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    研題“四部曲”,解題新境界

    2022-02-15 02:22:49江蘇省常州市北郊高級中學(xué)顧海波
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年23期
    關(guān)鍵詞:四部曲公比交匯

    ?江蘇省常州市北郊高級中學(xué) 顧海波

    1 問題呈現(xiàn)

    高考真題(2020年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第11題)設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列,{bn}是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*),則d+q的值是________.

    2 第一部曲:會讀

    等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩種特殊類型的基本數(shù)列,它們有著各自的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等,相互之間既有聯(lián)系又有區(qū)別.在一些綜合應(yīng)用問題中,經(jīng)常會碰到等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的融合與交匯問題,形式多樣,創(chuàng)新新穎,是歷年高考中的熱點(diǎn)與亮點(diǎn)題型之一,倍受關(guān)注.

    此題結(jié)合兩個特殊類型的數(shù)列以創(chuàng)新全新形式呈現(xiàn),利用一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列構(gòu)成的和式數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和來確定公差d與公比q和的值.合理把數(shù)列、數(shù)論等相關(guān)知識加以有機(jī)交匯與融合,以創(chuàng)新新穎的面貌展示在大家面前.

    題目簡單明了,難度適中,巧妙綜合了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等相關(guān)知識,是一道不可多得的數(shù)列創(chuàng)新綜合題,值得好好品味與研究.

    3 第二部曲:會解

    美國數(shù)學(xué)教育家波利亞說過:“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.”在讀懂題意的情況下,會解決問題是基本能力之一,也是數(shù)學(xué)教育與學(xué)習(xí)的主要目的.

    3.1 思維視角一:代數(shù)運(yùn)算

    方法1:代數(shù)運(yùn)算法.

    解析:當(dāng)n=1時,S1=a1+b1=1-1+2-1=1.

    當(dāng)n≥2時,an+bn=Sn-Sn-1=n2-n+2n-1-[(n-1)2-(n-1)+2n-1-1]=2n-1+2n-2.

    所以

    a2+b2=22-1+2×2-2=4,

    a3+b3=23-1+2×3-2=8,

    a4+b4=24-1+2×4-2=14.

    由a2+b2=a1+d+b1q=4,

    a3+b3=a1+2d+b1q2=8,

    a4+b4=a1+3d+b1q3=14,

    可得

    d+b1(q-1)=3,

    d+b1q(q-1)=4,

    d+b1q2(q-1)=6.

    b1(q-1)=3-d,

    b1q(q-1)=4-d,

    b1q2(q-1)=6-d.

    故填答案:4.

    點(diǎn)評:通過n的分類討論以及數(shù)列{an+bn}的前4項(xiàng)的確定,結(jié)合a1+b1=1與相應(yīng)的關(guān)系式進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算,并結(jié)合條件關(guān)系式的轉(zhuǎn)化建立相應(yīng)的方程,從而得以確定d與q的值.其實(shí),在確定an+bn=2n-1+2n-2時,分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的函數(shù)性,可以直接確定an=2n-2,bn=2n-1,進(jìn)而確定公差與公比的值.在解決小題時經(jīng)??梢赃@樣處理,以節(jié)省時間.

    3.2 思維視角二:公式應(yīng)用

    方法2:對比系數(shù)法.

    解析:等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為

    根據(jù)題意知q≠1,則等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和公式為

    所以d+q=2+2=4.

    故填答案:4.

    點(diǎn)評:根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式建立相應(yīng)的關(guān)系式,結(jié)合條件Sn=n2-n+2n-1,通過對比相應(yīng)關(guān)系式中的系數(shù)建立對應(yīng)的方程組,進(jìn)而確定相關(guān)參數(shù)d與q的值.從數(shù)列求和公式入手進(jìn)行對比系數(shù)法處理,從而解決問題.

    3.3 思維視角三:函數(shù)性質(zhì)

    方法3:待定系數(shù)法.

    解析:根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的函數(shù)性質(zhì),可知Sn=An2+Bn+C(qn-1)=n2-n+2n-1.

    所以有A=1,B=-1,C=1,q=2.

    所以d+q=2+2=4.

    故填答案:4.

    點(diǎn)評:根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的函數(shù)性質(zhì),引入?yún)?shù),直接確定對應(yīng)的前n項(xiàng)和公式的表達(dá)式,結(jié)合條件Sn=n2-n+2n-1,通過對比相應(yīng)關(guān)系式中的系數(shù)關(guān)系及待定系數(shù)法的轉(zhuǎn)化,進(jìn)而確定相關(guān)參數(shù)d與q的值.待定系數(shù)法,抓住數(shù)列的函數(shù)性,引入?yún)?shù),巧妙快捷.利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)加以處理,充分體現(xiàn)了新課標(biāo)數(shù)學(xué)高考的“多考思維,少考計算”的命題新理念,意在考查學(xué)生的分析、觀察、歸納、猜想和邏輯推理等能力,充分體現(xiàn)學(xué)生思維能力的差異性,具有很好的選拔性與區(qū)分度.

    4 第三部曲:會變

    將原題從視角、深度、廣度等方面加以思考與推廣,進(jìn)行多方位的認(rèn)識與應(yīng)用,從而充分體會與挖掘原題的訓(xùn)練與應(yīng)用價值.

    探究1:保留題目的背景,改變“兩數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的和式數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和”為“兩數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的積式數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和”,深入拓展應(yīng)用,提升問題難度,得到以下變式問題.

    變式1設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列,{bn}是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn=(2n-4)·2n+4(n∈N*),若b1=1,則d+q的值是________.

    解析:當(dāng)n=1時,S1=a1b1=(2×1-4)×21+4=0.

    當(dāng)n≥2時,anbn=Sn-Sn-1=[(2n-4)·2n+4]-[(2n-6)·2n-1+4]=(n-1)·2n.

    上式也適合n=1的情形,所以

    anbn=(n-1)·2n,n∈N*.

    又anbn=[a1+(n-1)d]·b1qn-1=(b1dn+a1b1-b1d)·qn-1=(2n-2)·2n-1,對比系數(shù)可知

    由b1=1,得d=2,所以d+q=2+2=4.

    故填答案:4.

    點(diǎn)評:同樣的道理,通過n的分類討論來確定數(shù)列{anbn}的通項(xiàng)公式,分別結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來建立與之相應(yīng)的關(guān)系式,通過對比相應(yīng)關(guān)系式中的系數(shù)建立對應(yīng)的方程組,并結(jié)合相關(guān)條件確定參數(shù)d與q的值.

    探究2:保留題目的背景,改變兩個不同數(shù)列之間關(guān)系的給出方式,以通項(xiàng)公式的關(guān)系式為背景來設(shè)置問題,從另一角度加以合理變形,得到以下變式問題.

    結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可知(a1+nd)(a1+nd-2d)=q(a1+nd-d)2對一切n∈N*恒成立.

    整理,可得

    因?yàn)閝為常數(shù),且n∈N*,所以d=0,q=1,可得

    d+q=0+1=1.

    故填答案:1.

    點(diǎn)評:利用等比數(shù)列的定義,結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式得到對應(yīng)的關(guān)系式,將恒成立的關(guān)系式分離參數(shù)q,結(jié)合其為常數(shù)的隱含條件確定對應(yīng)的參數(shù)值,進(jìn)而利用數(shù)論的相關(guān)知識加以分析與推理,并結(jié)合相關(guān)條件確定參數(shù)d與q的值.

    5 第四部曲:會學(xué)

    高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要目的就是讓學(xué)生會解決問題,會學(xué)習(xí),特別是會自主學(xué)習(xí),這才是素質(zhì)教育的核心,也是學(xué)生終身學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).結(jié)合數(shù)列知識的內(nèi)涵,可以得到三個方面的啟示,為學(xué)生學(xué)會自主學(xué)習(xí)指明方向.

    5.1 把握實(shí)質(zhì)

    選擇題或填空題中的數(shù)列小題,一般來說是中檔層次的問題.對此類數(shù)列問題,學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的易錯點(diǎn)是對數(shù)列本身屬性的認(rèn)識不夠清晰,沒有準(zhǔn)確把握數(shù)列中相關(guān)要素之間的變化規(guī)律.在數(shù)列的教學(xué)過程中,教師要教會學(xué)生把握數(shù)列本身的規(guī)律,進(jìn)而確定數(shù)列的通項(xiàng)或求和等相關(guān)問題,合理提升解題能力和數(shù)學(xué)能力,養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    5.2 交匯融合

    在“知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題”是高考數(shù)學(xué)大綱的明確要求與高考數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想之一.作為數(shù)學(xué)的主干知識之一的數(shù)列,更是多知識交匯與綜合的重要載體,是創(chuàng)新應(yīng)用與創(chuàng)新意識的更深層次體現(xiàn),是每年高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)與亮點(diǎn)之一.?dāng)?shù)列的交匯綜合問題,以數(shù)列的相關(guān)知識為背景或串聯(lián)點(diǎn),把相關(guān)的數(shù)學(xué)知識加以合理創(chuàng)新與融合,巧妙通過數(shù)與形、數(shù)與數(shù)等的結(jié)合,溝通數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系,增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識之間的交匯與綜合,提升問題的趣味性與拓展性.

    5.3 創(chuàng)新領(lǐng)航

    數(shù)列問題的創(chuàng)新設(shè)計,把數(shù)列這一代數(shù)概念拓展到更為復(fù)雜與綜合的角度進(jìn)行展示,結(jié)合創(chuàng)新背景、創(chuàng)新知識、創(chuàng)新應(yīng)用等,滲透不同類型的數(shù)列之間、數(shù)列與其他相關(guān)知識之間的聯(lián)系與交匯問題.增強(qiáng)邏輯推理,多閱讀,多推理.“多考思維,少考計算”,在一定程度上可以增強(qiáng)解題的綜合性和趣味性,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,發(fā)展分析能力和解題能力,以及數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用能力和邏輯推理能力等,全面提升數(shù)學(xué)品質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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