協(xié)同定位最小二乘凸性分析

田宇洋，顧青濤，張任楠，張曉博，李響，戴海亮，李成

（1.北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京100094；2.中國(guó)人民解放軍75775部隊(duì)，廣東 廣州510000）

0 引言

實(shí)時(shí)高精度位置感知在無(wú)人機(jī)技術(shù)、醫(yī)療服務(wù)、搜索救援、智能圖書館、自動(dòng)駕駛等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。近年來(lái)，作為傳統(tǒng)無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)（Wireless Sensor Networks，WSNs）定位方法的補(bǔ)充，協(xié)同定位受到越來(lái)越多的關(guān)注。所謂的協(xié)同定位是指多用戶節(jié)點(diǎn)之間的協(xié)同，與傳統(tǒng)定位方法相比，該方法增加了用戶節(jié)點(diǎn)之間的幾何測(cè)量與通信。協(xié)同定位算法有很多，基于到達(dá)時(shí)間（Time of Arrival，TOA）的極大似然估計(jì)模型是應(yīng)用最為廣泛的定位模型之一，當(dāng)測(cè)距誤差服從高斯分布時(shí)，極大似然模型與最小二乘估計(jì)模型（Least Square，LS）等價(jià)。為了求得該模型的最優(yōu)解，比較常見(jiàn)的算法為牛頓迭代法或高斯-牛頓迭代法。文獻(xiàn)[5]給出了這兩種算法的收斂性證明，指出收斂性與代價(jià)函數(shù)的凸性緊密相關(guān)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為嚴(yán)格凸時(shí)（Hessian矩陣正定），由牛頓算法解算LS模型為強(qiáng)整體二階收斂。

劃分一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題難易程度的分水嶺在于其代價(jià)函數(shù)是凸或者非凸，而LS定位模型的代價(jià)函數(shù)一般為非凸，因此求解LS定位模型代價(jià)函數(shù)的全局最優(yōu)解是困難的，屬于NP難問(wèn)題，目前已有相關(guān)研究嘗試對(duì)這一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行解決。文獻(xiàn)[7-8]對(duì)單用戶定位場(chǎng)景下的LS模型進(jìn)行了深入分析，提出了代價(jià)函數(shù)滿足全局為凸的條件。LS模型基于最小方差準(zhǔn)則（這一準(zhǔn)則也是其他定位模型的基礎(chǔ)），例如極大似然、加權(quán)最小二乘、遞推最小二乘等。與此同時(shí)，相比遞推最小二乘，卡爾曼濾波（Kalman Filtering，KF）模型相當(dāng)于在兩次迭代之間多了狀態(tài)轉(zhuǎn)移步驟，其核心也是通過(guò)最小化方差求得最優(yōu)估計(jì)。因此，對(duì)LS定位模型的凸性進(jìn)行分析具有一定的代表性，其相關(guān)結(jié)論可以通過(guò)最小方差準(zhǔn)則推廣到其他定位模型。

在協(xié)同場(chǎng)景中，當(dāng)用戶節(jié)點(diǎn)數(shù)量增多時(shí)，函數(shù)的局部極值點(diǎn)增多，使得迭代算法對(duì)初值更加敏感并導(dǎo)致算法不收斂。本文將對(duì)協(xié)同定位LS模型的凸性進(jìn)行分析，以深入解釋這一現(xiàn)象。

1 無(wú)約束最小二乘定位模型

1.1 節(jié)點(diǎn)與鏈路定義

在基于TOA方法的定位場(chǎng)景中，設(shè)用戶節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為，用F={,,…,T}表示其編號(hào)的集合，用戶節(jié)點(diǎn)真實(shí)坐標(biāo)為x∈R，1≤≤，∈N，∈N為定位場(chǎng)景歐幾里得空間維度。錨節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，其編號(hào)的集合為F={,,…,A}，錨節(jié)點(diǎn)真實(shí)坐標(biāo)為s∈R，1≤≤，∈N。設(shè)所有節(jié)點(diǎn)的集合記為F，則F=F?F。在定位場(chǎng)景中，定義任意兩點(diǎn)之間的距離觀測(cè)為一條測(cè)距鏈路，假設(shè)某個(gè)場(chǎng)景中共有條測(cè)距鏈路，記各個(gè)鏈路編號(hào)的集合為={,,…,l}。定位場(chǎng)景中的測(cè)距鏈路可以分為兩類：一類為用戶與錨節(jié)點(diǎn)之間的測(cè)距鏈路（以下簡(jiǎn)記為AT鏈路）；另一類為協(xié)同測(cè)距鏈路（以下簡(jiǎn)記為TT鏈路）。設(shè)所有鏈路距離觀測(cè)值的集合記為D，其中AT鏈路距離觀測(cè)值的集合記為D，TT鏈路距離觀測(cè)值集合記為D，易知D=D?D，D?D=?，并且有|D|=，|D|=，|D|=-。令d是節(jié)點(diǎn)編號(hào)到點(diǎn)的真實(shí)距離，^為兩點(diǎn)之間距離的估計(jì)值，其中,∈F。

1.2 測(cè)距偏差定義

由于信號(hào)在傳播過(guò)程中會(huì)受到觀測(cè)噪聲、多徑效應(yīng)以及非視距（Non-Line of Sight，NLOS）傳播的影響，觀測(cè)值不等于節(jié)點(diǎn)之間的真實(shí)距離，存在測(cè)距偏差。設(shè)偏差向量為=[,,…,ε]∈R，其中ε表示第條鏈路上的測(cè)距偏差。在視距（Line of Sight，LOS）傳播環(huán)境中，測(cè)距偏差完全由觀測(cè)噪聲引起，其通常滿足均值為零、方差為常數(shù)的高斯分布，用表示。在NLOS環(huán)境中，除了噪聲以外還存在一個(gè)正偏差，假設(shè)此正偏差滿足均值和方差都為常數(shù)的高斯分布，用表示?；谝陨霞僭O(shè)，可以對(duì)測(cè)距偏差建模如下：

1.3 最小二乘模型定義

在非協(xié)同定位場(chǎng)景中，假設(shè)有個(gè)用戶節(jié)點(diǎn)，且任意兩個(gè)用戶節(jié)點(diǎn)之間無(wú)測(cè)距和數(shù)據(jù)交互。考慮某一用戶節(jié)點(diǎn)T，其位置的真實(shí)值為x，令^表示T節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的估計(jì)值，則有：

式中‖·‖表示兩點(diǎn)之間的歐幾里得距離。

若測(cè)距鏈路個(gè)數(shù)為，分別記為,,…,l，令與之相對(duì)應(yīng)的距離真實(shí)值與估計(jì)值分別為d和^，且有：

式中：1≤≤,∈N；q是與節(jié)點(diǎn)T相連接的鏈路個(gè)數(shù)。設(shè)距離觀測(cè)值為ρ∈D,1≤≤,∈N，如果考慮偏差的存在，由定義可知，距離觀測(cè)值與真實(shí)距離之間的關(guān)系為：

那么非協(xié)同場(chǎng)景中無(wú)約束LS估計(jì)模型可以表示成如下形式：

式中：q是鏈路端點(diǎn)為T T且滿足＞的TT鏈路個(gè)數(shù)，T∈U，＞，≥2，U為與T之間存在測(cè)距鏈路的用戶節(jié)點(diǎn)的集合，其元素下標(biāo)按由小到大的順序進(jìn)行排列。令T為U中第個(gè)元素，且的值按照式（8）進(jìn)行計(jì)算：

設(shè)ρ∈D,1≤≤,∈N為距離觀測(cè)值，其與真實(shí)距離之間的關(guān)系滿足式（4）。在此基礎(chǔ)上構(gòu)建協(xié)同場(chǎng)景無(wú)約束LS模型為：

在本文中統(tǒng)一稱F和F為L(zhǎng)S定位代價(jià)函數(shù)并且將其記為。

2 模型的非凸性分析

2.1 非協(xié)同定位場(chǎng)景分析

為了便于分析且不失一般性，本文選取=2。由凸分析相關(guān)理論可知，函數(shù)的凸性與其Hessian矩陣密切相關(guān)，并且有如下定理成立：

定理1：函數(shù)為凸的二階條件。假設(shè)的函數(shù)二階可微，定義域dom為凸集且Hessian矩陣存在，則函數(shù)在dom中為凸的充要條件為：對(duì)于?∈dom，其Hessian矩陣為半正定矩陣。

首先求取代價(jià)函數(shù)F的梯度（一階微分）和Hessian矩陣（二階微分），計(jì)算結(jié)果分別如下：

運(yùn)用定理1可以得出以下推論：

引理1：實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù)。

引理2：實(shí)對(duì)稱矩陣是半正定矩陣的充要條件為其所有特征值非負(fù)。

令=0，可以得到特征多項(xiàng)式方程為：

式（13）為一元二次方程，由引理1可知，此方程必存在2個(gè)實(shí)根，即根的判別式≥0恒成立，函數(shù)有2個(gè)非負(fù)實(shí)根的充分必要條件為：

推論2：所有滿足不等式組（14）條件的^的集合為。

推論2是LS代價(jià)函數(shù)為凸的一個(gè)等價(jià)條件。然而，由于不等式組（14）的非線性特征，使得對(duì)該不等式組分析變得比較困難。下面將針對(duì)一類特殊的情況進(jìn)行討論，并且作出簡(jiǎn)要證明。

命題1：存在一個(gè)集合，若該集合中所有估計(jì)值^均滿足^-ρ≥0，則在此集合中最小二乘代價(jià)函數(shù)F為凸，且滿足?。

其中：

對(duì)Q求特征值，令：

化簡(jiǎn)得：

因式分解可求得的2個(gè)根分別為：

命題1實(shí)際上是F局部為凸的一個(gè)充分不必要條件，F的非凸區(qū)間會(huì)隨著ε的增大而減小，且當(dāng)滿足ε＞0的測(cè)距鏈路數(shù)量增多時(shí)，F的非凸性也會(huì)增強(qiáng)。

2.2 協(xié)同定位場(chǎng)景分析

則Hessian矩陣為：

求取的特征值，通過(guò)計(jì)算可以求得其特征多項(xiàng)式為：

可以解得其4個(gè)特征值分別為：

由式（23）可知，當(dāng)^-ρ≥0時(shí)，?0。接下來(lái)做進(jìn)一步地推廣，證明當(dāng)LS代價(jià)函數(shù)中同時(shí)具有兩種測(cè)距鏈路時(shí)，這一性質(zhì)仍然不變。

引理4：相似矩陣具有相同的特征值。

若測(cè)距鏈路位于錨節(jié)點(diǎn)與待定位節(jié)點(diǎn)之間，則Q的元素位于對(duì)角線和與之相鄰的位置上，且元素的個(gè)數(shù)為4，將Q中的4個(gè)元素全部平移至左上角。設(shè)變換后的矩陣為′，易知Q與′為相似矩陣。由引理4可知Q與′具有相同的特征值。設(shè)′=-′，為了求取′的特征值，對(duì)′作如下分塊：

由分塊矩陣行列式定理可知：

若測(cè)距鏈路位于兩個(gè)待定位節(jié)點(diǎn)之間，易知Q中的元素個(gè)數(shù)為16個(gè)，將其中各個(gè)元素全部平移至左上角，將其記為′，設(shè)′=-′。同樣地，對(duì)′進(jìn)行分塊：

由分塊矩陣行列式定理可知：

3 仿真驗(yàn)證

3.1 仿真場(chǎng)景設(shè)定

在二維平面內(nèi)建立笛卡爾坐標(biāo)系，表1給出了非協(xié)同與協(xié)同場(chǎng)景各個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的平面坐標(biāo)。本節(jié)將對(duì)三種偏差環(huán)境進(jìn)行仿真，分別為NLOS環(huán)境、LOS環(huán)境以及測(cè)距偏差為負(fù)的情形。每一個(gè)場(chǎng)景在各種情況下的偏差大小如表2和表3所示。

表1 各錨節(jié)點(diǎn)笛卡爾坐標(biāo) m

表2 非協(xié)同場(chǎng)景測(cè)距偏差 m

表3 協(xié)同場(chǎng)景測(cè)距偏差 m

3.2 凸性驗(yàn)證

首先對(duì)F作全局仿真?？紤]測(cè)距誤差不同的情況下代價(jià)函數(shù)F的凸性，作出其函數(shù)圖像、Hessian矩陣的正定圖像以及選取不同初值的迭代情況，仿真結(jié)果如圖1～圖3所示。

圖1分別顯示了NLOS環(huán)境、LOS環(huán)境以及測(cè)距偏差為負(fù)的環(huán)境下LS代價(jià)函數(shù)圖像。

圖1 非協(xié)同各場(chǎng)景代價(jià)函數(shù)

圖2分別顯示了二維平面中各個(gè)點(diǎn)Hessian矩陣的半正定情況，其中紅色部分表示?0，藍(lán)色部分表示?0，綠色部分表示不定。

圖2 非協(xié)同各場(chǎng)景Hessian矩陣正定圖像

由定理1可知，當(dāng)為半正定時(shí)，函數(shù)為凸。從圖2a）中可以看出，當(dāng)定位環(huán)境為NLOS環(huán)境時(shí)，的半正定區(qū)域不連續(xù)，不定與半負(fù)定面積總和較大，當(dāng)定位環(huán)境為L(zhǎng)OS環(huán)境時(shí)，的半正定區(qū)域連續(xù)，不定與半負(fù)定面積總和較小。由命題2可知，當(dāng)存在正的測(cè)距誤差時(shí)，則代價(jià)函數(shù)F在全局范圍內(nèi)為非凸，因此在上述的兩個(gè)定位環(huán)境中，F在全局范圍內(nèi)均為非凸，如圖1a）和圖1b）所示。當(dāng)測(cè)距誤差為負(fù)且絕對(duì)值較大時(shí)，滿足命題2中代價(jià)函數(shù)F為凸的全局條件，如圖1c）和圖2c）所示，由的半正定性和F函數(shù)圖像可以看出，在全局范圍內(nèi)半正定且F在全局范圍內(nèi)為凸函數(shù)。

為了說(shuō)明初值選取對(duì)迭代結(jié)果的影響，從各個(gè)方向選取不同的初值，用高斯-牛頓迭代法進(jìn)行位置解算。解算結(jié)果如圖3所示，其中虛線構(gòu)成的圓表示測(cè)距半徑為負(fù)，其大小為距離觀測(cè)值的絕對(duì)值。從仿真結(jié)果可知，在NLOS環(huán)境中，LS代價(jià)函數(shù)F為非凸函數(shù)，存在多個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)初始值不同時(shí)迭代算法會(huì)收斂到不同的極小值點(diǎn)；在LOS環(huán)境中測(cè)距偏差較小，LS代價(jià)函數(shù)在全局范圍內(nèi)為非凸，但其極值點(diǎn)個(gè)數(shù)并沒(méi)有增加，在這種情況下迭代算法會(huì)收斂于同一個(gè)位置，說(shuō)明LS模型在LOS場(chǎng)景中適用；在偏差為負(fù)的場(chǎng)景中，迭代結(jié)果與初始位置無(wú)關(guān)，驗(yàn)證了在此情況下F具有全局收斂的特性。

圖3 非協(xié)同各場(chǎng)景仿真迭代結(jié)果

在協(xié)同場(chǎng)景中，選取不同的初值，利用高斯-牛頓迭代算法解算用戶位置，仿真結(jié)果分別如圖4所示。在NLOS定位環(huán)境中，由于存在較大的正測(cè)距誤差，使得F在全局范圍內(nèi)非凸并且導(dǎo)致產(chǎn)生了多個(gè)極值點(diǎn)，因此不同的初始值會(huì)導(dǎo)致算法迭代收斂到不同的極值點(diǎn)上；在LOS定位環(huán)境中，F在全局范圍內(nèi)為非凸，但正測(cè)距偏差較小，因此仍然可以收斂到相同的極值點(diǎn)上；在測(cè)距偏差為負(fù)的情況下，F在全局范圍內(nèi)為凸，因此無(wú)論初值如何選取，其必然會(huì)收斂到全局最優(yōu)解。此結(jié)果較好地驗(yàn)證了命題2的正確性。

圖4 協(xié)同各場(chǎng)景仿真迭代結(jié)果

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)協(xié)同定位無(wú)約束LS定位模型進(jìn)行了凸性分析。通過(guò)對(duì)代價(jià)函數(shù)的Hessian矩陣的分析，得出了無(wú)約束LS代價(jià)函數(shù)的一個(gè)充分不必要條件，該條件指出，當(dāng)測(cè)距偏差全部為負(fù)時(shí)，無(wú)約束LS定位代價(jià)函數(shù)全局為凸。在此基礎(chǔ)上，分別對(duì)NLOS環(huán)境、LOS環(huán)境以及測(cè)距偏差為負(fù)環(huán)境下的LS代價(jià)函數(shù)凸性進(jìn)行了仿真分析，驗(yàn)證了該命題的正確性。除此以外，本文提出影響最小二乘代價(jià)函數(shù)非凸性的主要因素為正測(cè)距偏差，為后續(xù)研究奠定了理論基礎(chǔ)。