利用習(xí)題改編提升解題能力

?重慶市江津中學(xué)校 周雪敏

部分教師無論是復(fù)習(xí)、單元測試還是模擬考試都習(xí)慣于搬用陳題來考核評價(jià)學(xué)生，這樣容易使學(xué)生陷入題海，又因題海并不切合學(xué)情，這樣不僅苦了學(xué)生又沒有達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)，事與愿違，可見，照搬陳題不適合提升學(xué)生的解題能力.為實(shí)現(xiàn)有針對性的復(fù)習(xí)和測試，教師可以對習(xí)題進(jìn)行科學(xué)合理地改編，從而通過改編例習(xí)題讓學(xué)生鞏固雙基，通過改編錯(cuò)題讓學(xué)生走出思維誤區(qū)，通過改編進(jìn)行類比讓學(xué)生認(rèn)清問題的本質(zhì)，求同存異.這樣不僅可以避免學(xué)生飽受題海之苦，而且有助于學(xué)生思考問題、分析問題和解決問題能力的提升[1].

1 習(xí)題改編的原則

1.1 基礎(chǔ)性

教師在改編習(xí)題時(shí)切勿追求難、追求新，要重視鉆研教材，鉆研例習(xí)題，通過對基礎(chǔ)內(nèi)容的改編來夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能，這是教學(xué)的重中之重[2].

1.2 科學(xué)性

教師在改編習(xí)題時(shí)要做到條理清晰，結(jié)構(gòu)合理，內(nèi)容嚴(yán)謹(jǐn).數(shù)學(xué)語言不能產(chǎn)生歧義，內(nèi)容要符合學(xué)生的認(rèn)知，題目要具有明確的指向性，決不能模棱兩可.習(xí)題只有具備科學(xué)性才會(huì)具有應(yīng)用價(jià)值，不科學(xué)、不客觀的習(xí)題，不僅不能幫助學(xué)生鞏固知識，而且容易讓學(xué)生造成思維混亂，影響學(xué)生的進(jìn)一步發(fā)展.

1.3 目的性

教師在改編題目前應(yīng)制定明確的教學(xué)目標(biāo)，并使題目的內(nèi)容、形式、難度都按照這一目標(biāo)進(jìn)行改編，使題目更具針對性，更有助于學(xué)生的持續(xù)發(fā)展.

1.4 公平性

教師在改編題目時(shí)要尊重個(gè)體差異，根據(jù)本班學(xué)情編寫個(gè)性化的分層題目，為不同認(rèn)知、不同水平的學(xué)生提供公平展示的舞臺(tái)，從而讓每個(gè)學(xué)生都有所提高.

2 習(xí)題改編的常用方法

2.1 陳題改編法

在談?wù)摂?shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力時(shí)避免不了要談及數(shù)學(xué)解題能力，解題能力的培養(yǎng)離不開典型的陳題.若一味地練習(xí)陳題，不僅使學(xué)生陷入題海戰(zhàn)術(shù)，而且會(huì)因?yàn)閷W(xué)生對陳題的思考不夠，也無法發(fā)揮陳題的價(jià)值.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)通過對陳題的改編來繼續(xù)挖掘其價(jià)值，通過深入了解陳題來實(shí)現(xiàn)舉一反三、融會(huì)貫通的目的.

改編：已知函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x-1，求函數(shù)的最小正周期.

改編后，由原來的倍半角公式的推理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，更有利于考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力.

改編2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn=an2+bn+c，則滿足什么條件可使數(shù)列{an}是等差數(shù)列？

例2中推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式后，教師可利用改編1讓學(xué)生用逆向思維來思考等差數(shù)列.為了使問題更具開放性，教師又設(shè)計(jì)了改編2，讓學(xué)生思考等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式成立的充要條件，從而達(dá)到對等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式加深理解、靈活應(yīng)用的目的.教學(xué)中，教師要善于通過小改動(dòng)、小問題來激發(fā)學(xué)生探究的欲望，從而通過思考解決這些小變化來加深對原有知識的理解.

高考題目雖然變化莫測，但每個(gè)題目都有參考依據(jù)，這些依據(jù)的原型就是陳題，陳題對提升學(xué)生解題能力、夯實(shí)學(xué)生“雙基”發(fā)揮著舉足輕重的作用.陳題之所以“陳”是因?yàn)榫哂械湫托裕欢恢崩藐愵}不但不能引發(fā)學(xué)生再次對原題的思考，而且容易產(chǎn)生思維定式.因此，教學(xué)中可以通過對陳題的改編讓學(xué)生再一次回顧、反思、總結(jié)原題，這樣不僅鞏固了原題的思路，而且通過改編挖掘了原題的潛在價(jià)值，有利于鍛煉學(xué)生的理解能力、思維能力和創(chuàng)造能力.可見，陳題的改編對學(xué)生能力的培養(yǎng)發(fā)揮著不可估量的作用，教師通過改編讓學(xué)生引起對原題的聯(lián)想，逐漸培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的研究意識，從而培養(yǎng)學(xué)生抓住問題本質(zhì)提升數(shù)學(xué)解題的能力.

2.2 類比猜測法

在新知引入和舊知復(fù)習(xí)的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)構(gòu)相似、方法相似或關(guān)系相似等具有關(guān)聯(lián)的問題進(jìn)行類比，運(yùn)用聯(lián)想、歸納、總結(jié)、猜想等思維活動(dòng)進(jìn)行知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)，從而培養(yǎng)學(xué)生綜合解決問題的能力.為了保障和檢驗(yàn)類比猜測的有效實(shí)施，教師需要編制一些類比題目，讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程從而具備解一題會(huì)一類題的能力，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

例3設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)是拋物線y2=2px上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(兩點(diǎn)不重合且異于頂點(diǎn))，且OA⊥OB(點(diǎn)O為原點(diǎn))，求證y1y2=4p2(為定值).

例3與例4結(jié)構(gòu)相似，通過并列的類比讓學(xué)生將解拋物線問題的思路遷移至解橢圓的問題中，從而總結(jié)出證明此類問題的方法.類比遷移能力的培養(yǎng)也是一種自學(xué)能力的培養(yǎng)，通過引導(dǎo)學(xué)生對相似問題的猜想來激發(fā)學(xué)生探究的熱情，有助于提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

2.3 逆推隱藏法

編寫題目時(shí)，教師應(yīng)首先預(yù)設(shè)所要考查的內(nèi)容，然后從確定的結(jié)論出發(fā)，一步步逆推，從而得出新題.此方法為題目編寫的常用方法，也是有效幫助學(xué)生查缺補(bǔ)漏的好方法.

從本題的編寫過程可以看出，教師從確定的答案出發(fā)，結(jié)合所要考核的知識點(diǎn)，一步一步地逆推，目的明確，考點(diǎn)清晰.該方法常應(yīng)用于日常教學(xué)中，教師從班級的學(xué)情出發(fā)，通過有針對性的題目幫助學(xué)生厘清思維障礙，有利于提升學(xué)生的解題能力.

2.4 延伸推廣法

編制數(shù)學(xué)題目時(shí)，教師可以通過擴(kuò)大已知、延伸結(jié)論等方法對題目進(jìn)行變式，從而讓學(xué)生在解題思路和解題方法的延伸中掌握解決問題的通性和通法，從而引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題的本質(zhì)，提升解題能力.

例5拋物線y2=2px(p>0)上有異于頂點(diǎn)O(0,0)的兩點(diǎn)A,B，若OA⊥OB，求證：直線AB過定點(diǎn)P(2p,0).

改編①讓學(xué)生從特殊中領(lǐng)悟一般規(guī)律，從而掌握解決問題的一般思路；改編②則充分利用了拋物線與橢圓的類比，引發(fā)學(xué)生對同類問題的思考.通過改編拓寬了學(xué)生思維的廣度，讓學(xué)生在解題的過程中不僅鞏固了知識，而且更加關(guān)注數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的總結(jié)和歸納，有助于學(xué)生的發(fā)展.

3 對習(xí)題改編的思考

學(xué)生的認(rèn)知是存在差異的，教學(xué)過程是動(dòng)態(tài)變化的，這就使得在教學(xué)中可能會(huì)涌現(xiàn)出各種問題.如果對這些問題視而不見，按照原來預(yù)定的方法照本宣科，勢必會(huì)限制學(xué)生的發(fā)展.因此，這就要求教師在教學(xué)中要善于利用課堂的各種生成性資源，進(jìn)行有效地引導(dǎo)和創(chuàng)造，從而幫助學(xué)生消除思維誤區(qū)，厘清知識的來龍去脈，幫助學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的知識建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展.

總之，習(xí)題改編是每個(gè)教師都應(yīng)具備的能力.教師必須認(rèn)真鉆研教材、鉆研學(xué)生，從而設(shè)計(jì)出真正符合學(xué)生認(rèn)知，適合學(xué)生發(fā)展的科學(xué)的、合理的題目，進(jìn)而提升學(xué)生的解題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.