學(xué)計劃而趕進(jìn)度,而是讓學(xué)生放開了探究,放開了展示,這也是人教版教材設(shè)計本節(jié)課的目的所在,培養(yǎng)學(xué)生探究的意識、探究的方法、探究的勇氣,體驗探究的過程.誠然,這一環(huán)節(jié)也占用了大量的時間.教師故意說數(shù)學(xué)好玩,也是一種積極地心理暗示.

師: 好,剛才各組展示了本組的方法,那么驗證大邊對大角如果歸納一下一共有哪些方法呢?

生10: 我認(rèn)為大體分為兩種方法,測量法和折疊嗎?

生11: 老師,我認(rèn)為可以分為三種方法,測量法、通過折疊后利用疊合法、通過折疊后利用外角.

師: 非常好! 這兩位同學(xué)歸納的很好! 可以測量、可以疊合、可以利用外角說明.

反思在展示了方法多樣性的時候,教師沒有草草進(jìn)入下一環(huán)節(jié),而是讓學(xué)生歸納方法,進(jìn)行分類比較,有意思的培養(yǎng)了學(xué)生反思?xì)w納的習(xí)慣,在這一過程中,實現(xiàn)了由發(fā)散到聚合的過程.

3.3 邏輯推理 證明中思維嚴(yán)謹(jǐn)

師: 剛才,我們驗證了大邊對大角,但是我們知道實驗是存在誤差和一定的局限性,要想說明一個命題正確,我們還需要進(jìn)行推理論證.下面請同學(xué)們在練習(xí)本上畫出圖形,并加以證明.5 分鐘后,小組展示.

組5: 已知: 如圖8,在ΔABC中,AB ＞AC,求證:∠C ＞∠B..

圖8

證明: 作BC邊的中垂線交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,連接EC,因為DE為BC邊的中垂線,所以BE=CE,所以∠B=∠BCE,因為∠BCE ＜∠ACB,所以∠ACB ＞∠B.

師(追問): 我們知道在幾何證明中,難點(diǎn)就是添加輔助線,那么你們組是怎么想到這條輔助線的呢?

組5: 老師,我們剛才就是這樣折疊的,折痕就是中垂線,折疊就是為了“倒角”.

師(繼續(xù)追問): 很好! 這說明了動手為動腦提高了思路,所以同學(xué)們平時要養(yǎng)成多動手的習(xí)慣.老師還有一個問題,已知條件里面的AB ＞AC,好像沒有用到呢? 這個條件沒用嗎?

學(xué)生集體陷入了沉思中……

生12: 老師,這個條件是有用的,因為AB ＞AC,所以才能保證中垂線交到AB邊上,而不是BC上,這樣也就保證了折疊過來的這個角在大角的內(nèi)部.

學(xué)生們恍然大悟!

師(繼續(xù)追問): 可證明過程中沒有體現(xiàn)啊! 那么應(yīng)該怎么寫證明過程呢? 再者,為什么中垂線交到AB邊上,根據(jù)的是什么定理呢?

生12: 老師,我感覺就是啊! 不過這樣證明好像是有點(diǎn)問題,不是太嚴(yán)謹(jǐn)!

反思數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué),在這個證明過程中,我們感覺是沒有問題的,但是我們臨時找不到數(shù)學(xué)根據(jù),如果教師不追問,學(xué)生可能也不會發(fā)現(xiàn)問題,但是不利于學(xué)生養(yǎng)成言必有據(jù)的數(shù)學(xué)邏輯習(xí)慣,不利于學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng).

師: 同學(xué)們,在我們的學(xué)習(xí)遇到困難是正常的,你們知道嗎? 有些大數(shù)學(xué)家提出猜想后,經(jīng)過上百年后人才證明出來,有些至今也沒有證明出來,所以我們在學(xué)習(xí)中不可能解決所有的猜想,也有可能不能證明我們的猜想,重要是我們要善于觀察、勇于探究、敢于猜想、常于動手、善于思考! 這種方法不是太嚴(yán)謹(jǐn)噢! (教師用俏皮的樣子說道)

組6: 如圖9,在AB邊上截取AE=AC,作∠BAC的角平分線AD.

圖9

因 為AD是∠BAC的角平分線,所以∠CAD=∠EAD,又 因 為AD=AD,AE=AC,所以ΔACD∽=ΔAED,所 以∠C=∠AED,因為∠AED ＞∠B,所以∠C ＞∠B.

師(追問): 你們小組是怎么想到這樣加輔助線的呢?

組6: 因為我們剛才就是這樣折疊的,另外,角平分線特別容易造全等三角形.

師: 好! 動手為動腦提高了思路和方法!

(下課鈴響了! 還有兩個小組沒有展示.)

生13: 老師,我們還有其他方法,我們來說吧!

師: 同學(xué)們,今天大家表現(xiàn)的非常精彩! 探究的非常充分! 方法也非常的多樣! 沒有展示的小組可以課下錄制微視頻放在班級群里展示.作業(yè)是有興趣的同學(xué)可以思考還有其他方法嗎? 其他猜想是正確的嗎? 能證明嗎? 好了,下課!

4 教學(xué)特色和問題

4.1 課堂探究充分多樣

在課堂實施的過程中,教師總是不急不躁、不慌不忙,探究非常充分.在猜想環(huán)節(jié),一般直接類比等邊對等角得出大邊對大角的猜想,而本節(jié)課教師沒有直接提出類比,而是設(shè)計動畫展示,使得學(xué)生猜想豐富,比如邊不等則角不等、邊變大則角變大、大邊對大角、邊兩倍則角兩倍等,在此處教師滲透了函數(shù)的思想,展示了邊與角的“親密關(guān)系”,為以后要學(xué)習(xí)的函數(shù)、三角函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)設(shè)計一個鋪墊,同時猜想中也有錯誤的猜想,讓學(xué)生意識到猜想不一定正確,發(fā)現(xiàn)一個科學(xué)規(guī)律不是那么容易的,但是我們要善觀察、善猜想、會驗證、會證明.在驗證環(huán)節(jié),一般只會展示測量和沿角平分線折疊的情況,而在本堂課中,學(xué)生不僅出現(xiàn)了測量,還出現(xiàn)了沿邊的中垂線測量、沿角的平分線折疊、沿高線折疊、沿中線折疊、沿過頂點(diǎn)的任意一條線折疊等多種方法.在證明的過程中,也出現(xiàn)了多種證明的方法,雖然學(xué)生沒有能夠全部展示,但是通過課后學(xué)生錄制的微視頻,我們還看到有的學(xué)生用的高線和外角證明、有的學(xué)生用的飛鏢型證明.

4.2 追問點(diǎn)評及時到位

在本節(jié)課中,教師不是學(xué)生說完就表揚(yáng),而是在肯定學(xué)生成果的同時,不斷追問學(xué)生.你是怎么想到這樣折疊的? 為什么會想到折疊? 這樣折疊有什么好處? 為什么AB ＞AC這個條件沒有用上等? 通過教師及時到位的追問點(diǎn)評,既肯定了學(xué)生的成果,又引發(fā)了學(xué)生的深入思考,通過學(xué)生的深入思考,抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì),比如類比的方法、歸納的方法、軸對稱的特性改變位置不改變數(shù)量關(guān)系、動手為動腦提供思路、折疊為輔助線的添加提供幫助等等.在這種追問下,學(xué)生慢慢就會思維嚴(yán)謹(jǐn),學(xué)會反思,慢慢養(yǎng)成“是什么? 為什么?怎么做? 為什么這樣做? ”的思維習(xí)慣.

4.3 構(gòu)造轉(zhuǎn)化思想欠缺

在本節(jié)課驗證和證明的過程,學(xué)生的思路基本都在軸對稱知識的應(yīng)用上,為什么學(xué)生想不到轉(zhuǎn)化為等腰三角形呢? 既然我們等腰三角形有等邊對等角,那么轉(zhuǎn)化角的方式不應(yīng)該是只有軸對稱這一知識,還可以通過截長補(bǔ)短的方式,讓不等邊三角形轉(zhuǎn)化為等腰三角形,如圖10,在AB上截取AD=AC,則∠ACD=∠ADC,因為∠ACD ＞∠B,∠ACB ＞∠ADC,所以∠ACB ＞∠B通過構(gòu)造等腰三角形的方法,讓學(xué)生再次體會從特殊到一般、從一般到特殊的過程,滲透轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想.

圖10

5 教學(xué)啟示

5.1 實驗探究課是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑

在本課例中,學(xué)生通過觀察得到多種猜想,培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和猜想能力;通過動手實驗驗證猜想,培養(yǎng)學(xué)生的動手能力,并為演繹推理提供思路;通過演繹推理證明猜想,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力;通過質(zhì)疑批判使思維縝密,能多角度、辯證地分析問題,有效地培養(yǎng)了學(xué)生的核心素養(yǎng).由此可見,實驗探究課有利于發(fā)展學(xué)生的理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究、學(xué)會學(xué)習(xí)、勤于反思、問題解決等核心素養(yǎng),承載著培養(yǎng)中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的重要作用,是人教版教材的重要組成部分.因此,在教學(xué)中,要高度重視實驗探究課的教學(xué).

5.2 實驗探究課是開放型、探究型、充滿未知的課堂

在日常教學(xué)中,因為時間緊任務(wù)重,往往教師會關(guān)注每節(jié)課的知識是否傳授完整.而實驗探究課的教學(xué)不應(yīng)以傳授知識為最終目的,應(yīng)該是通過探究的學(xué)習(xí)過程來發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),因此實驗探究課不應(yīng)過分注重課堂的完整性,應(yīng)注重探究的充分性,從而培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神.雖然本節(jié)課的結(jié)束有點(diǎn)匆忙,兩個小組未能展示方法,最后沒有小結(jié)的環(huán)節(jié),另外轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想滲透不明顯,學(xué)生沒有想到構(gòu)造等腰三角形等問題,讓這節(jié)課成為一節(jié)不完整、不完善、不完美的數(shù)學(xué)探究課.但是,這也恰恰是實驗探究課的特點(diǎn),那就是開放的、探究的,學(xué)生的想法往往超出了教師的預(yù)設(shè).

5.3 精心預(yù)設(shè)、充分探究、及時追問是上好實驗探究課的關(guān)鍵

在教學(xué)中,教師要精心鉆研《標(biāo)準(zhǔn)》教材、深刻理解教材編者的意圖,精心預(yù)設(shè)教學(xué)過程,對于課堂中可能出現(xiàn)的情況做好n種假設(shè),培養(yǎng)學(xué)生善觀察、善類比、善歸納、敢嘗試、敢猜想、敢探索、會驗證、會思考、會質(zhì)疑、會學(xué)習(xí)的能力.同時,教師要敢于放手、善于放手,讓學(xué)生充分探究,只有課堂上學(xué)生充分探究,才能有效培養(yǎng)學(xué)生的探究意識、探究精神和探究能力,發(fā)展學(xué)生的理性思維和質(zhì)疑批判的能力,從而培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神.教師還要善于抓住時機(jī)追問,引起學(xué)生的深度思考,培養(yǎng)學(xué)生樂學(xué)善學(xué)、勤于反思和信息意識等核心素養(yǎng).

總之,新課改下的數(shù)學(xué)教學(xué)不再是為“死的知識”而教,而是為思維而教,為核心素養(yǎng)而教.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要深刻理解教材設(shè)置各板塊的目的,特別是要高度重視實驗探究課的教學(xué),關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和學(xué)會學(xué)習(xí)、實踐創(chuàng)新的能力,為國家真正培養(yǎng)出合格的新時代社會主義接班人!