基于本征正交分解的動(dòng)邊界環(huán)形縫隙流場診斷分析

李永業(yè)，趙一名，宋曉騰

(太原理工大學(xué) 水利科學(xué)與工程學(xué)院，山西 太原 030024)

1 研究背景

水墊塘、消力池等水工建筑物[1]以及柱塞泵、軸流泵、葉輪等各類水力機(jī)械設(shè)備[2-3]中往往有著縫隙邊界存在，當(dāng)水工建筑物工作或水力機(jī)械運(yùn)行時(shí)這些縫隙中會(huì)形成不同類型的縫隙流動(dòng)。較早的縫隙流動(dòng)研究方法基于水力學(xué)的一元流動(dòng)理論[4]，將空間三維縫隙邊界條件簡化為平面二維流動(dòng)，在有壓且忽略徹體力(質(zhì)量力)條件下引入Navier-Stokes方程與連續(xù)性方程按照層流近似求解，再對層流的求解結(jié)果進(jìn)行一系列修正。修正后的一元流動(dòng)速度分布與縫隙沿流程中部與后部的試驗(yàn)結(jié)果吻合程度較好，但在縫隙前部尤其是入口處的結(jié)果并不吻合[5]。孫啟國等[6]對于同心轉(zhuǎn)子壁面間的環(huán)隙流動(dòng)采用奇異攝動(dòng)法推導(dǎo)了流場的0階以及1階攝動(dòng)方程并進(jìn)行了數(shù)值求解。這些研究都是基于縫隙流場，以流體運(yùn)動(dòng)為研究對象，引入流體運(yùn)動(dòng)方程組進(jìn)行理論推導(dǎo)，并通過邊界條件的對稱性進(jìn)行合理簡化或應(yīng)用偏微分方程(Partial Drfferential Equation，PDE)方法數(shù)值求解。

上述縫隙流動(dòng)的研究方法雖然與試驗(yàn)的部分結(jié)果吻合程度較好，但是由于在物理模型中采用了一元流動(dòng)的層流近似，對縫隙流動(dòng)中存在的不同流層的流體質(zhì)點(diǎn)相互混摻所引起的附加應(yīng)力并不進(jìn)行考量，其參考意義多集中于縫隙流動(dòng)的速度分布估計(jì)以及水力機(jī)械的縫隙滲漏量估計(jì)[7-8]。除此之外，由于一元流動(dòng)的定常性，這種層流近似也不能解釋縫隙流動(dòng)的非定常特性，例如湍流脈動(dòng)所引起的流動(dòng)結(jié)構(gòu)以及流致振動(dòng)特征[9-11]。

由于層流近似的縫隙流動(dòng)研究方法無法研究湍流附加應(yīng)力，后來出現(xiàn)了直接對縫隙流動(dòng)非定常特性進(jìn)行量化的研究方法。其原理是在縫隙流動(dòng)中監(jiān)測不同空間點(diǎn)處的壓強(qiáng)脈動(dòng)，根據(jù)動(dòng)水壓強(qiáng)與湍流附加應(yīng)力的相關(guān)關(guān)系即可定性表示湍流附加應(yīng)力，并且動(dòng)水壓強(qiáng)的脈動(dòng)頻率就是該空間點(diǎn)處流體振動(dòng)的頻率。李愛華等[12-13]對消力池底板縫隙流動(dòng)研究中的兩種模型進(jìn)行了對比分析，認(rèn)為一般縫隙中瞬變流模型較為適用。馬斌等[14-15]對異型構(gòu)造底板縫隙流動(dòng)從縫隙水流脈動(dòng)壓力的角度分析了鍵槽的增設(shè)對增強(qiáng)底板穩(wěn)定性的意義。Laima等[16]對雙箱梁之間的縫隙流場的渦脫落模式進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)縫隙流動(dòng)中的湍流強(qiáng)度較小時(shí)流致振動(dòng)的幅度較大。孫建等[17-18]研究了水墊塘在排水失效和底板塊錨固失效下，底板縫隙的動(dòng)水壓力隨底板縫隙寬度及不同止水破壞程度的變化規(guī)律。但這種監(jiān)測動(dòng)水壓力進(jìn)行縫隙流動(dòng)非定常特性研究的方法一般只能在壁面處布置測點(diǎn)，所得測量結(jié)果并非全流場的結(jié)果，并且無法定量描述湍流附加應(yīng)力。

該研究首次引入了本征正交分解方法對水力機(jī)械內(nèi)具有動(dòng)邊界的環(huán)形縫隙流場進(jìn)行診斷分析[19]，一方面可以對縫隙流動(dòng)遠(yuǎn)離壁面處的湍流脈動(dòng)進(jìn)行監(jiān)測，從而量化流場的湍流附加應(yīng)力；另一方面對本征正交分解的快照矩陣進(jìn)行時(shí)域—頻域變換可得到量化流場流體振動(dòng)特征的功率譜密度函數(shù)，這是研究近壁流動(dòng)非定常特性的較好方法[20-21]。

2 試驗(yàn)方法

2.1 試驗(yàn)系統(tǒng)與測試方法

(1)試驗(yàn)設(shè)置：本試驗(yàn)基于囊體管道水力輸送系統(tǒng)，囊體為圓柱體，其被運(yùn)輸時(shí)受有壓管道來流作用在管道內(nèi)做軸向運(yùn)動(dòng)，因此在囊體側(cè)壁與管道內(nèi)壁之間形成了動(dòng)邊界環(huán)形縫隙流場，如圖1(a)所示為環(huán)形縫隙流場示意圖。輸送管段為內(nèi)徑DP=100 mm 的平直管段(內(nèi)半徑為RP)，囊體的直徑DC分別為60、70、80 mm(半徑為RC)，囊體長度為L=150 mm，為保證囊體運(yùn)動(dòng)時(shí)與管道始終同心，在囊體兩側(cè)各添加 3 個(gè)直徑為 4 mm 的細(xì)長圓柱銷。該試驗(yàn)設(shè)置變量為來流流量與環(huán)隙寬度：共設(shè)置3個(gè)工況流量Q分別為 40、50、60 m3h-1，3 種直徑的囊體所對應(yīng)的環(huán)隙寬度分別為B=20 mm(DC=60 mm)、B=15 mm(DC=70 mm)與B=10 mm(DC=80 mm)。使用囊體長度L將環(huán)形縫隙流場的流向長度L流向無量綱化，并使用環(huán)形縫隙寬度B=RP-RC將環(huán)形縫隙流場展向長度L展向無量綱化。流場沿流向(軸向)的速度為w，沿展向(徑向)的速度為u，沿側(cè)向(周向)的速度為v。在試驗(yàn)條件范圍內(nèi)，以環(huán)形縫隙流場斷面平均速度Va為特征速度，以環(huán)形縫隙流場寬度B為特征長度確定的雷諾數(shù)處于39 000～60 000之間，屬于完全發(fā)展的湍流狀態(tài)。

環(huán)形縫隙流場由于在周向具有旋轉(zhuǎn)對稱的邊界條件，類比地球子午面概念，測試時(shí)選擇以管軸線為軸的一系列通過軸的面作為特征斷面，以下簡稱特征子午面，如圖1(b)所示為流場特征斷面與幾何參數(shù)。環(huán)形縫隙流場沿流程劃分為 3 個(gè)部分，分別是前部、中部、后部。物理試驗(yàn)系統(tǒng)如圖1(c)所示共分為 5 部分，分別為：首部裝置、輸送管段、測試管段、尾部裝置和循環(huán)水箱。其中：首部裝置提供穩(wěn)定的有壓流場、輸送管段用于連接試驗(yàn)系統(tǒng)各部分進(jìn)行供水、測試管段用于流場的測試、尾部裝置用于回收囊體以及水流、循環(huán)水箱用于使系統(tǒng)水流循環(huán)使用。流場測試通過粒子圖像測速儀系統(tǒng)(PIV)進(jìn)行。PIV設(shè)置參數(shù)見表1，其布置如圖1(d)所示。

表1 PIV主要參數(shù)設(shè)置

A.首部裝置：1.動(dòng)力裝置，2.調(diào)流閥，3.投放裝置，4.電磁流量計(jì)；B.輸送管段；C.測試管段：5.高速攝像機(jī)，6.粒子圖像測速儀，7.矩形水套(減少激光反射)；D.尾部裝置：8.接收裝置；E.循環(huán)水箱。

(2)試驗(yàn)流程：試驗(yàn)時(shí)，先將囊體經(jīng)過投放裝置投入到管道系統(tǒng)內(nèi)；關(guān)閉投放裝置使系統(tǒng)密閉、開啟動(dòng)力裝置提供有壓管道流場；調(diào)節(jié)調(diào)流閥將流量調(diào)整至預(yù)定工況；待電磁流量計(jì)讀數(shù)穩(wěn)定后釋放囊體。囊體在有壓管道流場作用下經(jīng)歷一個(gè)短暫加速階段后達(dá)到穩(wěn)定速度運(yùn)動(dòng)階段；在囊體到達(dá)測試管段之前開啟PIV系統(tǒng)的激光與PIV高速相機(jī)，連續(xù)對測試斷面進(jìn)行拍攝得到初始流場數(shù)據(jù)。當(dāng)囊體運(yùn)動(dòng)到尾部裝置后進(jìn)行囊體的回收，結(jié)束一個(gè)試驗(yàn)流程。

(3)結(jié)果與處理：試驗(yàn)結(jié)果分為兩部分，一部分為PIV拍攝的流場數(shù)據(jù)結(jié)果，另一部分為其它儀器所測得結(jié)果。其中，PIV拍攝結(jié)果使用其系統(tǒng)自帶后處理程序進(jìn)行處理：首先將同一工況下的流場初始數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行算術(shù)平均處理獲取流場的背景邊界；其次將該工況所有數(shù)據(jù)樣本減去該背景邊界，保留測試斷面的縫隙流場數(shù)據(jù)；再通過Adaptive PIV進(jìn)行互相關(guān)運(yùn)算(Cross-correlation)；最后將兩個(gè)PIV相機(jī)所拍攝的同一時(shí)刻樣本進(jìn)行耦合處理(Stereo PIV)得到縫隙流場平面三維速度矢量。其它儀器所測得結(jié)果例如流量、囊體運(yùn)動(dòng)速度等通過電磁流量計(jì)、高速攝像機(jī)等儀器自動(dòng)處理后直接提取。

2.2 本征正交分解本文采用本征正交分解方法(簡稱POD)進(jìn)行研究，該方法最早由J.Lumely引入到流場分析領(lǐng)域，用于尋找湍流中的擬序結(jié)構(gòu)，從而開啟了流場模態(tài)分析的先河[22]；后經(jīng)L.Sirvoch改進(jìn)為使用流場“快照”的實(shí)現(xiàn)方式[23]。其分析流程如下所示：

設(shè)空間流場的瞬時(shí)三維速度矢量集為：

(1)

式中：x，y，z，t分別為流場的空間三維坐標(biāo)與時(shí)刻；i為快照序號i=1，2，…，I；V為該快照下的流場速度。

根據(jù)POD降維算法，將流場矢量集合中的所有空間三維流速元素進(jìn)行降維排列，將降維后的流速元素組合為流場速度矩陣V：

(2)

(3)

(4)

其中正交函數(shù)φ滿足：

(5)

此時(shí)問題變?yōu)榍蠼馓卣髦捣匠蹋?/p>

(6)

通過矩陣特征值求解可得到φ和特征值λ，相應(yīng)的Galerkin投影系數(shù)ci為：

(7)

每個(gè)特征值占所有特征值之和的百分率即為該特征值所對應(yīng)的流場模態(tài)含有的湍動(dòng)能相對大?。?/p>

(8)

一般在可以捕捉 99% 流場湍動(dòng)能的前數(shù)階模態(tài)處進(jìn)行截?cái)?，模態(tài)以其所含湍動(dòng)能大小進(jìn)行降序排列，并且假設(shè)截?cái)嗵幍哪B(tài)為第l階模態(tài)，則有前1到l階模態(tài)湍動(dòng)能相對大小之和η99%捕捉流場99%以上的湍動(dòng)能：

(9)

各階模態(tài)的流場結(jié)構(gòu)可以寫作流場速度矩陣形式：

Vl=cl·φl(x，y，z)

(10)

3 平均流場結(jié)果

3.1 流場統(tǒng)計(jì)平均特征

(1)如圖2所示為統(tǒng)計(jì)平均后的特征子午面流場，圖2中的流速矢量定性地表征該空間點(diǎn)處的速度方向，各工況流場樣本數(shù)為500，統(tǒng)計(jì)方式為系綜平均，并且將流場等分為沿流程的三部分從而進(jìn)行分析：前部(0～1/3)、中部(1/3～2/3)與后部(2/3～1)，由于不同流量的流場在特征子午面展現(xiàn)的流動(dòng)特征十分相似，僅有數(shù)值等方面的微小區(qū)別，因此該部分僅給出流量Q=40 m3/h下，不同環(huán)隙寬度時(shí)的流場?？傮w來說，隨著沿流動(dòng)方向的流程增加，垂直于流向同一位置處的速度分布逐漸趨于均勻化，速度幅值有所減?。浑S著環(huán)隙寬度減小，速度幅值明顯上升；并且速度場在特征子午面內(nèi)呈現(xiàn)明顯的分區(qū)趨勢：即在特征子午面前部有一明顯的回流區(qū)，回流區(qū)沿展向向上則是流場內(nèi)速度幅值最大的主流區(qū)。對于特征子午面內(nèi)的回流區(qū)，其類型屬于附著于環(huán)隙內(nèi)邊界迎流端面的附體運(yùn)動(dòng)邊界層，或稱附著面渦。同一流量時(shí)，環(huán)隙寬度B越小，回流區(qū)流向范圍越短，但在展向其范圍始終為0～0.3B。

圖2 特征子午面平均流場

(2)回流區(qū)產(chǎn)生的原因：在作為內(nèi)部邊界的柱體沿流向運(yùn)動(dòng)時(shí)，在子午面內(nèi)柱體迎流端面的沿展向的邊界與柱體側(cè)壁的沿流向的邊界共同構(gòu)成了一個(gè)直角邊界，該直角邊界阻礙水流的流向運(yùn)動(dòng)同時(shí)給予了水流展向的擾動(dòng)，在該直角邊界的頂點(diǎn)(柱體的邊緣點(diǎn))兩側(cè)是流向速度在展向的突然間斷，也是水流展向運(yùn)動(dòng)在流動(dòng)方向受到擾動(dòng)最大的一點(diǎn)；流向運(yùn)動(dòng)的水流在此產(chǎn)生沿徑向向外的展向運(yùn)動(dòng)速度并與其展向上方不受直角邊界直接擾動(dòng)區(qū)域的水流相互作用，水流最終沿著展向與流向之間與流向內(nèi)邊界形成一定夾角的方向運(yùn)動(dòng)，使得在水流運(yùn)動(dòng)方向與流向內(nèi)邊界之間的流體質(zhì)點(diǎn)被挾帶，壓強(qiáng)降低且低于周圍區(qū)域，引來周圍區(qū)域的流體質(zhì)點(diǎn)回流到低壓區(qū)域，于是形成了該回流區(qū)域。

3.2 流場雷諾應(yīng)力特征

(1)對于湍流流場，雷諾應(yīng)力可以作為流場各方向?qū)α鬏斶\(yùn)作用強(qiáng)度的度量。對于空間湍流場，雷諾應(yīng)力可以表示為空間 1 點(diǎn) 3 個(gè)方向速度兩兩之間的二階相關(guān)-ρ·u·v，-ρ·u·w，-ρ·v·w(其中ρ為流體密度；u，v，w為三維流速)，本研究中沿用這一表達(dá)形式并通過計(jì)算壁面切應(yīng)力τwall將其無量綱化，具體流程如下式所示。所得展向平均雷諾應(yīng)力的沿程結(jié)果如圖3所示，根據(jù)PIV設(shè)置展向相鄰兩數(shù)據(jù)點(diǎn)間隔為0.64 mm。以環(huán)隙寬度B為流動(dòng)的特征長度，并以環(huán)隙流場橫斷面平均速度Va為特征速度[7，9]，那么環(huán)隙流動(dòng)的雷諾數(shù)Re與流場的壁面切應(yīng)力τwall可以分別表示為：

圖3 特征子午面沿程雷諾應(yīng)力

Re=ρ·Va·B·μ-1

(11)

(12)

式中：ρ為流體密度；μ為流體的動(dòng)力黏滯系數(shù)；Cf=0.026Re-1/7為壁面切應(yīng)力系數(shù)。則無量綱化的雷諾應(yīng)力可以分別寫作τuv=-ρuv/τwall；τuw=-ρuw/τwall；τvw=-ρvw/τwall。

(2)總體來說，在各工況下環(huán)隙流場的雷諾應(yīng)力呈現(xiàn)出在流場前部迅速增長、在流場中部維持一定幅值并開始有了下降的趨勢、在流場后部，雷諾應(yīng)力主要趨勢為沿程遞減。其中主流沿徑向的平均對流輸運(yùn)強(qiáng)度τuw遠(yuǎn)大于同一工況時(shí)其它兩個(gè)方向的平均對流輸運(yùn)強(qiáng)度τuv、τvw，分別高出了6～14 倍、4～7 倍，由此可知在高雷諾數(shù)的環(huán)形縫隙流場中，主流主要是沿徑向進(jìn)行對流輸運(yùn)，其次是徑向流沿周向的對流輸運(yùn)，主流沿周向的對流輸運(yùn)強(qiáng)度相對較小。對于流量Q=40 m3/h時(shí)，B=15 mm時(shí)的環(huán)隙流場 3 個(gè)方向雷諾應(yīng)力最大值都大于環(huán)隙寬度B=10 mm以及B=20 mm時(shí)的雷諾應(yīng)力最大值；對于流量Q=60 m3/h時(shí)，則是B=20 mm時(shí)的雷諾應(yīng)力較大，B=15 mm與B=10 mm時(shí)的雷諾應(yīng)力相對較小且幅值相近；而對于流量Q=50 m3/h，并無某一環(huán)隙寬度時(shí)的雷諾應(yīng)力始終較大。

(3)雷諾應(yīng)力沿流程呈先增加后降低的變化趨勢的原因：特征子午面內(nèi)流場邊界分別沿徑向與流向給予來流擾動(dòng)，而邊界條件沿周向近似旋轉(zhuǎn)對稱，在周向給予來流的擾動(dòng)較小，導(dǎo)致雷諾應(yīng)力中的周向成分占比較低，這也說明對環(huán)隙流場簡化為特征子午面進(jìn)行分析較為合理。同時(shí)，擾動(dòng)施加于環(huán)隙流場入口并隨主流向下游傳播，在環(huán)隙前部與中部附近增長受到環(huán)隙外邊界的限制出現(xiàn)最大幅值，再向環(huán)隙流場中部及后部傳播時(shí)，隨著離入口的距離增加擾動(dòng)逐漸減弱。

4 基于POD的流場診斷結(jié)果

4.1 流場湍動(dòng)能貢獻(xiàn)分別對不同流量時(shí)，不同環(huán)隙寬度情況下的特征子午面流場進(jìn)行本征正交分解。經(jīng)多次試驗(yàn)研究選定，當(dāng)每一分解采用 500 張快照、快照時(shí)間間隔為 0.002 s時(shí)，能夠捕捉環(huán)隙流場內(nèi)不同尺度的湍流結(jié)構(gòu)。所得多尺度湍流結(jié)構(gòu)按照脈動(dòng)能量大小排序，以該流場中總的脈動(dòng)能量無量綱化所得多尺度湍流結(jié)構(gòu)的湍動(dòng)能貢獻(xiàn)如圖4所示，散點(diǎn)表示各模態(tài)能量貢獻(xiàn)，其坐標(biāo)值位于圖4左側(cè)；曲線表示模態(tài)累積貢獻(xiàn)，其坐標(biāo)位于圖4右側(cè)。

圖4 各階模態(tài)占比與累積貢獻(xiàn)

同一流量時(shí)的累積模態(tài)曲線總是環(huán)隙寬度較大的收斂速度較快(B=20 mm>B=15 mm>B=10 mm)。流量Q=40 m3/h時(shí)，B=20 mm的前 40 階模態(tài)占流場 99% 的脈動(dòng)能量，B=15 mm是前 60階占 99%，B=10 mm是前 80 階模態(tài)占 99%；流量Q=50 m3/h時(shí)，收斂速度有所變化，捕捉 99% 流場脈動(dòng)能量的模態(tài)數(shù)略有改變：B=20 mm的前46階模態(tài)占流場99%的脈動(dòng)能量、B=15 mm則是前60階、B=10 mm是前75階模態(tài)占99%；流量Q=60 m3/h時(shí)，B=20 mm時(shí)前40階模態(tài)占流場99%的脈動(dòng)能量，B=15 mm則是前60階，B=10 mm是前75階模態(tài)占流場99%的脈動(dòng)能量。如圖中散點(diǎn)所示環(huán)隙流場各階模態(tài)占比，環(huán)隙寬度較大時(shí)前10階模態(tài)的占比在同一流量時(shí)往往較大，環(huán)隙寬度較大的流動(dòng)其特征長度較大，邊界對湍流脈動(dòng)的限制相對較小，使得湍流脈動(dòng)有較大的能量。

4.2 流場擬序結(jié)構(gòu)

(1)流場經(jīng)過本征正交分解后，脈動(dòng)能量貢獻(xiàn)占比較大的模態(tài)一般被認(rèn)為是流場中較大尺度的擬序結(jié)構(gòu)，這些較大尺度的擬序結(jié)構(gòu)決定了流場的湍動(dòng)形式與湍動(dòng)分布。圖5中給出了流量Q=40 m3/h時(shí)不同環(huán)隙寬度條件下的前兩階模態(tài)時(shí)的擬序結(jié)構(gòu)分布，可以代表環(huán)隙流場在特征子午面內(nèi)的較大尺度湍流結(jié)構(gòu)，這些湍流結(jié)構(gòu)在特征子午面內(nèi)呈現(xiàn)出沿流動(dòng)方向正負(fù)交替的擬序渦形式。不同環(huán)隙寬度時(shí)環(huán)隙流場擬序渦的流向脈動(dòng)速度幅值范圍為 0～2 m/s，展向脈動(dòng)速度幅值范圍為0～1 m/s(B=20 mm、B=15 mm)，0～0.5 m/s(B=10 mm)；流向脈動(dòng)速度受環(huán)隙寬度的影響并不大，但展向脈動(dòng)速度隨著環(huán)隙寬度B變小而有明顯降低。環(huán)隙流場前部到環(huán)隙流場中部，擬序渦的特征長度沿流程有著明顯的增長(從展向約0.3B～0.5B增長到0.9B～1B)，相鄰擬序渦展向特征長度的成長率約為 1.2～1.5，其流向特征長度也有相似幅度的成長；3個(gè)環(huán)隙寬度工況時(shí)的擬序渦在流向與展向都有著不同的變形程度，擬序渦在流向的變形程度B=15 mm>B=20 mm>B=10 mm，在展向的變形程度B=10 mm>B=15 mm>B=20 mm。環(huán)隙流場后部，在環(huán)隙寬度B=20 mm時(shí)有明顯擬序渦存在，但B=15 mm、B=10 mm時(shí)后部流場已無明顯可辨的擬序渦存在，并且此處的脈動(dòng)速度幅值僅為流場最大脈動(dòng)速度幅值的 1/10～1/5，說明環(huán)隙寬度較小時(shí)，環(huán)隙流場大尺度擬序結(jié)構(gòu)相對更集中于環(huán)隙流場前部以及中部，環(huán)隙后部流場隨環(huán)隙寬度變小，擬序渦更易破碎并耗散。

圖5 第1階與第2階模態(tài)的擬序結(jié)構(gòu)(Q=40 m3/h)

(2)環(huán)隙流場特征子午面內(nèi)第一階與第二階能量模態(tài)占比有所不同，除此之外，前兩階模態(tài)的擬序渦形態(tài)具有高度的相似性。特征子午面內(nèi)第一模態(tài)的任一可辨識(shí)擬序渦，與對應(yīng)的第二模態(tài)內(nèi)的某一擬序渦形態(tài)十分相似，僅是在位置上沿流動(dòng)方向有所延后并且擬序渦速度方向相反。這一現(xiàn)象與經(jīng)典圓柱繞流尾跡流場中的前兩階模態(tài)現(xiàn)象較為類似：第二模態(tài)的擬序渦比第一模態(tài)的擬序渦延后半個(gè)擬序渦特征長度且速度方向相反，因此可以認(rèn)為環(huán)隙流場中這種現(xiàn)象同樣是剪切渦沿流向的產(chǎn)生—發(fā)展過程。但該現(xiàn)象與經(jīng)典圓柱繞流尾跡流場前兩階模態(tài)差異在于前兩階模態(tài)所含湍動(dòng)能占流場總湍動(dòng)能之比相差較大——圓柱繞流前兩個(gè)模態(tài)占比相差十分小，這種差異來源于環(huán)隙流場特征子午面內(nèi)二維邊界條件的非對稱性導(dǎo)致的模態(tài)相對占優(yōu)。

4.3 流場各階擬序結(jié)構(gòu)的雷諾應(yīng)力重構(gòu)

(1)經(jīng)過本征正交分解后，湍流流場的各階能量模態(tài)存在的較大尺度擬序結(jié)構(gòu)是導(dǎo)致特征子午面內(nèi)雷諾應(yīng)力較大的原因，而較小尺度的擬序結(jié)構(gòu)對流場雷諾應(yīng)力貢獻(xiàn)較小。通過對每個(gè)模態(tài)計(jì)算沿程平均雷諾應(yīng)力以得到不同工況時(shí)某一模態(tài)在流場沿程各處的雷諾應(yīng)力貢獻(xiàn)，對流場的對流輸運(yùn)進(jìn)行尺度分離。如圖6所示即為流場主流沿徑向的平均雷諾應(yīng)力沿程分布曲線、對應(yīng)工況的前5階模態(tài)雷諾應(yīng)力貢獻(xiàn)曲線以及前5階模態(tài)總和雷諾應(yīng)力貢獻(xiàn)曲線。各個(gè)工況時(shí)，前5階的流場模態(tài)已經(jīng)能夠捕捉流場60%～80%的雷諾應(yīng)力，對于能量累積貢獻(xiàn)曲線前5階流場模態(tài)只能捕捉50%～70%的流場能量，對比可知一方面流場的雷諾應(yīng)力主要來源于流場內(nèi)較大尺度的湍流脈動(dòng)，另一方面流場的前5階模態(tài)對雷諾應(yīng)力貢獻(xiàn)要比對流場脈動(dòng)能量貢獻(xiàn)略大。

圖6 低階模態(tài)沿程雷諾應(yīng)力貢獻(xiàn)曲線

(2)隨著環(huán)隙寬度的減小，主流沿徑向的雷諾應(yīng)力持續(xù)減小，說明主流的徑向?qū)α鬏斶\(yùn)愈加受到邊界的限制。第 1 階與第 2 階模態(tài)貢獻(xiàn)的雷諾應(yīng)力遠(yuǎn)大于第 3、第 4、第 5 階模態(tài)，約為 20～40倍。并且前 5 階模態(tài)雷諾應(yīng)力的峰值，尤其是前兩階模態(tài)的雷諾應(yīng)力峰值與流場平均沿程雷諾應(yīng)力峰值較為對應(yīng)，而前 5 階模態(tài)的累積雷諾應(yīng)力曲線與平均沿程雷諾應(yīng)力曲線十分相似并且在沿程某些位置處幅值相等。經(jīng)過計(jì)算，前 20 階模態(tài)所對應(yīng)的累積雷諾應(yīng)力曲線已與平均沿程雷諾應(yīng)力曲線較為符合，最大相對誤差不超過 5%；前 50 階模態(tài)相應(yīng)的最大相對誤差不超過 1%，說明采用本征正交分解所得的低階能量模態(tài)分別計(jì)算雷諾應(yīng)力再線性疊加即可很好地估計(jì)平均流場的雷諾應(yīng)力。

(3)本征正交分解的前數(shù)階模態(tài)能夠?qū)y(tǒng)計(jì)平均的雷諾應(yīng)力進(jìn)行較好近似的原因在于：本征正交分解的各階模態(tài)是按照瞬態(tài)流場若干種流動(dòng)狀態(tài)時(shí)湍流結(jié)構(gòu)的脈動(dòng)能量大小進(jìn)行降序排列。前數(shù)階模態(tài)脈動(dòng)能量最大的同時(shí)也說明這些模態(tài)具有相對其它階模態(tài)較強(qiáng)的動(dòng)量輸運(yùn)能力。3.2節(jié)中統(tǒng)計(jì)平均的流場沿程雷諾應(yīng)力為所有湍流結(jié)構(gòu)的動(dòng)量輸運(yùn)結(jié)果，不僅包含對動(dòng)量輸運(yùn)貢獻(xiàn)較大的較大尺度的湍流結(jié)構(gòu)脈動(dòng)，同時(shí)包含了對動(dòng)量輸運(yùn)具有極小貢獻(xiàn)的具有微尺度的各向同性湍流脈動(dòng)。但是工程研究更關(guān)注較大尺度的湍流結(jié)構(gòu)，并且根據(jù)各模態(tài)雷諾應(yīng)力曲線峰值的位置可以判斷不同模態(tài)的動(dòng)量輸運(yùn)形式，因此使用本征正交分解的前數(shù)階模態(tài)對雷諾應(yīng)力進(jìn)行重構(gòu)比直接對流場雷諾應(yīng)力統(tǒng)計(jì)平均計(jì)算對流場具有更強(qiáng)的解析能力。

4.4 流場振動(dòng)的頻域特征(1)由于本征正交分解中速度被寫作全場任一點(diǎn)的相關(guān)函數(shù)形式，可以通過時(shí)域-頻域變換求得其功率譜密度[19]。如圖7所示為由本征正交分解所得的前若干階模態(tài)(捕捉到 99% 湍動(dòng)能的前數(shù)個(gè)模態(tài))的時(shí)間系數(shù)加矩形窗并所進(jìn)行快速傅立葉變換(FFT)所獲得的流場全場的功率譜密度曲線，可以在一定程度上反映流場湍流脈動(dòng)的頻域特征，一般認(rèn)為：較大的湍流結(jié)構(gòu)使得自相關(guān)函數(shù)較大，對功率譜密度的貢獻(xiàn)更大[20]。總體而言，同一環(huán)隙寬度在不同流量條件下的頻域分布較為相似，在較低頻率的區(qū)域振幅(功率譜)較大，在較高頻率的區(qū)域振幅(功率譜)較小，兩者之間相差10到100倍。(2)由各PSD曲線在不同頻率段的功率譜相對大小可以將環(huán)隙流場的湍流脈動(dòng)頻域分為三個(gè)子區(qū)：低頻段、中頻段、高頻段，其中低頻段在頻域約為 0～10 Hz，由于在相同流量下環(huán)隙流場湍流特征長度——環(huán)隙寬度變小，其較大尺度湍流脈動(dòng)受到邊界的約束作用導(dǎo)致功率譜較小；中頻段在頻域約為10～120 Hz，此時(shí)環(huán)隙寬度較小的環(huán)隙流場功率譜相對較高，湍流脈動(dòng)長度尺度不再主要受到環(huán)隙寬度的限制從而具有相似的湍流特征長度，此時(shí)在環(huán)隙寬度較小的環(huán)隙流場中流動(dòng)的特征速度較大，因此該頻率段的湍流脈動(dòng)在寬度較小的環(huán)隙中更強(qiáng)；到了高頻段 120 Hz 以上，湍流特征長度與流動(dòng)特征速度都不再是影響湍動(dòng)功率譜的主要因素，此時(shí)所余下的是高頻的混亂無規(guī)則小尺度湍流，其總體的功率譜隨著環(huán)隙流場寬度變窄而降低。(3)環(huán)隙流場的功率譜密度函數(shù)的分區(qū)特征原因主要在于：低頻段代表的流場最大尺度脈動(dòng)受到環(huán)隙寬度的限制程度隨著環(huán)隙寬度減小而變強(qiáng)，表現(xiàn)為功率譜(振幅)的減小，限制了大尺度脈動(dòng)從主流中獲取能量；中頻段反而是隨著環(huán)隙寬度減小功率譜增大，該區(qū)域主要作用是從大尺度脈動(dòng)獲得能量向微尺度脈動(dòng)傳遞，因此大于該頻段尺度的較大尺度脈動(dòng)的尺度越小，這種傳遞作用就越容易發(fā)生；而到了高頻段，由于環(huán)隙寬度較小時(shí)脈動(dòng)本身具有的功率譜較小，因此相對于環(huán)隙寬度較大的工況衰減較為嚴(yán)重。

圖7 環(huán)隙流場累積功率譜密度曲線

5 結(jié)論

(1)首先環(huán)形縫隙流場的平均流動(dòng)隨著環(huán)隙寬度的減小其速度幅值明顯上升；其次速度場在特征子午面內(nèi)呈現(xiàn)明顯的分區(qū)趨勢：前部有一明顯的回流區(qū)，其沿展向向上則是主流區(qū)。流場前部的雷諾應(yīng)力迅速增長、在流場中部維持一定幅值、在流場后部迅速沿程遞減。主流沿徑向的平均對流輸運(yùn)強(qiáng)度大于同一工況時(shí)徑向流沿周向的對流輸運(yùn)強(qiáng)度4～7 倍，大于主流沿周向的對流輸運(yùn)強(qiáng)度6～14倍。(2)湍流結(jié)構(gòu)在特征子午面內(nèi)呈現(xiàn)出沿流動(dòng)方向正負(fù)交替的擬序渦形式。不同環(huán)隙寬度時(shí)環(huán)隙流場擬序渦的流向脈動(dòng)速度幅值范圍為 0～2 m/s，展向脈動(dòng)速度幅值范圍為 0～1 m/s(B=20 mm、B=15 mm)，0～0.5 m/s(B=10 mm)；流向脈動(dòng)速度受環(huán)隙寬度的影響并不大，但展向脈動(dòng)速度隨著環(huán)隙寬度B變小而有明顯降低。環(huán)隙流場前部到環(huán)隙流場中部，擬序渦的特征長度沿流程有著明顯的增長(從展向約 0.3B～0.5B增長到 0.9B～1B)，相鄰擬序渦展向特征長度的成長率約為 1.2～1.5。(3)環(huán)隙流場的前數(shù)階模態(tài)代表了流場內(nèi)較大尺度脈動(dòng)的湍流結(jié)構(gòu)，其所具有的動(dòng)量輸運(yùn)強(qiáng)度較大、雷諾應(yīng)力幅值較高。其中，前 5 階模態(tài)可以捕捉到平均流場 60%～80% 的雷諾應(yīng)力；前 20 階模態(tài)可捕捉 95% 以上的雷諾應(yīng)力。并且不同階模態(tài)的貢獻(xiàn)曲線反映了各模態(tài)時(shí)動(dòng)量輸運(yùn)的峰值位置，使用低階模態(tài)對雷諾應(yīng)力進(jìn)行重構(gòu)可以較好的估計(jì)流場的雷諾應(yīng)力。(4)功率譜密度函數(shù)表示的流場流致振動(dòng)頻譜在同一流量時(shí)有著較為明顯的分區(qū)趨勢。對于低頻段(0～10 Hz)與高頻段(120 Hz 以上)環(huán)隙寬度較小時(shí)功率譜密度較大；對于中頻段(10～120 Hz)則是環(huán)隙寬度較大時(shí)功率譜密度較大。對于環(huán)隙流場，環(huán)隙寬度的減小對于其較大尺度的流致振動(dòng)抑制作用較強(qiáng)。