巧妙設(shè)置 合理引入
——“立體幾何初步”序言的教學(xué)設(shè)計(jì)

?江蘇省華羅庚中學(xué) 陳 佩

近年來(lái)，序言課(引言課、章首課)受到廣泛的關(guān)注.怎樣上好一章、一單元的序言課，是每一位數(shù)學(xué)教師都會(huì)思考的問(wèn)題.序言課看上去簡(jiǎn)單，有的教材就幾句話，還有的教材沒(méi)有序言，怎么上成一節(jié)課？有的教師把一章的知識(shí)進(jìn)行壓縮，給出全章的知識(shí)概要，實(shí)際上成了復(fù)習(xí)課.有的教師廣泛介紹數(shù)學(xué)歷史、文化，波瀾壯闊，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之前對(duì)本章充滿期待，而后面的真正學(xué)習(xí)卻讓學(xué)生覺(jué)得反差太大.

序言課怎么上，沒(méi)有規(guī)定的模式與程序.下面以蘇教版第二冊(cè)第八章“立體幾何初步”序言課為例對(duì)如何合理巧妙地設(shè)計(jì)教學(xué)進(jìn)行了一些有益的探索，由此引發(fā)我們對(duì)序言課的教學(xué)思考與研究.

1 教學(xué)目標(biāo)

(1) 體會(huì)立體幾何的研究意義，激發(fā)學(xué)習(xí)立體幾何的興趣；

(2) 初步了解立體幾何的研究對(duì)象、研究?jī)?nèi)容和研究目的；

(3) 初步了解立體幾何的研究方法與思維，培養(yǎng)類比思想、空間想象能力和直觀想象能力.

2 教學(xué)重點(diǎn)

(1)立體幾何的研究對(duì)象、研究?jī)?nèi)容和研究目的；

(2)立體幾何的研究意義與實(shí)際應(yīng)用.

3 教學(xué)難點(diǎn)

立體幾何的研究方法與實(shí)際應(yīng)用是教學(xué)難點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)“立體幾何初步”的具體內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，兼顧知識(shí)的結(jié)構(gòu)、知識(shí)的生成、知識(shí)的生長(zhǎng)，數(shù)學(xué)的思想、方法探索的過(guò)程，數(shù)學(xué)的歷史、文化等更多的層面，在不涉及具體的概念定義、具體的數(shù)學(xué)公理、定理、具體的解題方法等前提下，給學(xué)生立體幾何的研究對(duì)象、內(nèi)容、方法和思想的概要.

4 教學(xué)過(guò)程

4.1 立體幾何的研究意義(為什么要學(xué))

趣味引入:(教師拿出3根長(zhǎng)度相同的小棒，也可以直接以3根粉筆為例)用3根長(zhǎng)度、粗細(xì)相同的小棒，可以拼出1個(gè)正三角形，其邊長(zhǎng)就是小棒的長(zhǎng)度(演示).如果現(xiàn)在有6根長(zhǎng)度相同的小棒，那么最多能拼出幾個(gè)以小棒為邊長(zhǎng)的正三角形？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生的思維“沖出平面，走向空間”，使學(xué)生感受到空間圖形在生活中比比皆是，感悟?qū)W習(xí)立體幾何的必要性.

4.2 立體幾何的研究?jī)?nèi)容(學(xué)什么)

問(wèn)題1立體幾何主要研究什么呢？ 這個(gè)問(wèn)題較大，先回顧下列問(wèn)題.

(1)初中平面幾何的研究對(duì)象和內(nèi)容是什么？

點(diǎn)、直線、平面圖形(三角形、四邊形、圓等).

(2)(類比思維)在初中平面幾何的基礎(chǔ)上，立體幾何中有哪些問(wèn)題是你想研究的？

合理展開(kāi)，立體幾何主要研究以下幾個(gè)方面的內(nèi)容：

①空間幾何體是由哪些簡(jiǎn)單的平面圖形組成的？

②如何描述和刻畫(huà)這些簡(jiǎn)單空間幾何體的形狀、大小、位置關(guān)系以及其他相關(guān)的特征？

③構(gòu)成這些幾何體的基本元素之間具有哪些位置關(guān)系？

問(wèn)題2用什么方法可以直觀地將長(zhǎng)方體畫(huà)在紙上？你能自己嘗試著畫(huà)出一個(gè)長(zhǎng)方體嗎？

問(wèn)題3面對(duì)紛繁復(fù)雜的空間立體幾何圖形，我們從哪個(gè)角度切入，從何處著手開(kāi)始研究呢？

我們需要將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抓住各種空間立體幾何圖形的共性，也就是構(gòu)成各種空間立體幾何圖形的最簡(jiǎn)單、最基本和最重要的元素，簡(jiǎn)單稱為基本元素.

(1)以特殊圖形為實(shí)例，比如一個(gè)長(zhǎng)方體的基本元素有哪些？

點(diǎn)沒(méi)有大小，直線沒(méi)有粗細(xì)、無(wú)限延伸，平面沒(méi)有厚薄、無(wú)限延展.

(2)構(gòu)成空間圖形的基本元素有哪些？

問(wèn)題4以長(zhǎng)方體為模型，如何去刻畫(huà)基本元素之間的關(guān)系呢？

這個(gè)問(wèn)題似乎還是有點(diǎn)大.你覺(jué)得哪些基本元素之間的關(guān)系是可以去刻畫(huà)的？從哪里開(kāi)始比較好？

(學(xué)生自主研究，教師巡視指導(dǎo).)

(1)仔細(xì)觀察長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，請(qǐng)舉例說(shuō)明空間中兩條直線存在哪些位置關(guān)系？

(2)你覺(jué)得需要幾個(gè)量才能定量刻畫(huà)空間兩條直線的位置？

(3)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，你覺(jué)得還可以研究哪些基本元素的關(guān)系？如何定量刻畫(huà)它們之間的關(guān)系？

與剛才一樣，可以從定性和定量?jī)蓚€(gè)方面考慮.請(qǐng)畫(huà)一畫(huà)，寫(xiě)一寫(xiě)，和同桌交流、補(bǔ)充.

4.3 立體幾何的研究方法(怎么學(xué))

問(wèn)題5如圖1所示，桌面上放有一個(gè)透明封閉的長(zhǎng)方體玻璃箱，其中該箱的長(zhǎng)AB為30 cm，寬BC為20 cm，高CC1為10 cm，若長(zhǎng)方體表面頂點(diǎn)A處的蜘蛛發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)C1處的小蟲(chóng)，請(qǐng)同學(xué)們?yōu)橹┲脒x擇恰當(dāng)?shù)穆肪€，使蜘蛛最快吃到小蟲(chóng).

圖1

圖2

路徑1：經(jīng)過(guò)棱BB1，沿BB1展開(kāi)(如圖2)；

路徑2：經(jīng)過(guò)棱A1B1，沿A1B1展開(kāi)(如圖3)；

路徑3：經(jīng)過(guò)棱A1D1，沿A1D1展開(kāi)(如圖4).

圖3

圖4

思考:在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中 ，AB=3，AD=2，AA1=1，你可以求出哪些量？怎么求？

問(wèn)題6(1)在一個(gè)平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.若去掉“在一個(gè)平面內(nèi)”，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？可以舉例說(shuō)明嗎？

(2)在平面內(nèi)過(guò)直線外一點(diǎn)P有且僅有一條直線與已知直線平行.若去掉“在平面內(nèi)”這個(gè)結(jié)論還成立嗎？可以舉例說(shuō)明嗎？

數(shù)學(xué)文化的滲透：2 000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在前人對(duì)立體幾何研究成果的基礎(chǔ)上，把少數(shù)不加證明而直接采用的命題作為公設(shè)和公理，然后利用演繹方法把當(dāng)時(shí)所知的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了系統(tǒng)的整理和歸納，創(chuàng)作了《幾何原本》，書(shū)中就有許多立體幾何的相關(guān)知識(shí).他把人們公認(rèn)的一些事實(shí)作為公設(shè)和公理，這種研究思想被稱為公理化思想，然后采用演繹的方法把當(dāng)時(shí)的大量幾何知識(shí)推演出來(lái)，這種研究方法對(duì)后世數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.

設(shè)計(jì)意圖：在短短的一節(jié)課內(nèi)，學(xué)生對(duì)“立體幾何初步”這一章的總體目標(biāo)、大致內(nèi)容、研究的思想方法、數(shù)學(xué)的背景等都有了清晰的了解.特別難得的是，本節(jié)課不是教師講解、告知，而是設(shè)計(jì)6個(gè)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自己去深入思考、自主探究、合作交流.把立體幾何的研究?jī)?nèi)容、研究方法、數(shù)學(xué)思想理得清清楚楚，使學(xué)生對(duì)立體幾何初步的部分內(nèi)容，對(duì)三個(gè)核心問(wèn)題“為什么學(xué)”“學(xué)什么”“怎么學(xué)”有了清晰的理解.

5 回顧小結(jié)

回顧本節(jié)序言課的內(nèi)容，你對(duì)立體幾何有了哪些初步的認(rèn)識(shí)與理解？

“立體幾何初步”大體框架(如圖5)：

圖5

6 課后作業(yè)

(1)“用6根長(zhǎng)度相同的小棒，最多能拼出4個(gè)以小棒為邊的正三角形”，請(qǐng)畫(huà)出對(duì)應(yīng)的立體圖形.

圖6

(2)如圖6所示，已知圓柱的底面半徑為2 cm，高為4 cm，求從下底面上的點(diǎn)A出發(fā)繞圓柱一周到上底面上的點(diǎn)D的最短距離.

(3)請(qǐng)嘗試舉出一些在平面幾何中成立但在立體幾何中不成立的例子，并說(shuō)明差別.

總評(píng)：本節(jié)課的設(shè)計(jì)明線、載體非常清楚，沒(méi)有涉及到任何具體概念、結(jié)論，借助數(shù)學(xué)文化、學(xué)生熟悉的情境以及最典型的空間幾何體(長(zhǎng)方體)、問(wèn)題、游戲等，使本節(jié)課要實(shí)現(xiàn)的暗線貫通始終，包括研究的對(duì)象、研究的內(nèi)容、研究的思想方法等.而整節(jié)課又全是由學(xué)生自主活動(dòng)，包括觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、嘗試、驗(yàn)證、表達(dá)、論證等，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的本質(zhì)、感悟數(shù)學(xué)的思想方法.

通過(guò)這節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生不僅對(duì)立體幾何研究的對(duì)象、內(nèi)容、思想方法有了初步了解，而且學(xué)會(huì)了整體思維，從整體角度思考所要研究的對(duì)象，提出需要解決的問(wèn)題.這也是目前單元教學(xué)、整體教學(xué)所提倡的教學(xué)理念.