大跨度斜拉橋輔助索對(duì)索網(wǎng)系統(tǒng)面內(nèi)自由振動(dòng)特性的影響研究

李明陽(yáng),甄曉霞,陳 煒,張卓杰

(1.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院,廣州 510640； 2.石家莊鐵道大學(xué)省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國(guó)家重點(diǎn)試驗(yàn)室,石家莊 050043)

引言

斜拉索是大跨度斜拉橋重要的結(jié)構(gòu)構(gòu)件，由于阻尼小、柔度大的特點(diǎn)，單根拉索在風(fēng)力作用或交通荷載的激勵(lì)下容易產(chǎn)生較大振動(dòng)，如果拉索振動(dòng)得不到有效消除和控制，易造成拉索疲勞或套管保護(hù)層損壞，甚至橋梁的破壞[1-2]。為有效控制拉索振動(dòng)，可把多根斜拉索用輔助索連接起來(lái)組成多層索網(wǎng)系統(tǒng)，從而形成一個(gè)協(xié)同工作的系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 帶有輔助索的斜拉索

對(duì)于索網(wǎng)系統(tǒng)，DELLA C N和SHU D等[3-4]通過(guò)建立截面單元的振動(dòng)方程，求解了局部分層梁自由振動(dòng)頻率的解析解；CARACOGLIA L[5-6]對(duì)耦合連接的雙層及多層索網(wǎng)進(jìn)行了初步的自振特性分析，并借助Fred Hartman Bridge進(jìn)行實(shí)測(cè)驗(yàn)證；AHMAD J[7-9]對(duì)耦合連接的索網(wǎng)系統(tǒng)自振特性進(jìn)行了進(jìn)一步研究，提出通過(guò)局部模態(tài)化程度和局部模態(tài)集群兩個(gè)指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)局部模態(tài)的好壞。國(guó)內(nèi)對(duì)于多層索網(wǎng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性研究多基于有限元方法[10-14]及試驗(yàn)方法[15-16]開(kāi)展；解析方法主要應(yīng)用于雙層索網(wǎng)系統(tǒng)，周?？〉萚17]推導(dǎo)得出了輔助索接地的簡(jiǎn)化索網(wǎng)—阻尼器系統(tǒng)的復(fù)特征值方程，并由此求得阻尼和頻率的數(shù)值解；陳煒等[18]通過(guò)解析法、有限元模擬及試驗(yàn)驗(yàn)證的方法，分析了抗彎剛度對(duì)耦合吊索自振特性的影響；宋相坐[19]對(duì)接橋面輔助索-索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的微幅振動(dòng)展開(kāi)了理論與試驗(yàn)研究；姚國(guó)灶[20]和周現(xiàn)寶[21]研究了形狀記憶合金輔助索—拉索系統(tǒng)的振動(dòng)特性；ZHOU H J[22]提出了一個(gè)由2根平行的拉索和一個(gè)相互連接的阻尼器組成的系統(tǒng)，以減輕拉索的振動(dòng)。但研究均局限于雙層索網(wǎng)系統(tǒng)，有必要結(jié)合實(shí)際工程情況開(kāi)展斜拉索-輔助索多層索網(wǎng)系統(tǒng)振動(dòng)特性的解析方法研究，并使用數(shù)值模擬方法和試驗(yàn)方法進(jìn)行驗(yàn)證，深入研究不同輔助索設(shè)計(jì)方案對(duì)索網(wǎng)系統(tǒng)面內(nèi)自由振動(dòng)特性的影響，為輔助索減振機(jī)理分析、索網(wǎng)系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化提供理論依據(jù)。

1 索網(wǎng)系統(tǒng)的振動(dòng)方程及求解

1.1 索網(wǎng)系統(tǒng)分析模型

如圖2所示，由n根獨(dú)立錨固的不等長(zhǎng)水平拉索組成的索網(wǎng)系統(tǒng)，最長(zhǎng)拉索的長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，往下拉索長(zhǎng)度依次為L(zhǎng)2～Ln，各拉索索力分別為T(mén)1～Tn，拉索端部看作是固結(jié)。拉索之間用豎直的具有一定剛度的輕質(zhì)彈簧進(jìn)行連接，彈簧將各根拉索分為m個(gè)子系統(tǒng)，各子系統(tǒng)的長(zhǎng)度分別為li，j(i為拉索號(hào)，j為子系統(tǒng)號(hào))，分別以各子系統(tǒng)的左端為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。

圖2 索網(wǎng)系統(tǒng)

1.2 特征方程推導(dǎo)

單根拉索在拉力作用下的橫向振動(dòng)微分方程為[23]

(1)

式中，v(x，t)為拉索橫向位移；x為沿拉索軸線坐標(biāo)；t為振動(dòng)時(shí)間；T為拉索拉力；m為拉索單位長(zhǎng)度質(zhì)量。

式(1)可采用分離變量法求解，設(shè)方程解的形式為

v(x，t)=φ(x)q(t)

(2)

式中，φ(x)為關(guān)于x的函數(shù)；q(t)為關(guān)于t的函數(shù)，將式(2)代入式(1)，兩邊同除mφ(x)q(t)，得

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行分離變量后可轉(zhuǎn)換成以下方程

Tφ″(x)+mω2φ(x)=0

(4)

(5)

式(4)、式(5)為二階齊次線性常微分方程，式(4)的解為

φ(x)=Acos(αx)+Bsin(αx)

(6)

其中

(7)

式(5)的解為

q(t)=Ccos(ωt)+Dsin(ωt)

(8)

對(duì)式(6)進(jìn)行無(wú)量綱化得

(9)

其中

(10)

對(duì)式(8)進(jìn)行無(wú)量綱化得

(11)

故得

(12)

對(duì)于索網(wǎng)系統(tǒng)，各拉索子系統(tǒng)振動(dòng)方程的解形式如下

(13)

式中，i為拉索號(hào)，取值1～n；j為子系統(tǒng)號(hào)，取值1～m。

由于各拉索通過(guò)耦合形成整體，故各拉索的振動(dòng)頻率相等，即

(14)

因此，只需求解各拉索的振型方程即可，則

(15)

1.3 特征方程求解

式(15)為含有2nm個(gè)待定系數(shù)的聯(lián)立方程組，其解可通過(guò)邊界條件、連續(xù)性要求及豎向力平衡要求確定。

①邊界條件

由于拉索兩端固結(jié)，拉索端部的位移為零，即

(16)

共有2n個(gè)方程。

②連續(xù)性要求1

同一拉索在耦合處的位移相等，即

(17)

共有n(m-1)個(gè)方程。

③連續(xù)性要求2

同一橫向連接相鄰拉索位移條件為

(r=1，2，…，n-1；s=1，2，…，m-1)

(18)

若耦合剛度為無(wú)窮大時(shí)，式(18)變?yōu)?/p>

(19)

共有(n-1)(m-1)個(gè)方程。

④豎向力平衡要求

拉索在耦合處的豎向分力應(yīng)滿(mǎn)足平衡要求，即

(r=1，2，…，n-1；s=1，2，…，m-1)

(20)

共有(m-1)個(gè)方程。

⑤由上述可得2nm個(gè)方程

將以上方程寫(xiě)成矩陣形式

KX=0

(21)

K為2nm×2nm的系數(shù)矩陣，X為2nm×1的待定系數(shù)列向量。其中

若式(21)有解，則系數(shù)矩陣行列式為零，即系統(tǒng)的特征方程為

det(K)=0

(22)

2 公式驗(yàn)證

2.1 試驗(yàn)方法

為進(jìn)一步驗(yàn)證理論分析的正確性，通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，試驗(yàn)拉索長(zhǎng)3.37 m，橫截面積1.39×10-4m2，鋼絞線線密度1.12 kg/m。

圖3為現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)裝置全景，鋼絞線錨固在自制的受力架上，由于錨頭的作用，拉索端部可視為固結(jié)。鋼絞線拉力由油壓千斤頂施加后，再通過(guò)旋轉(zhuǎn)鋼絞線右側(cè)的螺母對(duì)拉力值進(jìn)行細(xì)調(diào)，使拉力達(dá)到設(shè)計(jì)值。拉力值讀數(shù)可通過(guò)鋼絞線左側(cè)的壓力傳感器測(cè)得，并由連接著壓力傳感器的靜態(tài)應(yīng)變測(cè)試系統(tǒng)讀出。壓力傳感器如圖4(a)所示，壓力傳感器受力與靜態(tài)應(yīng)變測(cè)試系統(tǒng)讀數(shù)的關(guān)系在試驗(yàn)前通過(guò)壓力試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行標(biāo)定。在距離鋼絞線左端L/10，9L/10處用剛度為107N/m的索夾將鋼絞線進(jìn)行連接，索夾剛度在試驗(yàn)前通過(guò)壓力試驗(yàn)機(jī)測(cè)出，如圖4(b)所示。

圖3 現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)裝置

張拉完成后，在每根鋼絞線上布置加速度傳感器，用于測(cè)量各根鋼絞線的自振頻率，如圖4(c)所示，并通過(guò)連接著加速度傳感器的動(dòng)態(tài)應(yīng)變儀進(jìn)行轉(zhuǎn)換后，由電腦上動(dòng)態(tài)應(yīng)變測(cè)試系統(tǒng)顯示的頻譜圖讀取，讀取的前5階自振頻率如圖5所示。

圖4 試驗(yàn)儀器布置

圖5 雙層索網(wǎng)雙索夾系統(tǒng)頻譜(k=107 N/m)

2.2 對(duì)比驗(yàn)證

為對(duì)比本文提出的解析方法、試驗(yàn)數(shù)據(jù)及有限元軟件ANSYS分析結(jié)果，建立與試驗(yàn)中索網(wǎng)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的分析模型，如圖6所示。

圖6 雙層索網(wǎng)雙輔助索系統(tǒng)

拉索參數(shù)同試驗(yàn)數(shù)據(jù)。假定拉索間完全黏結(jié)，拉索可看作是完整性良好的柔性弦，拉索索力T和頻率f之間的關(guān)系可以表示為

T=4mL2f2

(23)

式中，m為拉索的線密度。

本文提出的解析方法、試驗(yàn)方法及有限元軟件得出的索網(wǎng)前5階自振頻率如表1所示。其中，ANSYS有限元模型中拉索采用Link10單元模擬，拉索拉力以預(yù)拉力的方式施加，輔助索位置處的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行自由度耦合。ANSYS計(jì)算得到的系統(tǒng)前4階振型如圖7所示。

表1 雙層索網(wǎng)雙索夾系統(tǒng)自振頻率實(shí)測(cè)值和計(jì)算值

圖7 雙層索網(wǎng)雙輔助索系統(tǒng)前4階振型

從表1和圖7可以看出，對(duì)于等長(zhǎng)鋼絞線，當(dāng)拉索拉力和拉索線密度均相同時(shí)，用解析方法與有限元方法求得的頻率值相同；試驗(yàn)測(cè)得的2根拉索的各階頻率值均一致；測(cè)得的拉索前5階自振頻率與計(jì)算得到的前5階自振頻率誤差滿(mǎn)足精確度要求，由于試驗(yàn)索長(zhǎng)較短，計(jì)算過(guò)程中未考慮拉索抗彎剛度，最大誤差值略大。

由計(jì)算及實(shí)測(cè)結(jié)果可知，在索夾耦合作用下，索網(wǎng)系統(tǒng)的高階頻率與基頻之比不再保持嚴(yán)格的整數(shù)倍關(guān)系；與完整性良好的單根拉索相比，索網(wǎng)系統(tǒng)在整數(shù)倍基頻頻率之間出現(xiàn)了非整數(shù)倍基頻頻率。

3 輔助索對(duì)多層索網(wǎng)系統(tǒng)自振特性的影響

以某斜拉橋的5根典型斜拉索作為分析對(duì)象，研究輔助索設(shè)置對(duì)索網(wǎng)系統(tǒng)面內(nèi)自由振動(dòng)特性的影響。各斜拉索的幾何特征均取相同值，如表2所示，索的長(zhǎng)度、張拉力及未施加輔助索時(shí)的基頻如表3所示，且各拉索對(duì)稱(chēng)布置。

表2 斜拉索參數(shù)

表3 斜拉索長(zhǎng)度、張拉力及單根拉索基頻

3.1 輔助索剛度對(duì)斜拉索-單輔助索索網(wǎng)系統(tǒng)自振特性的影響

對(duì)于5層索網(wǎng)單輔助索系統(tǒng)，如圖8所示，輔助索位于目標(biāo)索L/2處時(shí)，使輔助索剛度分別為107，106，105，104N/m，得到索網(wǎng)系統(tǒng)前20階頻率f，如圖9所示。

圖8 5層索網(wǎng)單輔助索系統(tǒng)布置(輔助索位于目標(biāo)索L/2處)

圖9 前20階自振頻率隨輔助索剛度變化曲線

當(dāng)輔助索剛度為106N/m時(shí)，索網(wǎng)系統(tǒng)的基頻為1.308 Hz，單根拉索單獨(dú)振動(dòng)頻率不會(huì)隨輔助索剛度的改變而發(fā)生變化，多根拉索局部振動(dòng)頻率相對(duì)于輔助索剛度為107N/m時(shí)有所減小。在前20階振型中，第1階和第11階為整體振動(dòng)的振型，多根拉索局部振動(dòng)的振型相對(duì)于輔助索剛度為107N/m時(shí)前移至第2，3，5，7，12，13，15，18階，其余階次為單根拉索單獨(dú)振動(dòng)的振型。

同樣的規(guī)律也發(fā)生在輔助索剛度為105N/m和104N/m上，當(dāng)輔助索剛度分別為105N/m和104N/m時(shí)，整體振動(dòng)頻率和多根拉索局部振動(dòng)頻率隨著輔助索剛度減小進(jìn)一步減小，多根拉索局部振動(dòng)的振型前移至第2，3，4，5，12，13，14，15階，其余階次為單根拉索單獨(dú)振動(dòng)的振型。

由此可見(jiàn)，對(duì)于索網(wǎng)系統(tǒng)單根拉索單獨(dú)振動(dòng)的頻率不會(huì)發(fā)生變化，整體振動(dòng)頻率和多根拉索局部振動(dòng)頻率會(huì)隨著輔助索剛度減小有所減小。因此，索網(wǎng)系統(tǒng)剛度隨著輔助索剛度減小也相應(yīng)減?。浑S著輔助索剛度減小，多根拉索局部振動(dòng)的振型階次前移。

3.2 輔助索位置對(duì)斜拉索-單輔助索索網(wǎng)系統(tǒng)自振特性的影響

對(duì)于5層索網(wǎng)單輔助索系統(tǒng)，輔助索剛度為107N/m時(shí)，如圖8、圖10所示，使輔助索位置分別位于距離目標(biāo)索左端的L/2、2L/5、3L/10、L/5處，得到索網(wǎng)系統(tǒng)前20階頻率f，如圖11所示。

圖10 5層索網(wǎng)單輔助索系統(tǒng)布置(輔助索位于目標(biāo)索左端nL/10處，n=2，3，4)

圖11 前20階自振頻率隨輔助索位置變化曲線

輔助索位于拉索L/2位置時(shí)，在整體振動(dòng)振型之間除了出現(xiàn)多根拉索局部振動(dòng)振型外，還會(huì)出現(xiàn)單根拉索單獨(dú)振動(dòng)振型。當(dāng)輔助索位置分別位于目標(biāo)索2L/5，3L/10和L/5處時(shí)，在前20階振型中，第1，6，11，16階為整體振動(dòng)的振型，其余階次均為局部振動(dòng)的振型，但沒(méi)有單根拉索單獨(dú)振動(dòng)的振型。

索網(wǎng)系統(tǒng)基頻會(huì)隨著輔助索位置往錨固點(diǎn)靠近而稍有減小，但其變化基本可以忽略不計(jì)。由圖11可見(jiàn)，整體振動(dòng)頻率受位置的影響較小，各頻率值較為接近，局部振動(dòng)頻率受到位置的影響會(huì)造成一定偏差。

索網(wǎng)系統(tǒng)的基頻隨著輔助索剛度的減小而減小，同時(shí)也隨著輔助索位置往錨固點(diǎn)靠近而減小，輔助索剛度的影響較大，輔助索位置的影響較小，因此，拉索之間輔助索剛度應(yīng)盡可能大，設(shè)置單根輔助索時(shí)，輔助索位置對(duì)基頻的影響基本可忽略不計(jì)。

3.3 輔助索數(shù)量對(duì)斜拉索-多輔助索索網(wǎng)系統(tǒng)自振特性的影響

當(dāng)輔助索剛度為107N/m時(shí)，對(duì)5層索網(wǎng)多輔助索系統(tǒng)分別設(shè)置2，3，4根輔助索，每?jī)筛o助索間的距離為目標(biāo)索的L/(n+1)，如圖12所示，得到索網(wǎng)系統(tǒng)前20階頻率f，如圖13所示。

圖12 5層索網(wǎng)多輔助索系統(tǒng)布置

圖13 前20階自振頻率隨輔助索根數(shù)變化曲線

當(dāng)輔助索根數(shù)為2時(shí)，第1階和第2階為整體振動(dòng)的振型，前20階其他振型為多根索局部振動(dòng)振型，索網(wǎng)系統(tǒng)的基頻為1.317 Hz，局部振動(dòng)的最小頻率為3.379 Hz；當(dāng)輔助索根數(shù)為3時(shí)，第1到第3階為整體振動(dòng)的振型，前20階其他振型為多根索局部振動(dòng)振型；當(dāng)輔助索根數(shù)為4時(shí)，第1到第4階為整體振動(dòng)的振型，前20階其他振型為多根索局部振動(dòng)振型，索網(wǎng)系統(tǒng)的基頻為1.325 Hz，局部振動(dòng)最小頻率為5.223 Hz。

由此可見(jiàn)，對(duì)于5層索網(wǎng)多輔助索系統(tǒng)，隨著輔助索根數(shù)增多，索網(wǎng)系統(tǒng)的基頻越大，其剛度也相應(yīng)越大；輔助索根數(shù)為n時(shí)，前n階振型為整體振動(dòng)振型，隨著輔助索根數(shù)增多，局部振動(dòng)的振型出現(xiàn)的越晚，出現(xiàn)局部振動(dòng)的最小頻率越大；輔助索根數(shù)增加與基頻增大基本成線性關(guān)系。

4 結(jié)論

以多層不等長(zhǎng)索網(wǎng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立索網(wǎng)系統(tǒng)平衡方程，求解系統(tǒng)自振頻率及振型，進(jìn)行索網(wǎng)系統(tǒng)面內(nèi)自由振動(dòng)特性及參數(shù)敏感性研究，并使用數(shù)值模擬和試驗(yàn)方法對(duì)解析結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，研究結(jié)論如下。

(1)通過(guò)設(shè)置輔助索形成索網(wǎng)系統(tǒng)后，各根拉索的自振頻率均相同，并且在整體振動(dòng)的頻率之間會(huì)出現(xiàn)局部振動(dòng)或單根索單獨(dú)振動(dòng)的頻率。

(2)對(duì)于多層不等長(zhǎng)斜拉索索網(wǎng)系統(tǒng)，施加輔助索會(huì)使目標(biāo)索的基頻增大。若輔助索位于拉索中點(diǎn)位置，在整體振動(dòng)振型之間除了出現(xiàn)多根拉索局部振動(dòng)振型外，還會(huì)出現(xiàn)單根拉索單獨(dú)振動(dòng)振型，而輔助索位于其他位置時(shí)不會(huì)出現(xiàn)單根拉索單獨(dú)振動(dòng)振型。

(3)整體振動(dòng)和多根拉索局部振動(dòng)的頻率隨輔助索剛度減小而減小，單根索單獨(dú)振動(dòng)的頻率不會(huì)隨輔助索剛度的改變而發(fā)生變化，設(shè)置單根輔助索時(shí)其位置對(duì)索網(wǎng)系統(tǒng)基頻的影響不明顯。

(4)隨著輔助索根數(shù)增多，索網(wǎng)系統(tǒng)的基頻逐漸增大，局部振動(dòng)的振型出現(xiàn)得越晚，出現(xiàn)局部振動(dòng)的最小頻率越大。