例談“特例法”與“設(shè)元法”的另類應(yīng)用

?甘肅省張家川縣第一高級(jí)中學(xué) 馬啟榮

比較大小是近年高考數(shù)學(xué)中經(jīng)?？疾榈囊活惓Ｒ?guī)題型，側(cè)重考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)在解題中的靈活運(yùn)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力以及邏輯推理能力.基于此，筆者著重歸納整理了含有三個(gè)變量的指數(shù)式連等(或者對(duì)數(shù)式連等)的大小比較問題，旨在幫助學(xué)生靈活運(yùn)用“特例法”與“設(shè)元法”迅速分析、解決此類問題，進(jìn)而提高解題能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 三個(gè)“指數(shù)式連等”的大小比較問題

一般地，分析、解決含有三個(gè)變量且涉及三個(gè)指數(shù)式連等的大小比較問題時(shí)，常用的解題方法有兩種：一是先假定其中的某一個(gè)變量的取值為常數(shù)，再根據(jù)這個(gè)變量的取值分析其他兩個(gè)變量的取值情況，以便靈活運(yùn)用相關(guān)指數(shù)運(yùn)算法則或者其他知識(shí)進(jìn)行大小比較，這種方法稱之為“特例法”；二是先對(duì)連等式進(jìn)行換元，即設(shè)連等的指數(shù)式為某一個(gè)參數(shù)，再根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，從而便于靈活運(yùn)用相關(guān)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則或者其他知識(shí)進(jìn)行大小比較，這種方法稱之為“設(shè)元法”.

例1已知x>0,y>0,z>0，如果2x=3y=5z，那么( ).

A.3y<2x<5zB.2x<3y<5z

C.3y<5z<2xD.5z<2x<3y

解析1：假設(shè)z=1，則根據(jù)2x=3y=5可得x=log25,y=log35，所以2x=log225

假設(shè)y=1，則根據(jù)2x=3可得x=log23，所以2x=log29>3y.

綜上所述，3y<2x<5z.故選答案：A.

故選答案：A.

2 三個(gè)“對(duì)數(shù)式連等”的大小比較問題

一般地，處理含有三個(gè)變量且涉及三個(gè)對(duì)數(shù)式連等的大小比較問題時(shí)，常用的解題方法有兩種：一是先假定某變量的取值為一個(gè)常數(shù)，再根據(jù)該變量的取值分析其他兩個(gè)變量的取值情況，以便靈活運(yùn)用相關(guān)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則或者其他知識(shí)進(jìn)行大小比較，這種方法稱之為“特例法”；二是先對(duì)連等式進(jìn)行換元，即設(shè)連等的對(duì)數(shù)式為某一個(gè)參數(shù)，再根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，從而便于靈活運(yùn)用相關(guān)冪函數(shù)的單調(diào)性或其他知識(shí)進(jìn)行大小比較，這種方法稱之為“設(shè)元法”.

所以應(yīng)選：B.

溫馨提醒，冪函數(shù)y=xα在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性可分為以下三種情況：①當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞增；②當(dāng)α=0時(shí)，冪函數(shù)y=xα(為常數(shù)函數(shù))在(0,+∞)上不具有單調(diào)性；③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

牛刀小試：(多選題)(2021屆江蘇省揚(yáng)州市高三上學(xué)期期中考試)已知正數(shù)x,y,z滿足3x=4y=6z，則下列說法中正確的是( ).

解法1：假設(shè)z=1，則根據(jù)3x=4y=6可得x=log36,y=log46，則x>1,y>1.

綜上所述，應(yīng)選擇：ACD.

解法2：設(shè)3x=4y=6z=k，則k>1，且x=log3k,y=log4k,z=log6k.

因?yàn)閤+y=log3k+log4k

=log6k·log36+log6k·log46

=log6k·(log36+log46)

綜上所述，應(yīng)選擇：ACD.

綜上，通過上述歸類舉例解析以及牛刀小試可知，分析、解決涉及三個(gè)指數(shù)式連等(或者三個(gè)對(duì)數(shù)式連等)的大小比較問題，常用解題方法有“特例法”和“設(shè)元法”.對(duì)比即知，利用“特例法”解題往往比較簡單，便于迅速獲解；而運(yùn)用“設(shè)元法”解題需要具有較強(qiáng)的對(duì)式子進(jìn)行化簡、變形的能力，同時(shí)需要對(duì)相關(guān)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性具有較強(qiáng)的運(yùn)用能力.總之，希望通過學(xué)中“悟”，以達(dá)成在“悟”中不斷提升解題能力. 誠如此，那么有關(guān)涉及指數(shù)式連等、對(duì)數(shù)式連等的大小比較問題，我們真的可以說：Soeasy！